永磁電機電磁場的邊界元方法

陶瑞民

（新余學院，江西 新余 338031）

與有限元方法相比邊界元方法最大的優點是可以降低分析問題的維數，對于拉氏方程，不需要離散整個求解區域，只需對邊界進行離散，因此未知數相對減少。邊界元方法與有限元方法的區別之一是兼有解析和數值的特點，計算精度高，適合開域場分析。但邊界元方法存在奇異積分問題，必須解決這個問題。本文對邊界積分方程的建立，邊界積分方程的離散和奇異積分的處理及多種材料時邊界元方法的處理及應用進行了深入的研究。

1 基本方程

永磁電機的靜磁場具有一類和二類邊界S1，S2，求解區域D上滿足拉氏方程

無限域問題的基本解

式中，r表示電荷集中的作用點（又稱源點）P到觀測點 Q（又稱場點）之間的距離，是場點Q的坐標，（ xp, yp, zp）是源點P的坐標。在區域D內，用加權余量法。以拉式方程的基本解作為權函數，利用高斯積分公式，在邊界上得到邊界元基本方程。

邊界積分方程的推導和積分方程的推導很類似，兩者的不同之處只在于需要將源點P移到邊界S上。當邊界S上的場點Q與源點P趨于接近時，和具有奇異性，這將給問題的求解帶來很大的麻煩。為求得良好的計算，必須消除奇異性。為此，需以P點為中心，以ε為半徑作球面去掉奇點，具體做法是在三維區域邊界上以很小的ε作半球，然后使其半徑趨于零，則此點變為邊界點。假設邊界是S2，且被分成兩部分，若已知半球表面積為 2 πε2，令ε→0 ，且φ→φ*，則可得

式中，φi是邊界上的值。式（4）就是直接邊界積分方程。當i點處于光滑表面時， ci= 1 /2；當i點處于不光滑表面時， ci的系數不是1/2，而是與邊界上i點所處的立體角有關。

由此可見，奇點本身對積分的貢獻已經分離出來，包含在 ciφi項中。式（4）中的面積分不再包含奇點，b為空間電荷量。當b=0時，即為當空間電荷為零時電場滿足拉普拉斯方程。

用邊界元法對式（4）進行數值計算時，首先對邊界進行離散。

將單元上任意點的坐標、電位及電位的方向導數用單元上的局部坐標(ξ ,η)和插值公式來表示，這樣就將任意四邊形單元變換為邊長為2的正方形基單元，如圖1所示。對式（4）邊界積分方程進行離散，于是有

式中，D(e,l)表示單元e上第l 個節點在N個總體節點編號中的序號，J為雅可比矩陣，l為1到8節點，Nl為插值基函數。由式（5）可以看出積分號中不含未知量，可以經過積分得到確定值。式（5）可以列出N個方程，而每個節點有兩個變量，但其中一個是已知的，所以，式（5）成為 N個變量的 N個方程的方程組，用矩陣表示為

離散方程式中，H矩陣和G矩陣的元素中含有二重積分

如果源點P不在當前單元e上，r就不會趨于零，積分無奇異性，可以直接采用高斯積分計算。如果源點P是當前單元e上的某一節點時，積分 l1和 l2就具有奇異性，l1和 l2分別為一階和二階奇異積分。這時，應先取消積分奇異性，然后再用高斯積分來計算。

2 處理奇異積分的電位特解法

由上面的分析可見，用傳統的邊界元方法計算場量時，一個關鍵而又棘手的問題是奇異積分的處理問題。因此，在邊界元方法的研究中，消除奇異性的問題一直是一個重要的研究課題。本文在研究了邊界元方程的特點后，采用了一種新的邊界元奇異積分的處理方法 電位特解法。

圖2 退化單元

積分 l1奇異性的降階可以通過退化單元來實現。在圖2（a）所示奇異單元上，設第1點為奇點，消除奇異性的方法是以此節點為頂點，將奇異單元劃成兩個三角形單元，如圖2（b）所示。把每個三角形都看作是由圖2（c）所示的四邊形單元退化而成，即三角形單元的奇點是由四邊形的一條邊退化成的。

在退化單元中，場點Q到源點P的距離r以及雅可比J可用插值公式求得。

對于只有一階奇異性的積分 用退化單元消除奇異性，再用高斯積分來計算。對于有二階奇異性的積分 用退化單元還不能消除奇異性。二階奇異性的積分 l2只出現在 H矩陣的對角線上，因此本文采用電位特解法，由已確定的元素值來推算出對角線上元素。在無外電荷作用下，設

式中，φ0是任意給定的值。將式（9）代入式（6）式得

上式右端是已經確定的矩陣元素。這樣不僅確定了H陣中的奇異元素，而且連 ci也不用再單獨計算了。

3 計算實例

160kVA永磁電機的結構如圖3所示，本文用邊界元方法計算了永磁電機的電場,獲得了比較滿意的結果，圖4、圖5是永磁電機的磁場分布情況。

圖3 160 kW稀土永磁同步發電機三維結構圖

圖4 磁場沿徑向分布

圖5 磁場沿角度分布

4 結論

（1）本文用邊界元方法計算了永磁電機的磁場，解決了邊界元方法中奇異積分問題。

（2）本文的研究對永磁電機的設計起到一定的作用。

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