未確知濾波法和灰色模型在大壩變形預測中的應用

李 波 ，劉明軍，張治軍

(1.長江科學院a.工程安全與災害防治研究所;b.水利部水工程安全與病害防治工程技術研究中心，武漢 4 30010;2.中國電力投資集團公司 南 方分公司，廣州 5 10130;3.長江勘測規劃設計研究院施工設計處，武漢 4 30010)

大壩變形受水位、降雨、氣溫、地質、時間等多種因素的影響，這些因素之間關系錯綜復雜，并且具有一定的灰度［1，2］。因此，當大壩變形監測序列較短時，利用灰色模型對大壩變形進行預測，是一種有效的方法。由于人為、系統或環境等原因的影響，大壩變形監測序列中總是存在一定數量的粗差，這必然會影響預測的精度，未確知濾波法可以有效地識別粗差，并對粗差進行修正［3］。因此，本文將未確知濾波和灰色模型相結合，利用未確知濾波法識別并修正大壩變形序列中的粗差，再采用灰色模型對大壩變形進行預測，并結合實例進行分析。

1 未確知濾波法

在大壩變形監測過程中，經常會遇到測值突然增大或減小的情況，這可能是由于人為、系統或環境等因素造成了粗差，也有可能是由于大壩變形發生重大變化導致測值發生異常改變而產生了異常值。從大量的監測數據中正確地分辨粗差和異常值，并將粗差進行修正，準確地反映大壩的工作狀態顯得非常重要。未確知濾波法能夠很好地分辨粗差和異常值，在一些領域已得到應用［4，5］。

1.1 未確知濾波法原理

在大壩安全監測中，變形監測量的某個監測序列為

定義一個未確知有理數為

其中φ(x)是可信度分布密度函數。

通過對粗差和異常值進行分析，不難看出，若Li是粗差，Li是孤立的，則在 Li的某個鄰域內 Lj(1≤j≤n，j≠i)個數為零，因此，可信度分布密度函數φ(x)可作如下定義:

式(2)中ξi表示Lj在以λ為半徑的Li的領域中的個數。

通過式(2)定義可信度分布密度函數φ(x)，如果Lj在以λ為半徑的Li的領域中的個數越多，可以認為Lj為非粗差的可能性就越大;相反地，如果Lj在以λ為半徑的Li的領域中的個數越少，甚至只有1次，則認為Lj為粗差的可能性就越大。未確知濾波法就是基于這個原理對監測系列中的粗差和異常值進行區分，從而達到去噪的目的。

進一步計算未確知濾波法的數學期望，可以修正粗差。未確知濾波法的數學期望如下所示:

由于式(4)滿足

故式(3)可以簡化為

可信度決定粗差的分辨，可信度又與ξi相關，ξi又完全由鄰域半徑λ的大小決定，如果λ取值過大，則有可能將粗差包含在內，不能識別粗差;反之，如果λ取值過小，則會把正常數據中的偏大值誤認為粗差。因此，λ的取值直接影響未確知濾波的最終結果。參考傳統粗差分辨方法中的2或3倍中誤差法則，λ取2倍差值方差為

1.2 改進的未確知濾波法

大壩安全變形監測的測值序列中，粗差的可信度和ξi應該為零，但在現實的情況很難這么理想，大壩測值序列較長時，部分粗差和正常的測值在某段序列中非常接近，使粗差難以識別。為此，可以把測值序列進行分段處理［4］，每段測值含有k+1個監測值，分別對每段監測值進行濾波處理，可以重新定義可信度分布密度函數φ(x)為

式中:ξi表示半徑為λ的Li的領域V中包含Lj的個數;Lj為相鄰Li最近的k個監測值(i≠j)。

分段后對應的未確知期望也發生變化，在含有k+1監測值求未確知數學期望為

改進的未確知濾波法處理粗差流程圖如圖1所示。改進的未確知濾波法處理粗差的主要步驟如下:

(1)選取原始的監測序列 Li(i=1，2，…，n)，確定 m 的取值范圍［2，mmax］，取 m=2，j=1;

(2)由式(7)計算出監測序列的鄰域半徑λj;

(3)根據:鄰域上限=監測值+λi、鄰域下限=監測值－λj，計算各監測值鄰域的上下限;

(4)濾波數據段為包括Li及其相鄰最近的k個測值在內的k+1個測值，統計出落在Li相應鄰域內的其它監測值個數ξi;

(5)根據式(8)算出Li的可信度;

(6)重復步驟(3)至步驟(5)，算出每個監測值的ξi和可信度，判斷Li是否為粗差;

(7)剔除粗差，計算剩余監測值的鄰域半徑λj+1;

(8)如果 λj+1= λj，則 λm=λj，進入步驟(9)，否則，j=j+1，重復步驟(2)至步驟(7);

(9)當 m=mmax時，進入步驟(10)，否則，取m=m+2，重復步驟(2)至步驟(8);

(10)取鄰域半徑λm中的最小值λmin作為濾波計算的最終λ值;

(11)在λmin所處的狀態下，根據式(9)計算出每個監測值的未確知數學期望。

圖1 改進的未確知濾波法處理流程圖Fig.1 Flow chart of processing the gross error by improved unascertained filtering method

2 等維新息灰色模型

上世紀80年代，我國學者鄧聚龍教授建立了灰色系統理論。將已知的數據序列按照某種規則構成動態或非動態的白色模塊，再按照某種解法來求解未來的灰色模型。

灰色系統理論中常用的是微分方程所描述的動態方程。其中GM(1，1)表示一階、單個變量的微分方程模型［6］。其具體形式為

用序列 x0表示 n個監測值 x01，x02，…，x0n，對 x0進行累加求和，得到新的序列x1，其一般元素x1i(上標1表示新序列，下標表示新序列中的第i個監測值)的計算公式為

則對新的序列x1，有如下形式的方程，即

用最小二乘法求解，得到2待定參數a和c的估計值計算公式為

式中:ˉa和ˉc分別為a和c的估計值;

將利用式(13)估計好的2參數ˉa和ˉc代入方程式(12)，并求解該微分方程，得到GM(1，1)預測模型的表達式為

對上式進行還原得到原始測值序列擬合和預測值，則有

等維新息模型是采取新信息替代舊信息的方式建模，又稱為新陳代謝模型。

3 實例分析

以某水電站壩頂水平位移的引張線測點EX9為研究對象，選取該測點2006年6月16日至2006年7月6日共20個自動化測值，如表1所示。利用未確知濾波進行粗差分析，其結果如表2所示。

表1 EX9測點2006年6月16日至7月6日的監測值序列Table 1 Monitoring values at point EX9 from June 16 to July 06 in 2006mm

表2 不同m值的改進未確知濾波法識別粗差結果Table 2 The results of detecting gross error by improved unascertained filtering with different m values

從表2的計算結果可知，m取2，4，6時，λ最終收斂至1.09，識別到1個粗差;m取8～18時，最終收斂至 2.06，沒有識別到粗差?？紤]到 1.09＜2.06，在m取8～18時可能出現了粗差遮蔽的情況。同時，結合實測環境變量發現，m取2，4，6時識別出的1個粗差的監測時刻前后，上游水位和氣溫均沒有出現異?，F象，因此，m取2，4，6時得到的結果合理，最終識別出的粗差序號為16。通過式(9)得到各粗差的修正值分別為－3.30 mm。

在未確知濾波識別粗差，并對粗差進行修正的基礎上，再利用等維新息灰色模型對修正后的水平位移進行預測。選取前16個測值建立灰色模型，對后4個測值進行預測。建立的灰色模型中2個參數a 和 c的估計值分別為－0.054 9和－1.667 5，預測結果見表3所示。為了進行比較，對原始水平位移測值進行上述相同的預測，得到的預測結果見表3所示。由表3可知，修正后的水平位移灰色模型預測精度明顯的高于修正前，因此，本文提出的方法具有較高的實用價值。

表3 修正前后水平位移灰色模型預測結果Table 3 Prediction of horizontal displacement by grey model before and after the correction mm

4 結論

本文通過未確知濾波和灰色模型對大壩變形監測數據進行了分析和預測，得到了以下結論:

(1)改進的未確知濾波法可以有效地區分粗差和異常值，并通過對粗差進行修正，減少了監測誤差和保證了測值序列的完整性;等維新息灰色模型可以反映監測序列的動態變化情況，更能反映大壩變形的時間情況。

(2)充分利用未確知濾波法和灰色模型的優點，將2種方法有機地結合，應用大壩變形預測中。實例分析表明，基于未確知濾波法的灰色模型能顯著地提高大壩變形預測精度，具有較高的工程實用價值。

［1］吳中如.水工建筑物安全監控理論及其應用［M］.高等教育出版社，2003.(WU Zhong-ru.Theory of Safety Monitoring of Hydraulic Structures and Its Application［M］.Higher Education Press，2003.(in Chinese))

［2］顧沖時，吳中如.大壩與壩基安全監控理論和方法及其應用［M］.南京:河海大學出版社，2006.(GU Chong-shi，WU Zhong-ru.Theory of Dam and Foundation Safety Monitoring and Its Application［M］.Nanjing:Hohai University Press，2006.(in Chinese))

［3］馮小磊，華錫生，黃紅女.觀測值序列的粗差探測方法［J］.水電自動化與大壩監測，2006，30(3):56－59.(FENG Xiao-lei，HUA Xi-sheng，HUANG Hong-nv.Gross-error Detection for Observation Data Series［J］.Hydropower Automation and Dam Monitoring，2006，30(3):56－59.(in Chinese))

［4］黃紅女，華錫生，宋小剛.土石壩監測數據的未確知濾波［J］.長江科學院院報，2006，23(3):32－35.(HUANG Hong-nv，HUA Xi-sheng，SONG Xiao-gang.Unascertained Filtering Method for Monitoring Data of Earth Rock-fill Dams［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2006，23(3):32－35.(in Chinese))

［5］張 鋒，郝金明，郭 磊，等.基于未確知有理數的VRS綜合誤差粗差探測與修復［J］.測繪科學技術學報，2009，26(6):403－406.(ZHANG Feng，HAO Jinming，GUO Lei，et al.Gross Error Detection and Reparation for VRS Synthetical Error Based on Unascertained Rational［J］.Journal of Geomatics Science and Technology，2009，26(6):403－406.(in Chinese))

［6］程啟明，程尹曼，汪明媚，等.基于灰色預測的無模型控制在球磨機負荷控制中的仿真研究［J］.儀器儀表學報，2011，32(1):87－92.(CHENG Qi-ming，CHENG Yin-man，WANG Ming-mei，et al.Simulation Study on Model-Free Adaptive Control Based on Grey Prediction in Ball Mill Load Control［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2011，32(1):87－92.(in Chinese ))