經驗非線性渦激力模型參數識別

周 濤，朱樂東，3，郭震山

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092;2.同濟大學 橋梁工程系，上海 200092;3.橋梁結構抗風技術交通行業重點實驗室，上海 200092)

實踐表明，許多大跨度橋梁在較低風速時，都發生過渦激共振。如英國的Second Seven橋［1］、日本的東京灣大橋［2］、丹麥的 Great Belt橋東引橋［3］、巴西的Rio-Niteroi橋［4］都出現過大幅度的渦振。渦激共振是一種帶有強迫和自激雙重特性的自限幅風致振動現象［5］:在一定風速范圍內，當旋渦脫落頻率與橋梁某一固有頻率接近時，便會發生渦激共振;而此時橋梁的振動又會對旋渦脫落形成反饋，使一定風速范圍內旋渦脫落頻率“鎖定”在固有頻率附近，不再隨風速變化。

而“鎖定”現象的存在，使原先周期性的強迫渦激力，附加了與橋梁本身運動有關的復雜的非線性渦激力項，這使得渦振共振進入流固耦合作用的范圍，在理論上要獲得渦激力的解析解非常困難。在渦激共振的研究過程中，人們提出的半經驗模型雖然不能從原理上理解旋渦產生、發展的機理過程，但可以在適當選擇模型參數后較準確地描述鈍體渦激振動現象。并且由于實際橋梁的豎彎和扭轉基頻都相差一定數量，在一定的渦激共振風速范圍內，渦激力一般只能激發起某一階固有模態的共振，即豎彎、扭轉渦振振型獨立，使得基于單自由度振動的渦激力模型有了實際意義。

到目前為止，所建立的單振子渦激振動模型主要有簡諧力模型、升力振子模型、經驗線性模型、經驗非線性模型、廣義經驗非線性模型等。本文的試驗是在同濟大學TJ－1號風洞中，以象山港大橋初始設計階段節段模型為例，用激光位移計采集渦激共振豎向位移響應隨時間變化曲線后，基于渦激共振典型表現—拍振［7］，研究Scanlan渦激共振經驗非線性模型的中氣動參數識別，并得到 Scanlan非線性渦激力。最后，對識別精度進行了評價。節段模型系統質量按照文獻［5，6］所述方法設計。

1 單自由度渦振經驗非線性模型響應求解

Scanlan和Ehsan在渦振經驗線性模型的基礎上，通過增加了一個非線性的氣動阻尼項，把渦激力的描述引入到非線性的范圍內，提出了經驗非線性模型:

其中:m為系統質量;ω0為結構豎彎振動頻率;ξ為阻尼比;ρ為空氣密度;U為來流風速;D為結構橫風向尺寸;y為渦激共振豎向響應;約化頻率Kv=ω0D/U;系數Y1、Y2、CL、ε 都是約化頻率 Kv的函數，需要本文從風洞試驗數據中分析得到。

為應用廣義諧波函數KBM法求解Scanlan經驗非線性模型渦振響應，要使式(1)滿足如下形式:

為此，首先無量綱化式(1)，令η=y/D，s=Ut/D，=dη/ds，并引入 mr=ρD/m，則式(1)變為:

假定式(3)滿足式(2)的形式，即將式(3)寫為:

對比式(3)、式(4)可以得到:

此外，引入失諧參數σ來定量的描述K與約化頻率Kv的逼近程度，σ滿足條件:

則式(4)變為:

此時，單自由度鈍體豎向渦激振動方程(7)為一Van der Pol型非線性非自治方程，其原理是基于在位移為X軸、以速度為Y軸的相平面內存在一個閉合的“極循環”，可以采用KBM法求得共振一次近似解:

對于式(8)第二式，取其一階近似解:

從式(8)第二式、第三式中消去φ1可以得到:

其中:

在此，引入緩變參數［8］的概念，即認為在一個周期內為常數，則可以得到:

將式(8)第一式、式(10)、式(11)代入式(12)、式(13)中可以得到:

其中，β為穩定振幅。

為了簡化方程，引入變量:

將其代入式(14)、式(16)可以得到:

求解可以得到:

此外，利用緩變參數的假定以及式(9)，可以得到:

聯立式(8)第二式可以得到s=0時:

式中，φ0、φ0分別是對應于 ΔK、K的初相位。

2 風洞試驗及參數識別

2.1 風洞試驗

象山港大橋初步設計階段主橋為跨度688 m的鋼箱梁雙塔斜拉橋，跨海長度約6118 m，主梁寬31.6 m，高3.5 m。其主梁標準橫斷面圖見圖1。

圖1 主梁標準橫斷面圖Fig.1 The standard cross section of main gird

試驗節段模型主梁尺寸為1.70 m×0.582 m×0.0636 m，模型安裝見圖2。試驗在TJ－1號風洞均勻流場中進行，采用激光位移計(圖3)采集模型發生豎彎渦激共振響應隨時間變化曲線;并利用四個一維梁式應變測力天平同步測得模型所受合力(圖4、圖5)。

圖2 試驗節段模型的安裝Fig.2 Installation of the section model

圖3 激光位移計的安裝Fig.3 Installation of the laser displacement sensor

圖4 一維梁式應變測力天平Fig.4 Beam-type strain force balances of one-dimension

試驗過程中測得系統豎彎阻尼為0.28%，結構的豎彎基頻為3.52 Hz，扭轉基頻為7.25 Hz。模型發生渦激共振風速區間為 3.32 m/s ～ 4.38 m/s，3.86 m/s時振幅最大，此時位移響應隨時間變化曲線見圖6，卓越頻率為3.53 Hz(見圖7)，與結構自身的豎彎基頻十分接近。發生渦激共振初始風速時的Strouhal數為0.098。

2.2 參數計算

為按照第二節中所述方法識別Scanlan經驗非線性模型中的氣動參數，首先按照η=y/D、s=Ut/D對圖6所示的豎向響應進行無量綱化處理，從得到的η－s曲線中可以很容易的求得折減頻率K、ΔK;以及對應的初始相位φ0、φ0;穩定狀態振幅β;初始位移A0。然后由式(18)可求得;再由第一次近似解式(20)，取初值 A0＞β，即按照“從衰減到共振”［8］用最小二乘求解、;之后聯立式(16)～式(18)、式(22)即可 C1～C4、ε五個參數，最后代入式(5)即可得到需要識別的氣動參數，如表1所示。

圖5 測力天平的安裝Fig.5 Installation of the force balances

圖6 渦振響應隨時間變化曲線Fig.6 The time varying curve of the VIV response

圖7 渦振響應頻譜分析Fig.7 The power spectrum of the VIV response

表1 Scanlan經驗非線性模型參數識別結果Tab.1 Parameters of Scanlan’s nonlinear empirical model

將表1的參數值代入式(1)中，即可得到Scanlan非線性渦激力，如圖8所示，其頻譜分析如圖9所示。

2.3 參數識別精度評價

從圖9中可以看出，渦激力功率譜中除了有與渦激共振響應相同的卓越頻率3.53外，還有另外一個卓越頻率0.56。本文分別通過以下兩種方法，對基于廣義諧波函數KBM法及緩變參數的假定來識別得到Scanlan渦激共振經驗非線性模型參數精度做出評價。

2.3.1 反求響應進行驗算

為驗證識別精度，用識別得到的Scanlan非線性渦激力，利用Newmark β法反求結構的響應，并與實際測得的結構響應進行比較，結果如圖10所示。

圖8 Scanlan非線性渦激力(縱橋向每延米)Fig.8 Scanlan’s nonlinear vortex-induced force

圖9 Scanlan非線性渦激力頻譜分析Fig.9 The spectrum of Scanlan’s nonlinear vortex-induced force

圖10 實測響應與Newmark β計算所得響應比較Fig.10 Comparison between the fields measured response with the response calculated according to the Newmark β method

由圖10可以看出，由Newmark β法反求的結構響應最大振幅比實測的最大振幅略微偏大。將Newmark β反求的響應進行頻譜分析，如圖11所示，可見雖然依然存在同圖9所示的幅值相同的兩個卓越頻率，但較低頻率0.56的影響非常小，可以忽略。

2.3.2 提取實測渦激力與Scanlan非線性渦激力比較為驗證利用廣義諧波函數KBM法及緩變參數的假定［7，8］所識別的參數的精度，更直接的方法是從試驗中天平所測得的合力信號中提取出實測的渦激力，與利用本文第一節所述的識別方法得到的Scanlan非線性渦激力進行比較。

提取作用在節段模型上實測渦激力，可以通過從天平測到的合力中扣除模型的慣性力得到，結果如圖12所示。此時，從圖8以及圖12中，都可以看出模型所受的渦激力具有與豎向位移響應相同的形式。

對實測渦激力的進行功率譜分析，結果如圖13所示。從圖13中可以看出，從天平采集的合力中提取的渦激力，或者稱為實測得到的渦激力功率譜中，僅有與渦激共振響應頻譜中相同的卓越頻率3.53。這不同于利用廣義諧波函數KBM法及緩變參數的假定所識別的參數得到的Scanlan非線性渦激力功率譜。此時可以判定，這個額外的卓越頻率是在利用文獻［7，8］所闡述的方法進行識別的過程中引入的，實際渦激力頻譜中并不存在。

圖11 Newmark β計算所得響應功率譜Fig.11 The power spectrum of the response which was calculated according to the Newmark β method

圖12 天平采集合力中提取的實測渦激力(縱橋向每延米)Fig.12 The self-excited VIV force extracted from the total force collected by the one-dimensional balances

圖13 從天平測得的合力中提取的渦激力功率譜Fig.13 The power spectrum of the self-excited VIV force extracted from the total force

3 結論

本文以象山港大橋初步設計階段節段模型為例，在同濟大學TJ－1號風洞均勻流場中進行了豎彎渦激共振試驗，利用激光位移計采集了模型發生渦激共振時的響應隨時間變化數據，并同時利用一維梁式應變測力天平同步采集了模型所受的合力。然后利用廣義諧波函數KBM法對Scanlan經驗非線性模型進行處理，并引入了緩變參數的假定，從而利用位移響應隨時間變化曲線識別出其中的氣動參數，得到Scanlan經驗非線性渦激力，并對識別的參數做出評價。在參數識別及精度評價過程中，得到的主要結論有:

模型所受的渦激力具有與豎向位移響應相同的形式，即周期性振動。

利用廣義諧波函數KBM法及緩變參數的假定［7，8］識別得到的Scanlan非線性渦激力功率譜中，存在除與豎向位移響應相同的卓越頻率以外的卓越頻率。

利用Newmark β法對利用第二節所述方法識別得到的Scanlan非線性渦激力，反求得到的響應比實測響應值偏大。

從模型所受的合力中提取的實測渦激力功率譜中，僅存在與豎向位移響應相同的卓越頻率。

在利用廣義諧波函數KBM法及緩變參數的假定識別參數的過程中，結果對初始條件及舍入誤差敏感;同時，綜合2.3.1 節以及2.3.2 節的精度評價過程，利用廣義諧波函數KBM法及緩變參數的假定識別得到的Scanlan非線性渦激力引入了實際中并不存在的額外的卓越頻率，Scanlan經驗非線性模型中參數識別精度有待于進一步改進，比如在更深一步的研究中，可以直接采用同步測得模型所受的合力及渦激共振響應數據，然后從合力中提取出實測得渦激力，用非線性擬合的方法進行氣動參數識別。

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