反饋控制型PWM DC/DC 變換器的建模分析與混沌控制

杜 楊 韓如成 潘 峰 聞 程

（太原科技大學(xué)，太原 030024）

1 引言

混沌控制的概念自1990年提出以來，受到了學(xué)者們的廣泛重視并進(jìn)行了大量的研究。時至今日已經(jīng)取得了一定的成績，形成了一些較為有效的控制方法。從原理上看主要分為反饋控制方法和無反饋控制方法兩大類。其中，反饋控制方法有參數(shù)微擾共振法和OGY方法、OPF法、連續(xù)變量反饋法、直接反饋法、正比變量脈沖反饋法、變量反饋控制法等。無反饋控制方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、噪聲控制法、周期信號法、混沌信號同步法、人工智能法和自適應(yīng)方法等。但是由于種種原因許多方法并不能應(yīng)用到電力電子變換器的混沌控制當(dāng)中。

其一，電力電子變換器是時變性的開關(guān)電路，不同的開關(guān)狀態(tài)電路有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。根據(jù)廣大學(xué)者的研究經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建平均模型并不適合對變換器的研究，而離散迭代模型才是最適合的，這就給我們的建模分析工作帶來了很大困難。其二，由于大多數(shù)控制方法本身理論的復(fù)雜性和局限性使得它不能用于對變換器進(jìn)行混沌控制。基于以上兩種原因本文提出以自適應(yīng)同步的方法進(jìn)行混沌控制，并建模分析證明它的有效性。

2 模型的建立與分析

2.1 狀態(tài)空間平均法

圖1 非線性系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象

圖2 非線性系統(tǒng)中的混沌吸引子

我們先以Buck變換器為例，但是此方法適用所 有的DC/DC變換器。眾所周知，Buck變換器是一種開關(guān)電路，根據(jù)開關(guān)頻率的和電路元件參數(shù)的不同有兩種工作狀態(tài)，分別為電流連續(xù)模式和電流斷續(xù)模式。下面我們以電流連續(xù)狀態(tài)為例來說明。

圖3 Buck變換器結(jié)構(gòu)圖

電流連續(xù)模式指的是圖1中電感電流Li在整個開關(guān)周期中都不為零。在這種工作模式下仍然有兩種開關(guān)狀態(tài)，每種開關(guān)狀態(tài)電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都不一樣。狀態(tài)空間平均法就是根據(jù)開關(guān)導(dǎo)通時間的不同而對電路進(jìn)行平均近似建立模型的方法。

設(shè)導(dǎo)通和斷開時電路的狀態(tài)方程分別為

其中，1A，1B，2A和2B是方程的系數(shù)矩陣，1C和2C為行向量，是系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

把式（1）與式（2）平均化，得到如下的平均方程

向方程中加入擾動量，可把方程轉(zhuǎn)化為

由于上述方程兩端的DC項(xiàng)和AC小信號分別相等，所以經(jīng)過線性化和拉氏變換處理后可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

將系統(tǒng)的參數(shù)帶入方程中得

為了驗(yàn)證模型的有效性，選取實(shí)驗(yàn)參數(shù)值為：

于是可以得到如下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

圖4 橫坐標(biāo)為Li縱坐標(biāo)為 Cv

圖5 狀態(tài)變量Li和Cv的變化曲線

圖6 實(shí)際電路與平均模型的響應(yīng)曲線

由圖3和圖4可以看出平均模型可以很好的表示出狀態(tài)變量的工作曲線。在圖5當(dāng)中1為實(shí)際電路的響應(yīng)曲線，2為平均模型的響應(yīng)曲線。可以看出平均模型的曲線是平滑過度的，而實(shí)際的曲線是有微小的波動，但是平均模型基本可以有效的表示出系統(tǒng)的特性。而通過進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，由于線性化的過程使得平均模型很難出現(xiàn)混沌，即它不能表現(xiàn)出原系統(tǒng)豐富的非線性特點(diǎn)，所以平均模型不是我們研究混沌現(xiàn)象的理想模型，實(shí)驗(yàn)表明，低階的離散迭代映射才是我們目前最理想的模型。

2.2 離散迭代映射模型

圖7 反饋控制型Boost變換器

反饋控制型Boost變換器如圖7所示，當(dāng)開關(guān)導(dǎo)通時有狀態(tài)方程

當(dāng)開關(guān)斷開時有狀態(tài)方程

把時間和能量進(jìn)行平均化得到如下狀態(tài)方程

其中，

在一個周期內(nèi)，有上述狀態(tài)方程可以求得系統(tǒng)的離散迭代模型的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中

對標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程先進(jìn)行拉普拉斯變換，然后移項(xiàng)得到如下形式方程

由此導(dǎo)出

于是帶入方程中求拉式反變換，在經(jīng)過一系列的推導(dǎo)即可得出結(jié)果，在此不贅述。

此方法具有一般性，利用它可以得變換器的一階離散方程或高階離散方程。比如工作在連續(xù)導(dǎo)通模式與不連續(xù)導(dǎo)通模式時的一階離散方程分別為

和工作在不連續(xù)導(dǎo)通模式下的二階離散方程

其中工作在不連續(xù)導(dǎo)通模式時反饋控制型PWM Boost變換器的一階離散方程：

式中，0α，1α，E，M，N， 'α， 'β，K都是和電路元件參數(shù)相關(guān)的系數(shù)矩陣。refI 為基準(zhǔn)電流。

3 混沌控制方案

混沌控制的方法有很多，比如參數(shù)微擾共振法、反饋控制法、OGY控制法和自適應(yīng)控制法等等。其中自適應(yīng)控制方法，靈活多變和簡單實(shí)用的特點(diǎn)非常適合應(yīng)用在電力電子變換器復(fù)雜的混沌系統(tǒng)控制當(dāng)中，而且它已經(jīng)成為這些年混沌控制課題的研究熱門。下面介紹一種基于DC/DC變換器的參數(shù)自適應(yīng)同步方法的混沌控制。

由方程式（4）可知，反饋控制型PWM Boost變換器的系統(tǒng)可表示為

其中我們選擇分岔參數(shù)為K，目標(biāo)系統(tǒng)為

自適應(yīng)同步控制的目的就是要用參數(shù)自適應(yīng)的方法使兩個系統(tǒng)的分岔參數(shù)相等，進(jìn)而使兩個系統(tǒng)達(dá)到同步狀態(tài)，即

其中誤差系統(tǒng)為

我們知道，混沌系統(tǒng)對初始條件的敏感性是很高的，而且系統(tǒng)對微小擾動也有很高的敏感性。所以試想當(dāng)同步化誤差很小的時候，適當(dāng)?shù)募尤胍恍┓答仯瑑蓚€系統(tǒng)會很快達(dá)到同步。于是我們選取()ut為

其中e x y= - ，δ代表很小的臨域。此種控制方程是用通過正負(fù)反饋同時起作用的，減小了同步化誤差和最終的誤差。經(jīng)過一定得迭代次數(shù)的調(diào)節(jié)后，響應(yīng)系統(tǒng)和目標(biāo)系統(tǒng)將最終實(shí)現(xiàn)同步。具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下。

4 驗(yàn)證與仿真實(shí)驗(yàn)

下面開始對上文的建模方法和控制方法的有效性進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

根據(jù)變換器方程式（4），分岔理論和李雅普諾 夫定理可知，當(dāng)時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。也就是說系統(tǒng)在的范圍內(nèi)是穩(wěn)定工作的。 于是可以選取K作為分岔參數(shù)來做實(shí)驗(yàn)。于是有

選取系統(tǒng)的參數(shù)為i10VV= ，050VV= ，ref12AI= ，

假設(shè)兩個系統(tǒng)的初始狀態(tài)不同，根據(jù)本系統(tǒng)方程的特點(diǎn)，通過分析添加如下的迭代方程作為控制率。

圖8 當(dāng)K大于1時Ln+1i 的變化曲線

從圖中我們可以看出，當(dāng)K的值超過1時，系統(tǒng)出現(xiàn)不規(guī)則的波動。這種波動隨著K值的增加變得越來越激烈。系統(tǒng)失去穩(wěn)定，這就是系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的跡象。由穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)正的李雅普諾夫指數(shù)的時候，系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。于是利用Matlab仿真李雅普諾夫指數(shù)隨K值的變化曲線圖如圖9。

圖9 李雅普諾夫指數(shù)隨K值變化曲線

由圖可知，在李雅普諾夫指數(shù)第一次到達(dá)0的時候發(fā)生分叉，這一點(diǎn)也是系統(tǒng)的失穩(wěn)點(diǎn)。其實(shí)每一次達(dá)到0點(diǎn)都是一次分岔，圖8就是和系統(tǒng)的倍周期分岔相對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)的變化曲線。從李雅普諾夫指數(shù)的變化可以清楚的看出系統(tǒng)失去穩(wěn)定走向倍周期分岔的過程。從而驗(yàn)證了上文理論分析的正確性和有效性。

圖10 K值逐漸增大時系統(tǒng)的分岔圖

從分岔圖中可以清楚的看到系統(tǒng)倍周期分岔的產(chǎn)生過程，它的分岔點(diǎn)和李雅普諾夫指數(shù)圖達(dá)到零的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，和我們上文理論分析的結(jié)果也吻合的很好。接下來我們采用參數(shù)自適應(yīng)的方法讓上述系統(tǒng)與目標(biāo)系統(tǒng)同步，經(jīng)過有限次迭代之后可以得到圖11、圖12所示的結(jié)果。

圖11 誤差系統(tǒng)曲線圖

圖12 電感電流變換曲線圖

由圖可見，系統(tǒng)在有限次迭代后很快就與目標(biāo)系統(tǒng)同步了，誤差系統(tǒng)逐漸變?yōu)榱悖娏髯罱K變?yōu)楹愣ā?shí)驗(yàn)結(jié)果證明了本文所述的自適應(yīng)同步的方法能有效的控制DC/DC變換器中的混沌現(xiàn)象。

5 結(jié)論

由于電力電子變換器系統(tǒng)的強(qiáng)非線性，使得很多建模方法并不適合用于對變換器的研究，而離散迭代模型才是研究變換器混沌現(xiàn)象行之有效的模型。本文采用有普遍意義的建模方法建立了DC/DC變換器的離散迭代模型。混沌控制的方法有很多種，但是很多控制方法只是消除了混沌但很難讓系統(tǒng)回到原來的狀態(tài)，而混沌同步可以實(shí)現(xiàn)。本文采用簡潔的參數(shù)自適應(yīng)的方法實(shí)現(xiàn)了變換器的混沌自適應(yīng)同步，在很短的時間內(nèi)使失穩(wěn)的系統(tǒng)回到了原先的工作狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了此方法的可行性與有效性。

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