自適應(yīng)干擾對消系統(tǒng)中的積分控制與低通控制

蔣云昊 潘啟軍 唐 健 李 毅

（1.華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 武漢 430074

2.海軍工程大學(xué)艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點實驗室 武漢 430033）

1 引言

從混有噪聲的信號中提取有用信號通常是設(shè)計濾波器。如果按照某種準則，使設(shè)計的濾波器在該準則下最優(yōu)，這就是最優(yōu)濾波問題。隨著自適應(yīng)概念的出現(xiàn)，人們又對自適應(yīng)濾波給以極大的興趣，其中很重要的一個應(yīng)用領(lǐng)域就是自適應(yīng)噪聲對消。B.Widrow等早先對自適應(yīng)噪聲對消進行了研究，并提出如今廣泛應(yīng)用的LMS算法[1]。只要能從噪聲場中獲得參考輸入，就能將該噪聲從信號中衰減或濾除以獲得有用信號。J.Glover從頻域研究了正弦信號下的自適應(yīng)噪聲對消技術(shù)[2]，隨后人們對LMS算法的統(tǒng)計性能和改進算法進行了大量的研究[3-9]，并將自適應(yīng)噪聲對消技術(shù)應(yīng)用到干擾抑制和噪聲控制等方面[10-14]。Compton從統(tǒng)計分析的角度對自適應(yīng)陣列中積分器極點對系統(tǒng)性能的影響進行了理論分析[15]。

本文針對共平臺接收機受到臨近發(fā)射機的阻塞式干擾的突出問題進行研究，采用自適應(yīng)干擾對消技術(shù)來抑制干擾。研究的干擾信號為窄帶信號，載波頻率在2MHz至數(shù)十MHz，因此從實際器件速率和信號特性考慮，以模擬電路實現(xiàn)的單頻干擾信號的分析作為系統(tǒng)設(shè)計的參考。

有關(guān)LMS算法的數(shù)字理論研究較多，大多從統(tǒng)計信號理論進行分析。LMS算法權(quán)值更新從模擬實現(xiàn)的角度需要理想積分器，而實際器件無法實現(xiàn)真正的積分，通常用低通近似積分，帶來的問題就是權(quán)值不會收斂到最優(yōu)。本文針對研究對象的特點，從低通控制的角度研究系統(tǒng)的時域特性，并和通常低通控制忽略高頻項的分析方法進行比較，得出一些有益結(jié)論。為了和理想的積分控制下系統(tǒng)的特性比較，首先對積分控制進行分析。

2 系統(tǒng)模型

自適應(yīng)干擾對消系統(tǒng)如圖1所示，圖中XI（t）為干擾信號，Xε（t）為誤差信號，相互正交的參考信號為Xs1（t）和Xs2（t），W1（t）和W2（t）為權(quán)值，Y1（t）和Y2（t）為加權(quán)輸出信號，Y（t）為加權(quán)輸出合成信號，k為權(quán)值支路增益。

圖1 自適應(yīng)干擾對消系統(tǒng)Fig.1 The adaptive interference cancellation system

假設(shè)參考信號為

干擾信號為

剩余誤差為

式中φ—干擾信號初相位；

ω—信號角頻率；

Es—參考信號的幅值；

EI—干擾信號的幅值。

3 信號乘積與相關(guān)性

參考信號和誤差信號的乘積為

參考信號和誤差信號的相關(guān)性為

式中，E0為乘法器的標準信號。

由式（5），當(dāng)相關(guān)性為零時，可得系統(tǒng)的最優(yōu)權(quán)值為

4 積分控制時域分析

根據(jù)圖1，積分的傳遞函數(shù)表達式為1/(τs)，其中τ為時間常數(shù)。可得權(quán)值微分方程組為

將式（4）代入式（7），可得

式（8）為周期時變微分方程組，取權(quán)值系數(shù)矩陣的特征矢量構(gòu)造變換矩陣

滿足

式中，0和2為系數(shù)矩陣的特征根。

令

權(quán)值微分方程組可化為

求解式（12）的特征根為

由式（13）可見，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

式（12）的特解為

利用式（11）可得自適應(yīng)干擾對消系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)權(quán)值為

可見，積分控制下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)權(quán)值就是使干擾對消至零的最優(yōu)權(quán)值。

下面將討論V1（t）和V2（t）在三種阻尼特性下，系統(tǒng)權(quán)值和誤差的收斂過程。

4.1 過阻尼

V1（t）和V2（t）工作在過阻尼狀態(tài)的條件為

可求得V1（t）和V2（t）的解為

式中，A1、B1為待定常數(shù)。

由式（11）反變換可得此時系統(tǒng)的權(quán)值解為

由式（3）可得此時系統(tǒng)誤差的收斂過程為

4.2 臨界阻尼

V1（t）和V2（t）工作在臨界阻尼狀態(tài)的條件為

可求得此時系統(tǒng)的權(quán)值解為

式中，A1、B1為待定常數(shù)。

由式（3），此時系統(tǒng)誤差的收斂過程為

4.3 欠阻尼

V1（t）和V2（t）工作在過阻尼狀態(tài)的條件為

此時系統(tǒng)的特征根可表示為

可求得此時系統(tǒng)的權(quán)值解為

式中，A1、B1為待定常數(shù)。

由式（3）可得此時系統(tǒng)誤差的收斂過程為

由以上三種情況的權(quán)值收斂過程可見，穩(wěn)態(tài)后的權(quán)值就是系統(tǒng)的最優(yōu)權(quán)值，并由誤差收斂過程可見系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

當(dāng)系統(tǒng)工作在臨界阻尼時，有最快的收斂速度。所以設(shè)計時，對系統(tǒng)參數(shù)的選擇要盡量使系統(tǒng)工作在臨界阻尼附近，以獲得綜合的最佳效果。

5 低通控制時域分析

如圖1所示，低通的傳函表達式為（τ2/τ1）/（τ2s+1），可得權(quán)值的微分方程組為

式中，τ1和τ2為有源低通的兩個時間常數(shù)。式（4）代入式（27）可得

由于權(quán)值系數(shù)矩陣與式（8）一樣，采用同樣的變換方法可得常系數(shù)微分方程組為

特征根為

由式（30）可見，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。與積分控制的特征根比較可見，若τ1=τ，其他條件相同，則低通控制有比積分控制更快的收斂速度。

5.1 權(quán)值和誤差的暫態(tài)解

根據(jù)式（30）可得不同阻尼特性下V1（t）和V2（t）的暫態(tài)解，經(jīng)過反變換可求得權(quán)值以及誤差的暫態(tài)解。不同阻尼情況的條件與積分控制的一樣，只是將τ換成τ1。

5.1.1 過阻尼

可求得權(quán)值暫態(tài)解為

式中，A1、B1為待定常數(shù)。

誤差的暫態(tài)過程為

5.1.2 臨界阻尼

可求得權(quán)值暫態(tài)解為

式中，A1、B1為待定常數(shù)。

誤差的暫態(tài)過程為

5.1.3 欠阻尼

此時系統(tǒng)的特征根可表示為

可求得權(quán)值暫態(tài)解為

式中，A1、B1為待定常數(shù)。

誤差的暫態(tài)過程為

與積分控制一樣，當(dāng)系統(tǒng)工作在臨界阻尼時，有最快的收斂速度。所以設(shè)計時，對系統(tǒng)參數(shù)的選擇要盡量使系統(tǒng)工作在臨界阻尼附近，以獲得綜合的最佳效果。

5.2 權(quán)值和誤差的穩(wěn)態(tài)解

由式（29）可得V1（t）和V2（t）的穩(wěn)態(tài)解，利用式（11）和式（3）可求得系統(tǒng)的權(quán)值穩(wěn)態(tài)解和穩(wěn)態(tài)誤差。

權(quán)值的暫態(tài)解為

穩(wěn)態(tài)誤差為

式中

由式（40）可得干擾對消比為

當(dāng)干擾信號頻率較高，滿足ωτ2?1時，若忽略頻率項，由式（40）可得

此時的干擾對消比為

由式（38）～式（40）可見，低通控制下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)權(quán)值已不是式（6）的最優(yōu)權(quán)值，所以穩(wěn)態(tài)誤差不為零。當(dāng)干擾信號的頻率較高，忽略該頻率項時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)權(quán)值為

5.3 有用信號權(quán)值和誤差的穩(wěn)態(tài)解

圖1輸入端含有用信號時，系統(tǒng)的暫態(tài)特性不變。設(shè)有用信號為

式中En—有用信號的幅值；

θ—有用信號初相位；

ωn—有用信號角頻率。

采用與5.1和5.2同樣的方法可得穩(wěn)態(tài)權(quán)值為

式中

有用信號穩(wěn)態(tài)值為

系統(tǒng)對有用信號的對消比為

6 算例分析

采用提高增益k和調(diào)節(jié)τ2的方法進行比較。算例參數(shù)設(shè)為：En=0.1V，Es=2V，EI=0.2V，E0=1V，τ1=10-4s，ω=2π×2×106rad/s，ωn=(2π×2×106-2×105)rad/s，φ=30°，θ=60°。當(dāng)τ2=10-4s，k=10～100時，精確計算的干擾對消比ICR1、忽略高頻計算的干擾對消比ICR2以及系統(tǒng)對有用信號的對消比WCR隨增益k變化的曲線如圖2所示。由圖2可見，由于干擾信號頻率較高，精確計算和忽略高頻計算的結(jié)果非常接近。而通過增大k提高干擾對消比的同時，對有用信號的衰減也會同樣增加。

圖2 干擾信號和有用信號的對消比隨k變化的曲線Fig.2 The cancellation ratio of interference signal and desired signal variation with k

圖3 和圖4為τ2=10-4s，k=10和k=100時精確計算和忽略高頻計算的剩余干擾信號以及剩余有用信號的穩(wěn)態(tài)時域波形。其中的剩余干擾信號為精確計算和忽略高頻計算的結(jié)果，兩者的曲線幾乎完全重合。k=100時的剩余干擾信號和剩余有用信號均比k=40時的減小。計算可得k=100時的干擾對消比和有用信號對消比約為46dB和20dB；k=40時的干擾對消比和有用信號對消比約為26dB和3dB，與圖2相同條件下的結(jié)果一致。

當(dāng)k=10，τ2=（10-4～10-3）s時，精確計算的干擾對消比ICR1、忽略高頻計算的干擾對消比ICR2以及系統(tǒng)對有用信號的對消比WCR隨增益k變化的曲線如圖5所示，由圖可見，精確計算和忽略高頻計算的結(jié)果非常接近。在干擾對消比提高的同時，有用信號的衰減沒有變化。

圖3 剩余干擾信號和剩余有用信號的時域波形(k=10)Fig.3 The waveforms of residual interference signal and residual desired signal(k=10)

圖4 剩余干擾信號和剩余有用信號的時域波形（k=100）Fig.4 The waveforms of residual interference signal and residual desired signal（k=100）

圖5 干擾信號和有用信號的對消比隨τ2變化的曲線Fig.5 The cancellation ratio of interference signal and desired signal variation with τ2

圖6 為k=10，τ2=10-3時的剩余干擾信號和剩余誤差信號的時域波形，其中剩余干擾信號為精確計算和忽略高頻計算的結(jié)果，兩者曲線幾乎完全重合。比較圖6和圖3可見，τ2增大使剩余干擾信號減小，計算可得此時的干擾對消比約為46dB與圖5相同條件下的結(jié)果一致。而有用信號的衰減沒有變化，仍為3dB，與圖5的結(jié)論一致。

圖6 剩余干擾信號和剩余有用信號的時域波形Fig.6 The waveforms of residual interference signal and residual desired signal

7 結(jié)論

本文求解了自適應(yīng)干擾對消系統(tǒng)中采用積分控制和低通控制的權(quán)值和誤差的解析解，得到以下結(jié)論：

（1）通常忽略高頻項對系統(tǒng)模型的求解得到的暫態(tài)特性是平均意義下的，不能反映系統(tǒng)的不同阻尼特性，對穩(wěn)態(tài)權(quán)值和穩(wěn)態(tài)誤差以及干擾對消比的計算也是近似的。

（2）當(dāng)τ2→∞時，低通控制等效為積分控制。僅通過增大k來提高干擾對消比會使系統(tǒng)的3dB帶寬隨之增大，而通過增大τ2來提高系統(tǒng)的增益和干擾對消比可以保證系統(tǒng)的3dB帶寬不變，有利于保證系統(tǒng)的頻率選擇性。

[1] Widrow B,Glover J R,Cool Mc J M,et al.Adaptive noise cancelling: principles and applications[J].Proceedings of the IEEE,1975,63(12): 1692-1716.

[2] Glover J R.Adaptive noise canceling applied to sinusoidal interferences[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,1977,25(6): 484-491.

[3] Widrow B,Kamenetsky M.On the statistical efficiency of the LMS family of adaptive algorithms[C].Proceedings of the International Joint Conference on Neural Networks,2003: 2872-2880.

[4] Flores A,Widrow B.Assessment of the efficiency of the LMS algorithm based on spectral information[C].Conference Record of the 38th Asilomar Conference on Signals,Systems and Computers,2004: 120-124.

[5] Kamenetsky M,Widrow B.A variable leaky LMS adaptive algorithm[C].Conference Record of the 38th Asilomar Conference on Signals,Systems and Computers,2004: 125-128.

[6] Akhtar M T,Abe M,Kawamata M.A new variable step size LMS algorithm-based method for improved online secondary path modeling in active noise control systems[J].IEEE Transactions on Audio,Speech and Language Processing,2006,14(2): 720-726.

[7] Tobias O J,Seara R.On the LMS algorithm with constant and variable leakage factor in a nonlinear environment[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(9): 3448-3458.

[8] Zhang Y G,Chambers J A,Sanei S,et al.A new variable tap-length LMS algorithm to model an exponential decay impulse response [J].IEEE Signal Processing Letters,2007,14(4): 263-266.

[9] 李嘉全,王永.一種新的濾波X-LMS算法研究[J].振動與沖擊,2008,27(3): 5-9.Li J Q,Wang Y.Study on filtered X-LMS algorithm[J].Journal of Vibration and Shock,2008,27(3): 5-9.

[10] Wang Z L,Zhang X W.A high performance speech enhancement algorithm based on double-channel adaptive noise cancelling[C].IEEE International Symposium on Microwave,Antenna,Propagation and EMC Technologes for Wireless Communications Proceedings,2005:983-986.

[11] Das D P,Panda G,Kuo S M.New block filtered-X LMS algorithms for active noise control systems[J].IET Signal Processing,2007,1(2): 73-81.

[12] 周峰,李亞超,邢孟道,等.利用改進的LMS算法抑制時變SAR窄帶干擾的研究[J].電波科學(xué)學(xué)報,2007,22(5): 722-727.Zhou F,Li Y C,Qing M D,et al.Time variable narrow band interference suppression for SAR using the algorithm of improved LMS[J].Chinese Journal of Radio Science,2007,22(5): 722-727.

[13] Huang Y F,Hung H L,Wen J.Performance of a novel adaptive multistage full parallel interference canceller for CDMA systems[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology,2008,57(3): 1944-1941.

[14] Paschedag J,Lohmann B.Error convergence of the filtered-X LMS algorithm for multiple harmonic excitation[J].IEEE Transactions on Audio,Speech,and Language Processing,2008,16(5): 989-999.

[15] Compton R T.The effect of integrator pole position on the performance of an adaptive array[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,1981,17(4): 598-602.