振動發電機的支持向量機建模研究

賀超英 王少喻

(中南林業科技大學計算機與信息工程學院1，湖南 長沙 410004;湖南工程職業技術學院土木工程系2，湖南 長沙 410151)

0 引言

近年來，可直接利用物理機械振動發電的直線振動發電機成為人們研究的熱點［1］。感應電動勢是發電機最重要的性能之一，相同輸入功率下感應電動勢的大小直接決定發電機性能的優劣［2］。有限元方法是直線振動發電機設計中經常采用的一種方法。該方法可以獲得精確的計算結果，但計算效率低，且需要大量的反復迭代計算［3－5］。支持向量機(support vector machine，SVM)是Vapnik等人在上世紀90年代中期提出的統計學習理論。SVM能夠根據有限的樣本信息，采用結構風險最小化準則，在模型的復雜性和學習能力之間折衷選擇，以獲得較好的泛化能力。

本文首先通過有限元方法對新型永磁體外置式直線振動發電機進行研究，獲得一定樣本數據，隨后采用支持向量機方法建立振動發電機非線性模型。將SVM模型和有限元模型進行計算速度比較，驗證了SVM模型的可靠性和高效性。

1 直線振動發電機的模型

新型直線振動發電機為單相結構，其橫截面如圖 1所示［6］。

圖1 直線發電機橫截面示意圖Fig.1 Cross section of linear reciprocating generator

電樞繞組纏繞在圓柱型鐵心周圍，固定在發電機內部;環形釹鐵硼永磁體放置在繞組和鐵心外部，采用軸向充磁。

當電機受到振動時，永磁體隨外部振動上下運動，與繞組相對位置發生變化，引起繞組中的磁鏈發生變化，從而在繞組中產生交變的感應電動勢。電機兩端裝有彈簧，可以消除永磁體和端面間的機械磨損［7－10］。

發電機感應電動勢用來表示直線發電機輸出功率的高低，是決定電機性能好壞的關鍵指標。直線發電機的感應電動勢e的計算公式為［11］:

式中:e為感應電動勢;Ψ為磁鏈;v為永磁體運動速度;h為軸向高度。

將繞組沿軸向方向分為n段，假設每段磁通密度相同，并認為磁通密度沿半徑方向均勻分布，且僅沿軸向變化，則可得繞組磁鏈Ψ的離散表達式為:

式中:N為繞阻匝數;S為繞組的橫截面積;B1i為任一時刻設為時刻1時繞組第i段的磁通密度值;B2i為永磁體相對時刻1所在位置運動d h之后設為時刻2時繞組第i段的磁通密度值。時刻1與時刻2之間的時間差為d t，忽略鐵心端部影響，可得ΔB=B11－B2n或ΔB=B1n－B21，磁通密度差ΔB由運動方向決定。

由式(3)可知，要準確地求解感應電動勢，需已知繞組內部磁通密度的分布情況。選用軸對稱有限元方法分析電機的磁場分布，得到電機的磁力線分布如圖2所示。

圖2 磁力線分布圖Fig.2 Distribution of magnetic lines of force

從圖2可以看出，由于鐵心磁導率相對較高，大部分磁力線從鐵心中穿過，磁力線較為密集，磁通密度較大，在與永磁體中心平行的位置達到最大值。但電機的自身特點決定了有較多的磁力線從永磁體外部的空氣中經過，漏磁較大，尤其是當永磁體運動到鐵心端面部分時，隨著磁路磁阻的增加，漏磁也隨之加大。

直線振動發電機模型中鐵心長度為100 mm、永磁體高度為25 mm、永磁體外徑為32 mm、內徑為25 mm、鐵心外徑為6 mm、繞組高度為28 mm、繞組匝數為1530匝。當永磁體向上運動到40 mm時已接近鐵心端部位置。由于分析模型中永磁體充磁方向朝上，故軸向磁通密度幅值為負。基于有限元模型的磁通密度分布曲線如圖3所示。

圖3 基于有限元模型的磁通密度分布曲線Fig.3 Distribution curves of magnetic flux density based on finite element model

圖3中，By為磁通密度中沿軸向方向的分量;Bx為磁通密度中沿徑向方向的分量。四組By、Bx分量從右到左分別是永磁體由原點向上運動0 mm、15 mm、30 mm和40 mm時的磁通密度。

從圖3可以看出，軸向磁通密度分量By要遠大于徑向磁場分量Bx。當永磁體在鐵心中部移動時，磁通密度各分量幅值不發生變化;但當永磁體運動到鐵心端部附近位置時，隨著磁路中磁阻的增加，軸向磁場分量By逐漸減小，徑向分量Bx負向最大值逐漸增加。其中，當永磁體中心與繞組中心處于同一水平位置時，繞組交鏈的磁鏈最大，且僅含軸向分量;當永磁體向上運動15 mm時，繞組磁通中的軸向分量逐漸減小，而徑向分量逐漸增加;當永磁體向上運動30 mm以上時，繞組磁通中的軸向分量和徑向分量均逐漸減小。

忽略速度因素，設定振動速度恒為1 m/s，在不同鐵心高度下，基于有限元模型的感應電動勢變化曲線如圖4所示。

圖4 基于有限元模型的感應電動勢變化曲線Fig.4 Variation curves of induction electromotive force based on finite element model

從圖4可以看出，感應電動勢曲線關于原點對稱，近似呈正弦函數變化。永磁體自上而下運動一次，感應電動勢則相應發生一個周期的變化。隨著鐵心高度的改變，感應電動勢極值的位置也隨之改變。

2 支持向量機非線性建模

2.1 建模原理

設樣本數據為{(xi，yi)，i=1，2，…，l}，xi∈E，yi∈R，E為歐氏空間，對于線性回歸問題，f(x)可表示為［12－13］:

在構造回歸支持向量機中，采用一種不敏感損失函數ε，用以表示如式(4)所建模型逼近實際模型的精度，即:

利用對偶原理，則式(6)的最小化問題轉化為求式(7)的最大化問題，即:

求解式(7)得到拉格朗日乘子α、α*，其中xi中與不為零的拉格朗日乘子對應的向量稱為支持向量x，進而求得參數ω和b，即:

對于非線性回歸，可采用一個核函數K(xi，xj)=φ(xi)φ(xj)來代替內積xi·xj，則得到非線性系統模型為:

2.2 振動發電機建模和仿真

根據有限元分析可知，磁通密度為關于鐵心高度和永磁體位置的非線性函數。由于非線性函數的具體表達式未知，只能用非參數估計的方法來進行逼近。支持向量機作為一種具有極強魯棒性的非參數估計方法，可以逼近任意函數。

本文用支持向量機來逼近磁通密度與鐵心高度和永磁體位置的非線性關系，利用有限元法，在每隔2 mm的鐵心高度，測量永磁體從原點運動到不同的位置(間隔5 mm，設速度不變)的磁通密度，并將其作為訓練樣本，同時，獲取每隔5 mm的鐵心高度處永磁體位置為隨機數值的情況下的磁通密度，將其作為測試樣本。

評價模型估計性能指標主要包括最大絕對誤差和均方根誤差，具體定義如下。

最大絕對誤差為:

均方根誤差為:

基于上述方法，對訓練樣本進行訓練，得到振動發電機的非參數模型。利用該模型對測試樣本進行預測，在永磁體位置為0 mm、15 mm、30 mm和40 mm處，預測結果與有限元分析得到的數據基本相同。

基于支持向量機模型的磁通密度分布曲線如圖5所示。

圖5 基于支持向量機模型的磁通密度分布曲線Fig.5 Distribution curves of magnetic flux density based on SVM model

圖5中，Bz為磁通密度中沿軸向方向的分量;Br為磁通密度中沿徑向方向的分量。細虛線表示有限元法得到的曲線，粗實線表示用支持向量機仿真模型得到的結果。測試樣本與仿真結果的平均偏差為:εmae=5.887×10－4，表明模型具有很好的擬合能力。

感應電動勢隨永磁體位置變化曲線如圖6所示。

圖6 基于支持向量機模型的感應電動勢變化曲線Fig.6 Variation curves of induction electromotive force based on SVM model

為了驗證所建立的SVM回歸模型的計算效率，將有限元模型和SVM模型對同一參數樣機進行計算比較，在同一臺計算機上隨機抽取六組數據進行反復計算，計算耗時比較結果如表1所示。比較結果表明，SVM計算模型的計算效率為有限元模型的幾百甚至上千倍，有利于大規模迭代計算。

表1 計算耗時比較Tab.1 Comparison of the time consumption of computation

3 結束語

本文以一種新型直線振動發電機為研究對象，通過有限元仿真及實驗驗證，建立了發電機性能參數的樣本空間。采用SVM回歸建模方法，建立振動發電機的非線性非參數模型;通過仿真驗證，比較了有限元模型和SVM模型的運行結果和計算速度，證實了SVM模型的可靠性和高效性。

SVM模型作為一種大規模迭代計算的高效方法，對于實現直線振動發電機的實時在線控制及在線預測具有非常重要的應用價值。

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