面向齒輪箱故障診斷的序貫概率比檢驗理論和方法

尚云飛,陳漢新，孫 魁

(武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢，430205)

0 引 言

1947年，Wald[1]提出了序貫概率比檢驗算法.該算法基于兩種假設：(1)樣本要滿足獨立同分布；(2)樣本的先驗分布要已知，如滿足正態分布等[2].序貫概率比檢驗算法應用于齒輪箱的故障診斷與傳統的故障診斷方法不同的是，不需要預先設定檢驗樣本的數量，而是將序貫概率比檢驗后的值與預先設定的閾值進行比較，從而判斷設備的運行狀態[3].

在齒輪故障診斷實驗中，選用齒輪裂紋來模擬齒輪故障.實驗中得到的信號會夾雜著噪聲等干擾，影響了信號的穩定性.首先，采用小波包降噪的方法對信號進行預處理，以得到穩定的振動信號.再運用時域分析法提取信號的特征值，最后對信號進行序貫概率比檢驗.為了驗證序貫概率比檢驗算法用于齒輪箱故障診斷的診斷能力，選用均方根誤差的方法來驗證該方法的有效性.

1 序貫概率比檢驗原理

對于一個二元序貫概率比檢驗，零假設和被擇假設分別表示為H0∶θ=θ0和H1∶θ=θ1.它們的聯合分布密度函數為

(1)

其中，j=0,1.序貫概率比檢驗的似然比λ為

λn(x)=λn(x1,…,xn)=

(2)

假設x1是采樣得到的第一個觀測數據值，將其帶入公式(2)中計算似然比，記為λ1(x1).按預先設定的閾值對兩種故障模式進行識別.如果似然比滿足λ1(x1)A，接受備擇假設H1，拒絕零假設H0；如果似然比為B≤λ1(x1)≤A，就繼續提取第二個觀測值并計算λ2(x1,x2)繼續檢驗，直到滿足停止檢驗的閾值要求為止.這個假設檢驗的全過程稱為序貫概率比檢驗.

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根據假設檢驗中犯第一類錯誤的概率α與犯第二類錯誤的概率β確定閾值A和B(A>B).檢驗中的閾值A,B與α，β的關系滿足如下式子：

(3)

(4)

2 齒輪箱故障診斷實驗

表1 兩種故障模式

如圖1所示的齒輪箱工作結構圖，振動是由齒輪3與齒輪4之間的沖擊力產生的，實驗中選取齒輪3來模擬故障模式.

圖1 齒輪箱工作結構圖

將兩個加速度傳感器分別安裝在齒輪箱的水平和垂直方向，采用動態模擬器來采集齒輪箱振動信號.本文只對安裝在水平方向上的傳感器所測得的振動信號進行分析.將正常狀況下得到的振動信號記為S1,故障狀況下得到的振動信號記為S2.

3 齒輪裂紋的序貫概率比檢驗

3.1 小波包降噪

小波包變換通過對信號的低頻部分和高頻部分的同時分解來提高時頻分辨率.將實驗信號進行3層小波包分解，就可以得到8個正交頻帶的振動信號，再對信號進行重構[4].這可以對信號處理得更細致、準確.得到適合序貫概率比檢驗的平穩信號.

3.2 特征參數提取

特征參數可以反映振動信號的特征信息，從原始振動信號中提取相關的特征參數，將其預處理后作為序貫概率比檢驗的檢驗參數[5-8].實驗中的離散待檢信號xi=[x1,x2,…,xN]，N=8 192，每組取1 024個檢驗點，這樣就可以得到7 169組檢驗數據.幾個特征參數按下面公式計算：

均值：

(5)

峭度值：

(6)

峭度值的所有取值作為作為序貫概率比檢驗的檢驗參數，表示為ki=[k1,…,kn]，其均值和標準差為：

均值：

(7)

標準差：

(8)

3.3 齒輪裂紋的序貫概率比檢驗

由序貫概率比檢驗的基本原理可知，待檢驗序列的均值和方差對似然比有較大的影響.經過預處理后，幾組檢驗參數的序列基本滿足高斯分布.在正常狀況下，該信號序列滿足零假設H0∶μ=μ0；在故障狀況下，該信號序列滿足被擇假設H1∶μ=μ1.標準差σ不變，均值變化，在零假設和備擇假設均成立的條件下，該序列的聯合概率密度分別表示為：

(9)

(10)

式(10)中，p0i和p1i分別為零假設和備擇假設條件下的概率密度函數.序貫概率比檢驗的似然比為

(11)

式(11)中，P0和P1分別為零假設和備擇假設條件下的先驗概率.

在實際應用中，為了計算方便且準確，公式(11)可以轉化為下面形式[9]：

(12)

此時，閾值a=lnA，b=lnB.

如果似然比滿足Δa，接受備選假設H1，即為故障狀況；如果似然比滿足b<Δ

圖2 齒輪箱序貫概率比檢驗流程圖

3.4 誤差分析

為了檢驗采用序貫概率比檢驗算法對齒輪裂紋進行故障診斷的診斷性能和可行性，用均方根誤差算法來評估其診斷能力.均方根誤差定義為:

(13)

4 結果與分析

4.1 實驗結果

對于正常狀況和故障狀況兩種故障模式，實驗中共得到圖3所示的S1和S2兩組振動信號.

圖3 兩組實驗振動信號：(S1)為正常狀況；(S2)為故障狀況

4.2 預處理結果

對實驗信號進行小波包去噪處理，得到穩定的信號，如圖4所示.

圖4 小波包去噪后的振動信號，(S1)為正常狀況；(S2)為故障狀況

4.3 序貫概率比檢驗結果分析

峭度值對沖擊性特性很敏感，均值偏差對似然比、檢驗時間的長短以及檢驗的準確性都有影響.對假設H0和H1，規定犯第一類錯誤的概率與犯第二類錯誤的概率相等，取α=β=0.005，并且所觀測信號的先驗概率是相等的.

由序貫概率比檢驗的基本原理可知，均值變化量對似然比Δ的影響較大.以正常狀況下的信號S1的均值作為參數μ0，以故障狀態下的信號S2的均值作為參數μ1，對信號進行檢驗，得到如圖5所示的圖形.

圖5 以正常狀況下的信號S1的均值作為參數μ0，以故障狀態下的信號S2的均值作為參數μ1的序貫概率比檢驗結果

當以正常狀況下的信號S1的均值作為參數μ0，以故障狀態下的信號S2的均值作為參數μ1時，分別將信號S1和S2輸入似然比公式中檢驗，得到圖5.圖5說明輸入信號S1時，似然比滿足Δa，可以判斷齒輪箱發生故障.此外，本文提出的序貫概率比檢驗算法可以對正常和故障的信號進行有效的區分.

4.4 誤差結果分析

實驗中，在正常狀況下獲得兩組實驗數據，每一組預處理并提取特征值后得到7 169個數據點，兩組信號就共有14 338個數據點.將這些數據點分為16小組，分別記為A1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1，I1，J1，K1，L1，M1，N1，O1，P1組.將每一組數據進行序貫概率比檢驗，得到16個似然比的值，分別記為A2，B2，C2，D2，E2，F2，G2，H2，I2，J2，K2，L2，M2，N2，O2，P2.用均方根誤差方法來計算這16個似然比之間的誤差，即A2分別與B2到P2這15個似然比比較，B2分別與C2到P2這14個似然比比較，C2分別與D2到P2這13個似然比比較，…，O2與P2比較，得到15組比值，其中每組比值中的最大值分別如以下圖中所示的m1，m2，m3，…,m15.故障模式下計算的似然比記為a，運用均方根誤差算法分別與上面的16組似然比值比較，即a與A2，B2…P2比較，計算不同故障模式之間的誤差，共得到到16個誤差值點，形成的誤差曲線如下面圖中的曲線.通過誤差的比較來評估序貫概率比檢驗算法應用于齒輪裂紋的故障診斷的診斷能力.

以正常信號的均值作為參數μ0，以故障信號的均值作為參數μ1，建立序貫概率比檢驗模型.檢驗結果如圖6所示.

將實驗中得到并預處理后的14 338個正常齒輪的數據信號，分為16組，進行序貫概率比檢驗，得到圖6(a)所示的16條normal曲線.同理，對故障的數據信號進行序貫概率比檢驗，得到圖6(a)所示的fault曲線.圖6(a)說明16組正常信號的似然比曲線大體趨勢相同，與故障信號的似然比曲線有明顯的差異.運用均方根誤差算法計算16組正常信號的似然比之間的誤差，共得到15組誤差數據，每組誤差數據中的最大值如圖6(b)中的條形圖所示.繼續計算故障信號分別與正常信號似然比之間的誤差，得到如圖6(b)所示的誤差曲線.圖6(b)說明不同故障模式之間的誤差遠大于同種故障模式彼此之間的誤差，也就是說，序貫概率比檢驗算法可以對不同故障模式進行有效的分類和識別.

圖6 16組正常信號和故障信號的序貫概率比檢驗及誤差計算

5 結 語

基于序貫概率比檢驗算法建立了一種新的齒輪箱故障診斷模型.通過對正常和故障齒輪狀態的識別與檢驗，來檢驗序貫概率比檢驗算法的有效性.實驗中得到的振動信號夾雜著噪聲等干擾，采用小波包去噪方法對原信號進行預處理，得到穩定的檢驗信號.采用時域分析法提取信號的特征值，本文中提取對沖擊性振動敏感的峭度值作為特征值.運用均方根誤差算法來檢驗序貫概率比檢驗算法的診斷能力.結果表明本文提出的方法能夠有效地對齒輪進行故障診斷.序貫概率比檢驗算法對齒輪裂紋的識別和診斷具有很好的有效性和可行性.此外，上述方法也適用于復雜旋轉機械的故障診斷與檢測.

參考文獻：

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[9]Min Z H,Sun L M.A novel non-parametric sequential probability ratio test method for structural condition assessment[C]∥Health Monitoring of Structural and Biological Systems.Edited by Kundu,Tribikram,Proceedings of the SPIE,2010(7650):1-9.