基于多相濾波結構的整數倍內插技術

黃 磊

(中國電子科技集團公司第五十四研究所,河北石家莊050081)

0 引言

一個數字信號處理系統為了便于信息編碼、傳輸和存儲,或是為了節省系統資源以及實現有不同速率要求的系統兼容,往往需要不同的采樣率。另外,從寬帶信號中提取出窄帶信號以及在寬帶信號中構建窄帶信號這2個方面的應用也日益重要,而這2個方面應用所需的基本信號處理方法就是變換數據速率,即多速率信號處理。多速率信號處理是進行采樣率變化的理論基礎,其實質就是用數字信號處理方法直接改變信號的采樣速率,即對信號進行抽取或內插。

對數據進行降低采樣速率的處理,這個過程叫做抽取,把提高信號采樣速率的過程叫做內插。但無論設計抽取器還是內插器,都要面臨著處理高速率數據的問題。在高數據速率的情況下設計窄帶濾波器意味著快速運算以及耗費更多的硬件資源,半帶濾波器、級連積分梳狀濾波器和多相濾波器恰恰是解決抽取、內插時面臨的處理高數據速率的有效方法。

1 多速率信號處理

首先討論整數倍內插運算的原理。插值運算主要作用是增加采樣頻率,采樣率提高L倍,也就是在2個相鄰采樣點間插入L-1個樣點,同時不能改變原信號的頻譜形狀,并保證在原信號的通帶外不能存在其他頻率成分。如果信號為x(n),內插后輸出為:

內插器輸出信號c(k)的Z交換為:

對某個序列進行整數倍內插,相當于對原序列在時域進行擴展,經過內插大大提高了時域分辨率,內插后的信號頻譜為原頻譜經L倍壓縮后得到的譜。如果信號采樣率提高了L_倍,必然會在頻域產生L-1個鏡像,這些高頻分量要依靠低通濾波器濾除,才能保證信號內插后不出現畸變。數字濾波器可以用常系數線性差分方程來描述:

其系統函數為:

由于有限沖激響應(FIR)數字濾波器具有穩定、嚴格的線性相位等優點,所以在實現多抽樣率系統時多采用FIR結構來設計濾波器。

在多速率信號處理中,多相濾波的核心思想就是濾波和整數倍的采樣速率轉換在一個級聯結構中分段實現,這樣,多相濾波器能工作在低的采樣率下,而產生高采樣率的輸出信號,降低了對數字濾波器的實時性要求,且保證結果不發生頻譜混疊。

2 數據速率轉換中的濾波器

半帶濾波器非常適合于實現D=2M倍的抽取或內插,半帶濾波器具有如下性質:

半帶濾波器的沖激響應h(n)除零點外所有偶數點全為零,由此可見,半帶濾波器卷積計算時乘法次數只有一半的計算量。

級連積分梳狀濾波器即CIC濾波器,CIC濾波器由積分器和梳狀濾波器2個基本的功能模塊級連組成。積分器差分方程為:y(n)=x(n)+y(n-1)。

梳狀濾波器是一個奇對稱的FIR濾波器,差分方程為:y(n)=x(n)-x(n-D),D為梳狀濾波器的階數,也是抽取或內插的倍數。那么,CIC濾波器的沖激響應為:

由CIC濾波器沖激響應可以看出,這種濾波器與輸入信號卷積時只有加法沒有乘法,大大減少了硬件運算時間。CIC濾波器可以實現D不是2M倍的抽取或內插,一般與多級半帶濾波器級聯來實現高效濾波。

多相濾波器的所有分支都是一個全通濾波器,其相鄰分支濾波器的相位差為1/D,因此多相濾波可以實現整數倍和分數倍抽取、內插。另外,可以將多相濾波的實質理解為按照相位均分的關系把數字濾波器的傳遞函數分解成若干不同相位的分支,每個分支分別實現濾波,那么每一分支路濾波器的系數由原來的N個減少為N/D個,這樣就大大減小了計算量。通常采樣的帶寬越寬對不同信號的適應性就會更好,而且采樣率高對提高采樣量化的信噪比和分辨率是十分有效的。但是這樣會使ADC后的數據速率很高,增加后續信號處理的難度,多相濾波技術的提出恰好解決了降低處理速率的難題,從而達到對信號實時處理的要求。

3 多相濾波實現內插方法

3.1 網絡結構的等效變換

多抽樣率網絡中實現多相濾波要運用網絡的等效變換把乘法運算盡量安排在低抽樣率的一側,這樣每秒鐘內的乘法次數最少,運算效率最高。可以證明,先零值內插再用H(zL2)低通濾波與先用H(z1)低通濾波后零值內插是等效的。

假設抽取D倍,內插L倍,輸入原采樣序列為x(n1T1),輸出為y(n2T2),傳遞函數與零值內插級聯的等效變換圖如圖1所示。

圖1 傳遞函數與零值內插級聯的等效變換

3.2 多相濾波技術

濾波器多相分解也稱為多相表示,設FIR濾波器的沖激響應為h(n),則其Z變換為:

對Z變換求和式展開,可以得到抽取器的多相濾波結構為:

如果令

Ek(zD)稱為H(z)的多相分量,上式稱為H(z)的多相表示。那么同理Q=N/L時,內插器的多相濾波結構如下:

根據內插器的等效關系可以得到內插器的多相濾波結構如圖2所示。

圖2 內插器中數字濾波器的多相結構

由圖2可知,此時低通濾波器處于內插器之前,也就是說數字濾波是在提速之前進行的。利用多相分解把原型濾波器分解為幾個階數較小的子濾波器,每個支路濾波器RL(z)的階數只有原來的1/L,這樣濾波器結構得到簡化,并且提高了運算精度,降低了硬件復雜度。

將多相內插濾波器和多相抽取濾波器相結合后就可以實現分數倍抽取、內插,并進一步提高運算效率。多相濾波中的FIR濾波器既可以設計為低通濾波器也可以設計為帶通濾波器,其原理是完全相同的。FIR濾波器常用設計方法主要有頻率采樣法、窗函數法和切比雪夫等波紋逼近法。

4 多相濾波的應用

一個信號轉發系統實現框圖如圖3所示。首先對中頻信號高速采樣,然后經過上變頻將信號變到一個高中頻上再D/A輸出即實現信號轉發。

圖3 信號轉發系統實現

為了有效地降低對混頻后的諧波抑制濾波器的要求,D/A前一般都要提高基帶的采樣率,這也是內插處理經常運用在有上變頻運算場合中的原因。通過內插提高采樣序列的點數,可以減小D/A輸出信號的失真程度,但同時對FPGA運算速度的要求又是相當高的,主要表現在低通濾波器位于內插之后,也就是說數字濾波器是在較高采樣率條件下進行的,這無疑大大提高了對運算速度的要求,對實時處理是極其不利的。

在該系統中數字功能全部采用Xilinx公司的FPGA實現,D/A的速率也就是內插器的工作頻率達到了315 MHz,而數據速率高于300 MHz時,在FPGA中已經無法直接實現內插后的FIR低通濾波器,由于多相濾波器能在低的采樣率下輸出高采樣率信號,此時必須采用基于濾波器的多相分解技術,通過改變內插的位置來降低數字濾波器的處理速度。這里,由于數據速率過高,上變頻采用了多路并行變頻處理方案。

5 結束語

隨著數字信號處理的迅速發展,在現代數字系統中往往不會是從輸入到輸出都保持單一的采樣率,于是多采樣率信號處理發展為數字信號處理中一個重要的分支,并廣泛應用于通信、數字信號處理、天線及雷達等領域,多速率信號處理使得對信息操作的靈活度有很大提高,其應用前景十分廣闊。

多速率信號處理中的多相濾波技術不僅能夠實現分數比倍數的抽取和內插,在基于軟件無線電的寬帶數字信道化接收機中,采用重疊一半多相濾波的信道化接收機就可以實現針對大帶寬、跳頻信號的全概率接收。此外,基于多相濾波的數字正交下變頻也可以方便地在較低采樣率下快速實現中頻數字化,是一種非常理想的下變頻方案。

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