用于微弱信號檢測的改進Duffing混沌電路性能分析

胡文靜， 劉志珍， 厲志輝

(山東大學電氣工程學院，山東 濟南 250061)

0 引言

用Duffing振子的臨界相變檢測微弱信號是當前微弱信號檢測領域的研究熱點，該方法即有重要的理論意義，也有廣泛的實際應用價值。例如目前很多研究嘗試將其用在金屬檢測、振動測量、勘探地震學等領域，近年來很多理論研究都表明Duffing振子檢測噪聲背景下微弱正弦信號從精確度和信號識別能力上要好于一些傳統的檢測方法。相關研究文獻也越來越多［1－4］，但這些文獻大多局限于 Matlab仿真，尚未深入研究Duffing振子的電路實現問題，即使個別的EWB仿真電路也僅適用于很低頻率(ω=1 rad/s左右)的情況，而且也未見其對噪聲背景下電路檢測微弱信號的能力有深入研究，從而限制了其真正的應用［5－6］。本文在分析當前存在問題的基礎上，提出了一種改進的電子線路，適當調整該電路參數，可實現從低頻到高頻的微弱正弦信號檢測。通過進行Multisim仿真，對該電路在較高頻率ω=106rad/s(159155 Hz)下臨界閾值、檢測微弱信號的性能及抗噪聲能力進行了進一步的深入研究。電路中的器件均采用實際器件且對應具體型號，為使Duffing振子檢測微弱信號走向實用提供依據。

1 Duffing振子及其電路實現

1.1 Duffing混沌系統檢測微弱信號的原理

本文研究在混沌弱信號檢測中常用的Homes型的Duffing方程，其狀態方程為

式中:n(t)為白噪聲;ω為待測信號的頻率。該系統主要檢測依據是:噪聲背景中的微弱正弦信號會使該系統由混沌態向大尺度周期態躍變。根據異宿軌道Minikev方法判定，以上方程只是在頻率較低的情況下，其Poincare映射中穩定不變流形與不穩定不變流形才會相交，出現橫截同宿點，進而可能出現混沌解。為了檢測較高頻率的信號，可從原方程出發，經過時間尺度變換得到一個新的動力學方程［6］為

該系統在較高頻率時仍具有從混沌到大尺度周期態的臨界相變，在新的相空間(x－y)中，x，y的相速度提高了ω倍，因此可改變方程中的ω來適應外界不同頻率的信號檢測。為了方便電路實現，將式(2)寫成積分形式為

式中C1和C2為積分常數，當n(t)=0，如果x(0)=0，y(0)=0，則 C1和C2均為0。要用電路實現式(3)少不了積分環節，在電路實現時，如果對式(3)先乘以ω，后積分，由于 ω較大，例如本文中采用ω=106rad/s，電路的直流偏置電源只有－15 V和+15 V，電路就會瞬間飽和。因此這里巧妙地采用先積分后乘以ω的方式設計電路，從而避免了該問題，使電路實現高頻信號檢測成為可能，這也是本文的創新之處，在當前研究混沌微弱信號檢測的文獻中沒有見到。目前已有的Duffing振子EWB仿真電路，多是根據式(1)設計的，電路只適用于頻率很低的情況，即使調整電路參數，可測信號的頻率范圍也很有限，且都是采用虛擬器件［5］，沒有采用具體型號的實際器件。

1.2 Duffing混沌電路的設計

式(3)可通過正弦電壓源、模擬運算放大器、模擬乘法器、電阻、電容及熱噪聲模塊實現。

為了方便說明，能較清晰的看出式(3)各量之間的運算關系，首先給出電路的運算框圖，如圖1所示。圖1中R1C1是由運算放大器組成的差動反相積分器的時間常數，R8C2是反相積分器的時間常數，R1C1和R8C2均和下面圖3中的電路元件相對應。

一般情況下由運放組成的積分器如圖2所示［7］。其輸入和輸出電壓滿足

輸出電壓Uo正比于輸入電壓Ui的積分，其比例系數為－1/(RC)。所以運算框圖1中的R1C1，R8C2均是考慮該比例系數引入的。

圖1 Duffing電路的運算框圖Fig.1 Operational black digram of the Dufffing circuit

圖2 模擬積分器Fig.2 Analog intergrator

圖3是設計的Duffing振子電路，電路中的元器件均采用實際器件，運算放大器采用3554 AM，并對其進行了Multisim仿真。該電路的優點是只要對R1C1，R8C2做合適的調整，該電路即可檢測低頻信號也可檢測較高頻率的信號。拓寬了Duffing電路的檢測范圍。例如本文中 ω取106rad/s(f=159155 Hz)，則反相放大器1的放大倍數為

考慮到運算放大器的性能，單級運算放大器的閉環放大倍數以小于100為宜，不妨取K1=100，則R1C1=K1/ω =100/1000000=10－4。

然后根據差動積分器的設計方法［8－10］，選取合適的R1和C1，這里取

同樣，反相放大器2的放大倍數K2取10，則R8C2=K2/ω =10/1000000=10－5，然后選取合適的R8和 C2，這里取R8=1 kΩ;C2=10 nF。

如果ω取其它值，調整方法同上，這樣通過適當調整R1C1，R8C2，就可以適應不同頻率的檢測。另外圖3中其它電路元件分別取R1=R2=R3=R4=R6=R8=R10=1 kΩ，R7=100 kΩ;R11=10 kΩ;R12=20 kΩ;R13=R14=10 kΩ;R5=R9=10 kΩ，R5和R9是為了解決積分漂移而引入的直流負反饋電阻。直流偏置電源V2=V4=V6=V8=V10=－15 V;V3=V5=V7=V9=V11=15 V。

圖3中的運算放大器在Multisim器件庫中選取3554 AM，其原因簡述如下:其開環增益A=100000，輸入失調和電流分別為Vos=0.0005 V和Ios=4×10－12A，較高的開環增益和微小的輸入失調量可有效減少計算誤差和積分漂移。為了使波形不失真，輸出電壓U0的上升斜率必小于運放的最大擺率。其擺率為1.2×109V/s，可保證波形不失真。

另外，Multisim器件庫中只有虛擬乘法器，如圖3中的A1～A4所示。實際應用中乘法器的選取主要考慮到頻率和擺率，可選取AD734BQ。

圖3 Duffing混沌電路圖Fig.3 Duffing chaotic circuit

2 電路仿真及性能分析

2.1 基于初值敏感性檢測的性能

用Multisim仿真軟件對圖3電路進行了仿真，Multisim是集設計與仿真于一體的虛擬“電子工作臺”。其作用很接近實際的電子試驗臺?？捎闷湓O計、測試、調試電路和進行各種仿真分析。這里設定仿真系統絕對誤差限10－12;相對誤差限0.001，電源頻率選取f=159155 Hz，Multisim中電源電壓為有效值，為方便起見，r取有效值［11－12］。根據電路圖3并結合運算框圖1不難知道:結點①的電壓u1為方程(2)中的x，結點②的電壓u2為方程中的y，將示波器的A通道連接到結點①，B通道連接到結點②，就可以觀察到x、y的時序圖或x－y在二維相平面上的軌跡圖。如果電路的輸入信號源V1為正弦量

r從0到1取不同數值時的時序圖和相軌道圖與Matlab仿真結果類似:歷經同宿軌跡、混沌軌跡、臨界混沌狀態、大尺度周期狀態。特別地，當電源的有效值r=0.52556171 V時，系統表現為臨界混沌態，如圖4(a)所示，如果信號的有效值增加0.00000001 V變為r=0.52556172 V時，電路就由混沌態變為大尺度周期態，如圖4(b)所示;可見Duffing電路仍具有對初始條件的極端敏感性，具備在高頻下檢測微弱正弦信號的前提條件。實驗中還發現Duffing電路也有不同于Matlab仿真結果的獨特之處，其獨特之處及主要原因分析如下:

圖4 Dufffing電路的狀態Fig.4 States of the circuit

1)由混沌態變為大尺度周期態臨界閾值和Matlab數值仿真略有不同，分析其原因主要有兩點:

①所采用的數值解法不同。一般情況下，Matlab采用變步長ode45數值算法，即變步長4、5階Rung-Kutta-Felhberg方法［13－14］，它是 Matlab 中最常用的求解微分方程的命令;而Multisim中主要采用兩種改良的牛頓拉夫遜算法(Newton-Raphson Algorithm):Gmin Stepping算法和 Source Stepping算法［11－12］，由于混沌系統的初值敏感性，算法不同結果也不同。

②Duffing方程的Matlab仿真是嚴格的純數值仿真，而Duffing電路不是嚴格的Duffing方程。由于在Multisim仿真電路中采用了實際型號的真實器件，特別是運算放大器并非理想，其輸入失調電壓Vos，輸入失調電流Ios，輸入偏置電流Ibs對電路從混沌態到大尺度周期態的閾值電壓都有影響，電路的臨界閾值 (幅值)為0.74325649 V，比Matlab求得的臨界閾值0.73111185 V略大［15］，分析其原因主要是因為運算放大器的開環放大倍數不是∞，造成運算放大器的閉環增益要比設計值略小，使得電源需要稍大一點的幅值才能使電路進入大尺度周期態。

2)電路具有過渡過程:電路初始響應階段有過渡過程，電壓u1的初始響應如圖5所示。圖5中過渡過程很短，大約持續50 μs，類似于周期狀態，該過程在相圖中表現如圖4(a)所示。相圖外圍的“環”即是過渡過程。隨著r的增大“環”逐漸增大，當電路處于混沌臨界態時，其最明顯且最大。這在當前已有的研究資料中也沒有見到。

圖5 電壓u1的初始響應Fig.5 The initial response of u1

2.2 Duffing電路檢測微弱信號性能的研究

首先調整Duffing電路使其處于混沌臨界狀態，確定臨界閾值，然后對不同精確度臨界閾值引入不同功率的熱噪聲并確定信噪比。這里采用Multisim器件庫中現成的熱噪聲模塊作為輸入噪聲，在一般檢測系統的工作頻率范圍內可認為電熱噪聲是高斯白噪聲，其均值為零。熱噪聲模塊V12中有3個參數可設定，即帶寬B、電阻值R和溫度T，求信噪比時要計算噪聲功率即方差σ2，σ2可由B、R和T求得，其計算方法如下［16－17］。

根據奈奎斯特給出的熱噪聲的功率譜密度函數為

算出熱噪聲模塊的等效輸出功率為

其中:k為波爾茲曼常數，k=1.38×10－23J/K;T為電阻的熱力學溫度，單位為K;R為電阻的阻值，單位為Ω;B為系統的等效噪聲帶寬，單位為Hz;

上式中的等效噪聲帶寬B可由系統的幅頻特性近似確定，在工程允許的范圍內B可近似用3 dB帶寬來替代［17］。用Multisim對系統進行交流仿真可得系統的幅頻特性，如圖6所示，其縱坐標單位為dB。由圖6可確定3 dB帶寬大約為200kHz，因此不妨設定熱噪聲模塊中的帶寬B為200kHz，另外熱噪聲模塊中的電阻溫度一般取默認值為27℃，其熱力學溫度為

由式(4)可見，如果熱噪聲模塊中B和T一定，調整R的數值就可得到不同功率的熱噪聲，然后據式(4)求出噪聲功率后，確定信噪比，結果如表1所示。表1中臨界閾值從0.5255開始，小數點后每增加一位有效位數，確定一次信噪比。例如，當r=0.5255 V時系統為混沌態，r=0.5256 V時系統處于大尺度周期態，設定r=0.5255 V為臨界閾值，當被檢測信號的有效值最小為A=0.5256－0.5255=10－4V時，系統由混沌躍變為大尺度周期態。然后加入熱噪聲模塊(圖3中的thermal noise)，逐漸增加熱噪聲功率σ2，仿真實驗表明只要噪聲的功率σ2不超過3.312×10－9，其對系統的狀態和相變均無影響，這時最小信噪比［3］可確定為

以此類推，可求得不同檢測精確度時，Duffing電路的信噪比。

圖6 Duffing電路的幅頻特性Fig.6 Amplitude-frequency characteristic

表1 不同檢測精確度時，Duffing電路的信噪比Table 1 When the detection accuracy is changed，the SNR of the Duffing circuit

為了避免噪聲的隨機性給系統狀態和相變帶來誤差，表中的實驗結果均是多次(大于10次)仿真后的結果。實驗中發現一個新的現象:隨著檢測精確度的增加，信噪比在不斷降低，如表1所示。這在以往的研究資料中沒有見到。該現象可解釋為:由于混沌系統對初值的敏感性，信號越微弱，電路對信號越敏感，其相應的抗噪聲能力就越強。其更為深入的混沌學理論證明有待進一步研究。

3 結語

本文討論了較高頻率下Duffing電路的實現問題，改進了以往Duffing混沌電路只適合低頻率檢測的不足，該電路在運算放大器性能足夠好的情況下，通過適當調節參數可實現從低頻到高頻的寬頻帶檢測。通過對該電路的Multisim仿真，研究了Duffing電路在較高頻率下的特性，仿真結果表明:在較高頻率下，系統仍具有對初始值的敏感性和從混沌到大尺度周期態的臨界相變，可用于較高頻率下的微弱信號檢測。通過加入熱噪聲模塊，對Duffing電路的抗噪聲能力進行了進一步的深入研究，研究和理論分析表明:Duffing電路可用于一定噪聲強度下的微弱正弦信號檢測。并發現隨著檢測精確度的增加，信噪比越來越低的新現象。

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