多徑效應下的信號相關性分析

劉春靜 張錦中

(中國電子科技集團公司第三十八研究所 合肥 230088)

1 引言

在無線信號傳輸的過程中，由于自然環境的影響使得信號的傳播存在多種可能的路徑，傳播路徑的不同就可能導致多個不同時延的信號在接收機處相互疊加，從而產生多徑效應。多徑效應對于陣列信號處理中的DOA(direction of arrival)估計也會產生不利的影響，但一些文獻片面地認為這種不利影響是由于多徑時延信號之間必然的相干性(或高度相關性)引起的［1～4］，因為超分辨測向算法(如 MUSIC等［5］)實現的前提是入射信號互不相關。文獻［6］比較認真地討論了DOA估計中的信號相關性問題，糾正了以前文獻中的諸多錯誤之處，遺憾的是，文章最后得出的一個主要結論并不完善。該結論認為:只有頻率和初始相位都相同的單頻點信號才是相干信號，而事實并非如此。該文從信號相關性的定義著手，分別推導了單頻信號和帶通信號下的互相關系數表達式，并重點研究了多徑信號之間的相關性問題，最后對寬帶頻域DOA估計中一個容易被忽略的錯誤進行了詳細的分析和闡述。

2 信號相關性

兩個信號x(t)和y(t)的相關程度可以采用相關系數ρ來衡量，其定義為［7］:其中D(·)表示信號方差，E(·)表示數學期望。

當ρ=0時，兩信號互不相關;當0＜|ρ|＜1時，兩信號相關;當|ρ|=1時，兩信號相干，即完全相關。

根據相關系數的定義，兩個單頻信號x(t)=asin(ω1t+φ1)與y(t)=bsin(ω2t+φ2)的互相關系數為:

其中 φ1，φ2分別為信號 x，y的初始相位。當 ω1≠ ω2時，ρ=0，即兩個不同頻率的單頻信號必定互不相關;當 ω1= ω2時

文獻［6］指出只有頻率和初相位都相同的單頻信號才是相干信號，由(3)式可以看出，該結論并不正確，而應該修改為:頻率相同且相位相差0°或180°的單頻信號為相干信號，而相差為90°或270°的單頻信號互不相關。

現實環境中并不存在理論上的單頻信號，而總是具有一定帶寬的(無論窄帶還是寬帶信號)。假設兩個信號可表示為:

則x(t)與y(t)的互相關系數為:

從(4)式可知，x(t)與y(t)互不相關的情況有以下兩種:

a．兩信號的頻帶互不重疊時，即 ?i，j，ωi≠ ω'j時，ρ=0;

b．兩信號的頻帶完全相同，即I=J且ωi=，當滿足時，ρ=0。

值得注意的是，對于頻帶完全相同的兩個信號，其互相關系數為:

即同頻帶信號并不一定相關，而是取決于各頻率點的幅度和對應的相位差;只有同頻帶的信號才可能相干，但還應該滿足以下條件:

3 多徑信號與相關信號

在實際的無線環境中，多徑效應是比較普遍的現象。在一些文獻中將多徑信號與相關信號的概念相混淆［1～4］，下面我們討論多徑信號與相關信號之間的關系。

多徑效應的產生是由于相同的信號經過不同的路徑到達接收機而造成一定的時延。假設直達信號為x(t)，其中一多徑信號為x(t-τ)，τ為時延。對于單頻點信號，信號相位差為ωτ=nω/fs，n為延遲樣本數，fs為采樣頻率，即

因此，ρxy與信號頻率、延遲樣本數和采樣頻率有關。

考慮具有一定帶寬的信號，在多徑條件下bi=κai(κ為實常數)，則根據(5)式可得:

若a1=a2=… =aI，即信號的頻譜是均勻的，此時

從以上分析可以得出下述結論:

a.多徑效應不一定使信號相關，可能會導致信號相干;

b.對于理想的單頻信號，直達信號與多徑信號的相關程度取決于信號角頻率ω、延遲樣本數n和采樣頻率fs;

c．對于具有一定帶寬的信號，直達信號與多徑信號的相關程度取決于信號頻率范圍、頻率點數I、直達信號的各頻點的幅度ai、延遲樣本數n和采樣頻率 fs。

4 寬帶頻域DOA估計中的信號相關性問題

在寬帶DOA估計中，通常將接收信號變換到頻域后進行處理。假設有K個遠場寬帶信號從方向θ1，θ2，…，θK入射到間距為d的M(＞K)元均勻直線陣上，接收信號的頻率范圍為［fL，fH］，采用的頻點個數為J，則頻率fi處陣列接收信號的頻域表達式為［8～10］:

其中s(fi)、n(fi)分別為K×1的信號向量和M×1的噪聲向量，A(fi，θ)為M×K的導向矢量矩陣，即:

頻率fi處的導向矢量:

其中τm，k為第k個信號到達陣元m時相對于參考陣元的傳播時延，上標T表示矩陣轉置。

為方便書寫，我們將 A(fi，θ)和 a(fi，θk)分別簡寫為Ai和ai(θk)。設噪聲為高斯白噪聲，則頻率fi處的協方差矩陣為:

在經典的IMUSIC寬帶測向算法中，是將接收信號分解為互不重疊的窄帶數據后，分別對每個頻點進行窄帶DOA估計，最后把各頻點處的空間譜曲線相加。對于頻率fi處的信號協方差矩陣，若信號相干或高度相關，都將引起Rs(fi)的秩虧缺，此時不能正確分辨出各信號源的入射角方向，即我們必須保證所有可用頻點上的信號協方差矩陣都是滿秩的。由(3)式和(5)式可知，同頻帶信號的互相關系數ˉρ與信號對應頻點上數據的相關系數ρi存在以下關系(理想情況下):

即已知ρi(i=1，…，I)，可以求出ˉρ;但已知ˉρ，卻不能確定ρi。因此，信號之間的相關性并不等價于信號對應頻點上數據的相關性。

在文獻［4］的仿真實驗中有這樣一個例子。兩個寬帶信號s1(t)和s2(t)分別從不同角度入射到均勻直線陣上，且s2(t)=s1(t-t0)，其中t0=0.125s。信號中心頻率為100Hz，帶寬為40Hz，采樣頻率為80Hz。接收的信號被劃分為1000個子段，每個子段包含33個連續的樣本點，即頻點數為33。計算兩個寬帶信號的互相關系數絕對值為0.0008，相關程度非常低。圖1繪出了頻域上不同頻點處兩信號的互相關曲線。從圖1中可以看出，各頻點處的信號相關性明顯增大，相關程度在0.68～0.71之間，因此兩入射信號并不是相干的。文獻［4］卻片面地認為多徑時延信號就是相干信號，這是不正確的。

圖1 互相關系數曲線圖

5 計算機仿真與分析

實驗1:驗證式(7)。設x(t)=3sin(2π×10t+π/6)，樣本數為1000，圖2(a)和(b)分別為采樣頻率100Hz、200Hz時x(t)和 x(t-n/fs)的互相關系數ρxy與延遲樣本數n的關系曲線。從圖2中看到，根據(7)式計算的理論值與采樣估計值是十分吻合的。

圖2 互相關系數與延遲樣本數關系曲線(單頻點)

圖4 互相關系數與采樣頻率關系曲線

6 結論

本文討論了多徑效應下的信號相關性問題，指出了多徑信號與相關信號之間的關系，尤其值得注意的是，信號的頻率范圍是評估時延信號相關性的重要因素。在某些特殊的工程實踐中，通常需要產生或消除人為的時延相干信號，因此，文中的結論對實際應用具有理論上的指導意義。

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