慣性載荷對螺旋錐齒輪動態嚙合特性的影響研究

唐進元，彭方進

(中南大學 現代復雜裝備設計與極端制造教育部重點實驗室;中南大學 機電工程學院，長沙 410083)

螺旋錐齒輪動態嚙合問題是一個邊界條件高度非線性的接觸動力學問題，直接對其進行解析分析難度很大，有限元方法成為了計算螺旋錐齒輪問題的最普遍最有效的方法。

結構動力學分析中，慣性載荷一般是指由于結構的質量引起的動載荷。文獻表明，國內外許多學者使用有限元方法對螺旋錐齒輪靜態或者準靜態接觸特性進行了大量的研究［1－5］，但關于動態嚙合特性的研究文獻很少。而進行動態嚙合有限元分析的必要前提之一就是建立準確的有限元模型［6］。已有文獻中，螺旋錐齒輪的有限元模型可以概括為以下兩種:一種是以Litvin等［4－6］為代表的剛體參考點耦合約束模型，即在輪齒軸線上建立剛體參考點，在參考點和小輪內圈和剖面間建立耦合剛體約束。由于分析時采用的是部分齒輪模型，這種方法無法表達真實齒輪的質量及其質心位置，從而不能體現真實慣性載荷的影響，不適合進行動態嚙合分析;另一種則是李源等［7］采用的包含輪體的三齒嚙合模型，一方面該模型的網格數量多，耗費了大量的機時，另一方面，該模型沒有嚴格地反應真實的齒輪質量。

本文根據動力學原理和Lagrange乘子約束，提出了考慮慣性載荷的螺旋錐齒輪動態嚙合分析有限元模型，應用到非線性接觸動力學有限元分析中，并借助LS-DYNA軟件對準雙曲面齒輪的動態嚙合特性進行了研究。

1 考慮慣性載荷的有限元模型

動力學問題的基本運動方程為:

其中:M為質量矩陣，P(t)為載荷矢量，K為剛度矩陣，C為阻尼矩陣，為節點加速度矢量，為節點速度矢量，{x}為節點位移矢量。M即為慣性載荷。

在LS-DYNA3D程序中，運動方程描述為:

慣性載荷是使結構產生動力響應的本質因素，而慣性載荷的產生又是由結構的質量引起的。動態接觸問題屬于復雜的非線性動力學問題，必須考慮慣性載荷的影響。因此，對其結構的質量位置及其運動的準確描述成為了結構動力分析中的關鍵。

螺旋錐齒輪結構復雜，大輪和小輪的齒數相差大，如果對其進行完整一致的有限元網格劃分，將極大增加計算規模，尤其對于動力學分析而言。

在有限元法中，應用Lagrange乘子約束可以實現將剛性體直接粘附在柔性體上［9］。一個簡單的二維剛－柔性體問題如圖1(a)所示，其中灰色為剛性體。圖1(b)表示在剛－柔界面上的一個單元之間的分解圖，這里需要強令單元的兩個界面節點的位置具有與相應剛體上的點相同的變形位置。剛體的運動可以表示為:

其中，XI是位置，t是時間，RI是在未變形物體中的某個參考點，ri是在變形物體中的同一個點的位置，ΛiI表示一個剛性轉動。利用式(3)可以很容易寫出這種約束:

式中腳標α代表節點數。應用經典Lagrange乘子法修改泛函使其包含該約束，經過處理可以得到每一個剛體的方程組為:

式中:ψα和ψμ分別是在節點α和 μ處有限元計算的殘值，β是與節點α連接的任何其它剛體節點，μ和ν是與節點α連接的柔性節點，yα=xα－r是y的節點值。計算殘值的步驟可以在每個單元中進行，于是，約束柔性體到剛性體的步驟仍是一個標準的有限元組裝過程，而且很容易得并入到一個求解系統中。

綜合考慮以上因素，針對螺旋錐齒輪動態嚙合分析問題，本文提出一種新的有限元分析模型:建立大、小輪全齒模型，其中，對參與嚙合的部分輪齒網格細分，不參與嚙合的輪齒網格粗分，粗、細網格單元之間通過固連約束連接，這樣既體現了真實模型的質量屬性，又在滿足分析精度的前提下盡量減小分析模型的單元規模。同時，應用Lagrange乘子約束，實現小輪與其內圈和大輪與其底面之間的剛柔約束，建立考慮慣性載荷的螺旋錐齒輪動態嚙合分析邊界加載模型，如圖2所示。其中，圖2(a)為完整的分析模型，圖2(b)為分解模型，大錐形圓環為大輪底面，小錐形圓環為小輪內圈，大、小錐形圓環上的陰影曲面為固連約束的邊界。

圖1 剛性體和柔性體之間的Lagrange乘子約束Fig.1 Lagrange multiplier constrain between flexible and rigid bodies:(a)rigid-flexible body;(b)Lagrange multiplier

圖2 準確的有限元模型Fig.2 Exact finite element model

2 準雙曲面齒輪有限元模型建立

2.1 幾何模型的構建

文章通過數值計算得到齒面離散數據點(主要幾何參數見表1)，由離散數據點擬合成精確的準雙曲面齒輪展成曲面，并依此構建出準雙曲面齒輪三維實體模型，如圖3所示。詳細建模方法參照文獻［10］，本文不再詳述。

表1 準雙曲面齒輪幾何參數Tab.1 Geometric parameter of hypoid gear

圖3 準雙曲面齒輪幾何模型Fig.3 Geometric model of hypoid gear

圖4 準雙曲面齒輪有限元網格模型Fig.4 Finite element model of hypoid gear

2.2 有限元網格劃分

有限元網格劃分是進行有限元數值分析至關重要的一步，它直接影響著后續數值計算分析結果的精確性。六面體網格由于其求解精度高、抗變形能力強、單元數量少等優點成為數值分析的首選網格。圖4為準雙曲面齒輪的六面體有限元網格模型，其中圖4(b)為圖4(a)的局部放大。

2.3 其他參數確定

大、小輪均采用彈性材料，彈性模量為2.1×1011Pa，泊松比為 0.3，密度為 7.8 × 103kg/m3，采用 solid164實體單元，單元積分形式為單點高斯積分，加上沙漏控制。大輪底面和小輪內圈采用剛體材料，彈性模量為2.1 ×1011Pa，泊松比為0.3，采用 shell163 殼單元，殼單元屬性默認。

定義大輪和小輪之間為自動面面接觸，約束大、小輪除了沿其各自軸線的旋轉自由度以外的所有自由度，對小輪內圈施加恒定轉速1200 r/min，同時對大輪底面施加恒定負載扭矩200 Nm。

3 計算結果與分析

基于上節所建立的有限元模型及確定的相關參數，應用LS－DYNA對螺旋錐齒輪的動態嚙合特性進行有限元分析。

由于小輪轉速及質量屬性不變，可忽略其慣性載荷影響。因此，通過改變大輪的密度來改變大輪的質量屬性，同時保持其他條件一致，以對比不同慣性載荷下準雙曲面齒輪動態嚙合的變化規律。分別建立三種對比模型，不同密度大輪與真實密度大輪的質量比分別為:0.1∶1，1∶1，10∶1，分別用代號Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ表示。其中，模型Ⅱ為真實的齒輪模型。

3.1 慣性載荷對運動特性和齒面接觸力的影響

為了避免強烈的初始嚙合沖擊，對小輪的轉速采用逐步施加，如圖5所示。

從大輪的轉速變化(圖6)可知，不同質量比模型的大輪轉速均經過波動后近似于穩定值22.56 rad/s，但仍然呈現小幅波動，這與螺旋錐齒輪的傳動特性是吻合的。隨著慣性載荷的增大，大輪轉速波動頻率減小。

圖5 模型Ⅱ的大小輪轉速對比圖Fig.5 Comparison diagram of the rotational speeds of gear and pinion in modelⅡ

圖6 不同質量比模型的大輪轉速歷程Fig.6 The gear’s rotational speed time history of different model

由圖7、圖8和圖9可知，質量比為0.1∶1時，齒面最大接觸力為18.98 kN;質量比為1∶1時，最大接觸力為142.16 kN;質量比為10∶1時，輪齒最大沖擊接觸力為1194.20 kN。可見，隨著慣性載荷的增大，齒面接觸力波動幅值顯著增大，波動頻率明顯減小。

綜上，慣性載荷對螺旋錐齒輪運動特性、齒面接觸力波動幅值和頻率均有顯著影響:隨著慣性載荷的增大，大輪轉速波動頻率減小，齒面接觸力波動的幅值增大，波動頻率減小。

圖7 模型Ⅰ的齒面接觸力歷程Fig.7 The tooth contact force time history of modelⅠ

圖8 模型Ⅱ的齒面接觸力歷程Fig.8 The tooth contact force time history of modelⅡ

圖9 模型Ⅲ的齒面接觸力歷程Fig.8 The tooth contact force time history of modelⅢ

3.2 慣性載荷對接觸區域的影響

圖10、圖11 和圖12 分別表示質量比為0.1∶1、1∶1和10∶1三種模型在相同時刻(0.0116 s)的小輪齒面應力云圖。其中，圖中的H22431、H21123、H34854分別表示三種模型當前時刻最大齒面應力所在單元。

對比三種質量比模型的齒面應力云圖可知，齒面接觸區均為類橢圓形。總體上看，隨著質量比的增大，慣性載荷隨之增大，接觸橢圓的長軸半徑即接觸區寬度也逐漸增大。其中，質量比為0.1∶1為單齒接觸，齒面最大接觸應力位于齒面中間部位;1∶1模型為2齒接觸，最大接觸應力位置偏向齒頂;而隨著慣性載荷的進一步增大，質量比為10∶1模型變為3齒接觸，接觸區更大，齒面最大接觸應力出現在第三齒。

結合圖10、圖11和圖12，對比不同質量比模型在相同位置(單元22311)的有效應力歷程，分別如圖13、圖14及圖15所示。其中，質量比為0.1∶1模型單元22311的最大應力為204.84 MPa;質量比為1∶1模型的最大應力為512.18 MPa;質量比為10∶1模型的最大應力為2195.8 MPa。可見，隨著質量比即輪齒慣性載荷的增大，齒面接觸應力增大。

圖10 模型Ⅰ的大輪齒面應力云圖Fig.10 Pressure pattern of pinion in modelⅠ

圖11 模型Ⅱ的大輪齒面應力云圖Fig.11 Pressure pattern of pinion in modelⅡ

圖12 模型Ⅲ的大輪齒面應力云圖Fig.12 Pressure pattern of pinion in modelⅢ

圖13 模型Ⅰ齒面單元有效應力歷程Fig.13 The effective stress time history of the surface element in modelⅠ

圖14 模型Ⅱ齒面單元有效應力歷程Fig.14 The effective stress time history of the surface element in modelⅡ

圖15 模型Ⅲ齒面單元有效應力歷程Fig.15 The effective stress time history of the surface element in modelⅢ

非線性動力分析程序用于工程計算，最大的困難是耗費機時過多，顯式積分的每一時步，單元計算的機時占總機時的主要部分。采用單點高斯積分的單元計算可以極大地節省數據存貯量和運算次數，但是單點積分可能引起零能模式(沙漏)，需加以控制。根據LSTC公司的經驗推薦，沙漏能與內能的比值小于10%是可以接受的。查看本算例的能量關系圖，如圖16所示。可以計算得到沙漏能平均值是內能平均值的2.91%，可見，該分析中單點積分引起的沙漏是可以忽略的。

圖16 沙漏能與內能對比示意圖Fig.16 Comparison diagram of internal energy and hourglass energy

4 結論

(1)根據動力學原理和Lagrange乘子約束，提出了考慮慣性載荷的螺旋錐齒輪動態嚙合分析有限元模型，為客觀、準確地分析螺旋錐齒輪的動態嚙合性能提供了必要的準備。

(2)慣性載荷對齒輪運動特性和齒面接觸力的波動幅值和頻率均有顯著影響:隨著慣性載荷的增大，齒面接觸力的波動幅值增大，波動頻率減小。

(3)慣性載荷對輪齒接觸的接觸區寬度、齒面接觸應力以及最大應力位置有明顯影響:隨著齒輪慣性載荷的增大，接觸區寬度增大，齒面接觸應力增大。

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