局部應變法預測飛機結構帶孔部件疲勞壽命

童第華, 陳志偉

(1.北京航空材料研究院,北京 100095;2.北京航空工程研究中心,北京 100076）

局部應變法預測飛機結構帶孔部件疲勞壽命

童第華1, 陳志偉2

(1.北京航空材料研究院,北京 100095;2.北京航空工程研究中心,北京 100076）

介紹了應用Levenberg-Marquardt迭代法計算局部應力和局部應變的工作。Levenberg-Marquardt迭代法是求解超越方程的一種常用數學方法,但是缺點是程序比較復雜,計算效率較低,因此本文目的是找到一種程序實現簡單、計算效率高、計算精度滿足要求的計算方法,選擇了二分法,并且對比分析了二分法和Levenberg-Marquardt迭代法求解局部應變與應變壽命方程的效率和精度,從而得出應用二分法來進行求解是簡單并且可以被工程應用的;最后結合某飛機結構一種帶孔部件的實例,應用局部應力應變法給出了該部位的壽命預測值,通過和試驗壽命值的對比,得出了考慮平均應力修正的應變壽命方程才更符合工程要求。

局部應力應變法;Levenberg-Marquardt迭代法;二分法;應變壽命方程;平均應力修正

金屬在較高的循環應變作用下發生的疲勞失效,稱為應變疲勞。金屬材料的應變疲勞壽命一般都較短,故將應變疲勞稱為低周疲勞,即短壽命疲勞。局部應力應變法結合材料的循環應力應變曲線,通過彈塑性有限元分析或其他計算方法,將構件上的名義應力譜轉換為危險部位的局部應變(應力）譜,然后根據危險部位的局部應力應變歷程估算壽命[1]。

結構在其服役期間總體上處于彈性范圍內,但某些疲勞危險部位在大載荷情況下卻進入彈塑性狀態,應力和應變關系不再是線性關系,塑性應變成為影響其疲勞壽命的主要因素。局部應力應變法在疲勞壽命估算中考慮了塑性應變的影響和載荷順序的影響,因而用它估算結構的疲勞裂紋形成壽命通常可以獲得比較符合實際的結果[2]。

本研究就局部應力應變法展開研究,應用Levenberg-Marquardt迭代法和二分法來求解局部應力、局部應變和應變壽命公式,并對兩種方法的計算結果進行比較分析;進一步分析了應變壽命公式平均應力修正的必要性;結合某飛機結構一種帶孔部件的模擬試件,給出預測的疲勞壽命,并與試驗壽命進行比對分析。

1 局部應力應變法估算結構疲勞壽命的步驟[3]

用局部應力應變法估算結構疲勞壽命,首先估算疲勞危險點的彈塑性應力應變歷程,然后對照材料的疲勞性能數據,按照疲勞累積損傷理論,進行循環續循環的疲勞損傷的累積,最后得到構件的疲勞壽命,其步驟如圖1。

圖1 局部應力應變法壽命估算的步驟Fig.1 Process of local stress-strain method

2 局部應變和局部應力的求解

本研究主要采用Neuber法來計算缺口根部的局部應力和局部應變[4]。Neuber提出的計算缺口根部彈塑性應力應變的方程為:

式中KT為理論應力集中系數;Kσ=σ/S為應力集中系數,σ為缺口根部的局部應力,S為名義應力,在試驗件處于彈性時,Kσ=KT;Kε=ε/e為應變集中系數,ε為缺口根部的局部應變,e為名義應變,在試驗件處于彈性時:

在工程實際中,通常結構整體上處于彈性,即名義應力S和名義應變e之間為彈性關系S=Ee,將此帶入式(1）得:

式中C被稱之為Neuber常數;E為彈性模量。

Morrow[5]等認為,在循環加載條件下,切口根部的局部應力范圍 Δσ和局部應變范圍 Δε,也可以用式(3）計算,于是:

材料的穩態循環應力-應變曲線,可用下式表示:

式中K′為循環強度系數,n′為循環應變硬化系數。

將式(4）和式(5）聯立求解,從名義應力即可得到局部應力和應變(Δσ和 Δε）之值,這樣問題就轉化為對(4）和(5）這個超越方程組精確求解的問題,本文后面會對這個問題進行詳細的闡述。

3 應變壽命的求解

在所有的應變壽命公式中,Manson-Coffin公式[6]使用最為廣泛,其表達式為:

由于大多數給出的Manson-Coffin公式的參數是在Rε=-1下得到的,而實際疲勞載荷幾乎都是非對稱應變循環,因此在使用Rε=-1下的 Δε-N曲線進行疲勞壽命估算時,需要對 Δε-N曲線進行修正。一些學者在這方面做了很多工作,提出了一些很有價值的考慮平均應力修正的應變壽命公式[7],如Morrow平均應力修正公式:

本研究就根據Morrow方法對Rε=-1的 Δε-N曲線進行修正。

通過上節的分析我們可以得到每個循環的局部應力和局部應變值,將局部應變值帶入式(7）即可求出當前應變幅值下的壽命Nf,那么現在的問題就是精確求解這個超越方程。求解超越方程(4）,(5）和(7）的方法也有很多,被廣泛應用的是二分法(區間對分）和迭代法,下面就對這兩種數值算法進行對比分析。

4 超越方程的數值解法

4.1 Levenberg-Marquardt法

在求解 Δσ和 Δε以及應變壽命方程的過程中,一方面需要求解超越方程,另外由于載荷譜是一個較長較復雜的載荷歷程,所以必須借助計算機對很長的峰谷歷程逐個循環求解。

對下列一般非線性方程組(8）:

求解的方法有很多,最常用的是采用迭代方法逐步逼近近似求解。迭代求解該問題的方法,一般可利用成熟的軟件包求解。本文就利用了MATLAB軟件包中Levenberg-Marquardt法[8]求解局部應力和局部應變。

Levenberg-Marquardt方法是一種牛頓類型的方法。在普通的梯度算法中,收斂的方向始終是待解方程函數的梯度方向。而在Levenberg-Marquardt算法中,采用了一個方向矢量不斷調整計算的收斂方向,可以獲得更好的收斂性。其求解的主要過程為:設是的Jacobian矩陣,即式(9）,方程未知量的迭代法則可以用式(9）表示。

式(10）中為程序自動調整的試探性參數,為單位矩陣。

整個計算過程在MATLAB中進行,算法的每次迭代都對進行自適應調整,當接近一個解時,逐漸減小,迭代式(10）演變成Gauss-Newton法;當遠離解時,λ逐漸增大,迭代式(10）則演變成梯度下降法,可以進行全局搜索,所以Levenberg-Marquardt算法同時具備了牛頓法的局部收斂性和梯度法的全局搜索性的優點。由于Levenberg-Marquardt算法中 [J(xk）TJ(xk）+λkI]是正定的,所以式(10）的解總存在,保證了算法的穩定性,算法流程圖如圖2。實際計算中,迭代增量s小于容許誤差限(e=1.00E-10）即認為收斂,輸出計算終值。

圖2 Levenberg-Marquardt算法流程圖Fig.2 Levenberg-Marquardt algorithm process chart

與其它迭代算法一樣,Levenberg-Marquardt算法的計算結果依賴于初值的選取,合理的選取初值是保證計算結果快速收斂到所需精度的關鍵,本文用下面的方法巧妙的解決了這個問題。

4.2 二分法

在應用Levenberg-Marquardt法求解上述超越方程的時候,我們發現Levenberg-Marquardt法的求解精度很高,但不足的是程序實現比較復雜,并且隨著求解方程數量的增加計算效率顯著下降,為此下面介紹下一種程序實現簡單、計算效率高的計算方法—二分法。

應用二分法來計算時,首先需要定義一個含根的區間[a,b]。不失一般性,取為a=1,b=109。還需要明確f(Nf）的表達式:

式中的 σ′f,E,b,c,ε′f均為材料參數。圖 3給出求解上面復雜超越方程的二分法計算流程圖。

圖3 二分法計算流程圖Fig.3 Dichotomy calculation process chart

5 實驗與計算結果

某型飛機一個帶孔部件的模擬試件的具體材料數據如下:板寬W=12mm,孔直徑 D=3.5mm。材料的性能常數為:彈性模量E=69000MPa,拉伸強度 σb=505MPa,循環強度系數K′=723.4MPa,應力集中系數Kt=2,循環硬化系數 n′=0.0845。應變疲勞參數為 σ′f=859.56MPa,b=-0.1023,c=-0.615, ε′f=0.88。表1給出了某型飛機一個帶孔部件的模擬試件在某基準譜下試驗結果。

我們根據式(4）和式(5）利用二分法和Levenberg-Marquardt迭代法求出的 Δε,將其帶入到式(11）中就可求出當前應變幅下的壽命Nf。

例如,對于第一個循環,根據表2中求出的Δε,將其帶入Manson-coffin公式,分別根據二分法和Levenberg-Marquardt迭代法來計算壽命Nf,其結果比較見表3。

表1 一個帶孔部件模擬試件在某基準譜下試驗結果Table 1 The test results of a hole part simulation specimen at X reference spectrum

表2 應用二分法和迭代法的Δε計算結果Table 2 The Δε calculate results of application dichotomy and iterative

表3 應用二分法和迭代法的壽命計算結果Table 3 The life calculate results of application dichotomy and iterative

從表2和表3中可以看出應用二分法和Levenberg-Marquardt迭代法計算出的局部應變結果和壽命結果都十分接近,也說明了計算結果是十分接近真值的,是可以被工程應用的,但是Levenberg-Marquardt迭代法的計算效率明顯不如二分法,同時二分法程序編寫簡單,精度也滿足要求,易于被工程上所應用,在此后計算壽命時,采用的就是二分法。

下表4是針對一個帶孔部件在考慮了平均應力影響和未考慮平均應力影響應用二分法計算的壽命結果。

表4 平均應力修正對壽命預測值的影響Table 4 The average stress amend impact on the prediction life

從表4中我們可以看出,未考慮平均應力修正的計算模型,計算出的疲勞壽命值,遠遠高于試驗壽命,而考慮了平均應力修正的計算模型,計算出的疲勞壽命和試驗得到的疲勞壽命相近。這是因為此處實際隨機譜的每個循環的平均應力雖不同但幾乎都是正的,全部為正的平均應力對實際的計算結果產生很大的影響;而未考慮平均應力修正的計算模型,相當于把平均應力都當0來處理,這明顯不符合實際情況,所以說考慮了平均應力修正的計算模型才更符合工程要求。

6 結論

(1）應用局部應力應變法來求解疲勞壽命時,缺口根部的局部應力和局部應變的計算精度直接影響最后計算壽命的精度,本文采用 Levenberg-Marquardt迭代法和二分法來求解非線性方程組,利用這兩種算法編程求解的精度都達到了滿意效果。

(2）求解應變-壽命曲線超越方程,必須采用計算機編程。二分法程序編寫簡單,通過二分法和迭代法的計算結果比較,證實其精度和效率也滿足要求,易于工程應用。

(3）未考慮平均應力修正的應變壽命方程,計算出的疲勞壽命跟實際構件的試驗壽命相差較大,而考慮了平均應力修正的應變壽命方程,計算結果與實際構件的試驗壽命符合得較好。

(4）應用局部應力應變法來預測本文X型飛機結構一個帶孔部件的壽命值時,取得了良好的效果,計算精度滿足了工程要求。

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Fatigue Life Evaluation on Plane Structural Parts with Holes through Local Strain Method

TONG Di-hua1, CHEN Zhi-wei2
(1.Beijing Institute of Aeronautical Materials,Beijing 100095,China;2.Beijing Aeronautical Technology Research Center,Beijing 100076,China）

The thesis introduces the work of calculating local stress and local strain by application of Levenberg-Marquardt's iteration method.As an usual mathematical method to solve super equation,Levenberg-Marquardt's iteration method has some disadvantages such as complicated program,low computing efficiency.Therefore,the paper aims to find out a comparatively simple,high efficient and high precision computing method.Through comparing and analyzing the efficiency and precision of dichotomy and Levenberg-Marquardt's iteration method by which solving strain life equation and local strain range,the thesis proves that the application of dichotomy is simple and applicable for the engineering.At last,through combination with the case of plane's drilled component,applying local stress strain method to calculate the parts'predictive life and comparing that result with the experimental life value,the paper concludes that strain life equation which concerns mean stress correction more fit for engineering requests.

local stress and local strain;Levenberg-Marquardt's iteration method;dichotomy;strain life equation;mean stress correction

10.3969/j.issn.1005-5053.2011.5.017

V223;V215.5

A

1005-5053(2011）05-0086-05

2011-02-23;

2011-07-05

童第華(1985—）,男,博士研究生,(E-mail）Tongdi133@163.com。

book=90,ebook=253