一種改進(jìn)的車輛跟馳動力學(xué)模型

曹寶貴 楊兆升

(吉林大學(xué)交通學(xué)院∥汽車仿真與控制國家重點實驗室，吉林長春130025)

跟馳模型的研究最早始于1953年，Pipes等［1］通過實驗研究得到了如下刺激－反應(yīng)模式的線性跟馳模型:

式中:λ為反應(yīng)靈敏度系數(shù)(常數(shù));vn+1(t)為第n+1輛車(跟隨車)的速度;vn(t)為第n輛車(頭車)速度.

該模型體現(xiàn)了后車對前車的速度變化會選擇加速或減速來調(diào)整自身的速度，有其一定的合理性，而且該模型相對簡單，因而得到了相當(dāng)長一段時間應(yīng)用，對后來跟馳模型的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).然而，當(dāng)前、后車的車速相等時，無論兩車相距多遠(yuǎn)后車都不會做出反應(yīng)，顯然該模型無法解釋這種不合理的現(xiàn)象.

后來逐漸有人意識到該模型的這一問題，并試圖對其加以改善，Robert等［2-3］提出了如下非線性跟馳模式:

可以看出，該模型不僅考慮了兩車速度差的影響，還注意到了兩車間距對后車行為的影響，較前模型進(jìn)步，但兩車速度相等時，無論兩車相距多遠(yuǎn)后車都不會做出反應(yīng)的缺陷仍沒有得到解決.

而General Motors(GM)組聯(lián)結(jié)組內(nèi)、外大批優(yōu)秀科學(xué)家進(jìn)行了豐富的現(xiàn)場試驗和模型參數(shù)標(biāo)定研究［4］，通過不懈的努力，共得出了遞進(jìn)的五代跟馳模型，其最終的形式表達(dá)如下:

式中:l為車頭間距指數(shù);m為速度指數(shù).

通過指數(shù)l與m的不同取值，可以得到此前所有的跟馳模型.然而，兩車速度相等時，無論兩車相距多遠(yuǎn)后車都不會做出反應(yīng)的局限性問題，該模型仍未能解決.

為此，Bando等［5］從另一種角度提出了優(yōu)化速度模型(OVM):

該模型中V(Δx)是兩車距離的函數(shù)，稱之優(yōu)化速度，詳見文獻(xiàn)［5］.該模型不僅考慮了本車速度的影響，還考慮到了兩車距離的影響，解決了此前模型中車間距不會對后車產(chǎn)生影響的局限性問題，且能夠描述實際交通流的許多定性特征，如交通失穩(wěn)、阻塞演化、時走時停等.

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但是，筆者用實測數(shù)據(jù)驗證后發(fā)現(xiàn)OVM會產(chǎn)生過高的加速度以及不切實際的減速度.Helbing和Tilch［6-7］在使用實測數(shù)據(jù)對OVM參數(shù)進(jìn)行辨識時，也發(fā)現(xiàn)同樣問題.后來 Helbing等［7］在 OVM 基礎(chǔ)上又提出了改進(jìn)的廣義力模型(GFM)［7］.該模型克服了OVM加速度過大問題，同實測數(shù)據(jù)的一致性比OVM更好.然而該模型需標(biāo)定的參數(shù)太多，文獻(xiàn)［8］中還發(fā)現(xiàn)，此模型模擬車輛啟動時會產(chǎn)生推遲時間過長，啟動時小擾動傳播速度過慢的現(xiàn)象.

跟馳模型試圖闡述不允許超車條件下的兩個或多個車輛間的相互作用，不同的理論模型，從不同的角度來研究交通流規(guī)律［9-13］，其分析理論已構(gòu)成微觀交通流理論研究的基礎(chǔ)，并為交通流微觀理論與宏觀理論之間的統(tǒng)一架起了橋梁［14-16］.

文中針對現(xiàn)有跟馳模型的不足，在已有研究成果的基礎(chǔ)上提出了一種新的期望速度函數(shù)，進(jìn)而建立了改進(jìn)的車輛跟馳動力學(xué)模型，并對其進(jìn)行了擾動穩(wěn)定性分析，最后運用實驗數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行了參數(shù)標(biāo)定和實用性驗證.

1 期望速度與改進(jìn)模型的建立

1.1 模型建立

從實際交通中獲知，所有駕駛員都不希望頻繁的加速、減速駕駛，大多更希望一種平穩(wěn)的駕駛狀態(tài).根據(jù) LWR(Lighthill-Whitham-Richards)理論，若交通流處于穩(wěn)定的平衡態(tài)時，所有車輛將保持一致的車頭間距離de(k)，并以車速ve(k)行駛，其中k為交通流密度;當(dāng)車速較大時，de(k)會增加，當(dāng)車速較小時，de(k)會相應(yīng)減小.基于上述認(rèn)識，筆者發(fā)現(xiàn)跟馳車輛的駕駛行為(加速或減速)決策的依據(jù)實際上并不是相鄰兩車的相對距離Δxn，而是兩車的相對距離Δxn與平衡距離de(k)的差Δxn－de(k).因此

(1)Δxn＞de(k)，跟馳車輛選擇加速，以跟上前方車輛;

(2)Δxn＜de(k)，跟馳車輛選擇減速，以防止發(fā)生碰撞;

(3)Δxn=de(k)，跟馳車輛保持勻速.

基于上述思想，筆者提出了一個新的優(yōu)化速度函數(shù):

并稱之為期望速度(DV).其中，C1為待標(biāo)定系數(shù);ve(k)為平衡態(tài)時的車速，即平衡速度;de(k)為平衡態(tài)時車頭間距離，可由平衡的速－密關(guān)系推導(dǎo)得到.如由經(jīng)典的線性Greenshieds模型［3］即可獲得:

圖1 雙曲正切函數(shù)隨相鄰車頭間距變化圖Fig.1 Change of hyperbolic tangent function with relative distance headway

1.2 期望速度合理性討論

由圖1可看出，Vd(Δxn，de(k))具有極小值和極大值，Vd(Δxn，de(k))始終位于［0，vmax］區(qū)間內(nèi)，因而模型從理論上避免了不切實際的期望速度.然后，與前面模型一樣，基于刺激－反應(yīng)模式得到了期望速度模型(DVM):

式中:εn為包含駕駛員個性行為差異的波動項，文中εn取為零，假設(shè)駕駛員之間無個性差別.

實際上，若不考慮駕駛員間個性差別，當(dāng)Δxn=de(k)時，即可由式(7)推出Pipes模型，因而Pipes模型是文中DVM的特例.

2 模型穩(wěn)定性分析

2.1 理論依據(jù)

任何動力學(xué)過程都存在運動穩(wěn)定性問題，由經(jīng)典控制理論可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與此相反，非線性系統(tǒng)的情況要復(fù)雜得多［16］.式(7)實質(zhì)上是個典型的時變非線性二階時滯微分方程或延時微分方程 (DDEs)，其中未知函數(shù)在確定時刻的導(dǎo)數(shù)由先前時刻函數(shù)所決定.文中根據(jù)李雅普諾夫(Lyapunov)運動穩(wěn)定性理論［16］，將運動系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究轉(zhuǎn)化為對擾動變量平衡位置穩(wěn)定性的研究，然后獲得系統(tǒng)一次近似擾動狀態(tài)微分方程的特征方程，再根據(jù)微分方程特征根(線)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.然而，對于時滯微分方程，特征方程可以得到連續(xù)統(tǒng)一解，使得分析變得很困難.文中主要給出當(dāng)時滯τ=0時的線性穩(wěn)定性判別過程和結(jié)果，對于時滯τ≠0時的穩(wěn)定性問題，筆者將另文加以論述.

2.2 穩(wěn)定性分析過程及結(jié)果

首先，可設(shè)ξn為具有一致車頭間距de(k)的的一個小的擾動偏離量，那么xn=+ξn，代入等式(7)得擾動微分方程:

依據(jù)李亞普諾夫第一近似理論［9］，式(8)可化為

其中，系數(shù)f=V'(de(k)).

然后引入具有正交集 eiαjn的傅里葉級數(shù)，令擾動

擴展上述傅里葉級數(shù)，并代入微分方程(9)，可獲得特征方程:

解特征方程(11)得到穩(wěn)定性判定標(biāo)準(zhǔn):

式(12)的平面圖形如圖2所示.

可看出，(f，α)平面被 u (f，α)=0 臨界曲線分為穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域兩種情況.其中，填充區(qū)域總是穩(wěn)定的，該結(jié)論與文獻(xiàn)［5］中得出的穩(wěn)定性結(jié)論是一致的.

圖2 (f，α)平面圖Fig.2 (f，α)solution plan

3 參數(shù)的標(biāo)定和模型驗證比較

為驗證模型在實際中的應(yīng)用性效果，文中運用在環(huán)形實驗路線上通過五輪儀實驗系統(tǒng)采集到的車輛跟馳實驗數(shù)據(jù)，對比驗證了 OVM、GFM、采用Vd(Δxn，de(k))后的GFM’和本文提出的DVM的有效性.跟馳實驗數(shù)據(jù)包括車輛啟動過程(加速)、勻速過程、制動過程(減速)的位移x、加速度a和速度v數(shù)據(jù)，采樣間隔為1s，樣本量為1024組，部分?jǐn)?shù)據(jù)結(jié)果列于表1中.各模型模擬結(jié)果與實測跟馳數(shù)據(jù)擬合情況見圖3.

(1)采用GFM原文中優(yōu)化速度和參數(shù)［7］(V1=5.95m/s;V2=5.91m/s;C1=0.13m－1;C2=1.57;車身長 lc取 5 m;K=0.41 s－1)，得到 GFM 模擬與實測數(shù)據(jù)對比結(jié)果見圖3(a).可看出，GFM沒有出現(xiàn)不切實際的啟動加速度，啟動過程至勻速過程都與實驗結(jié)果較為一致，但在減速制動過程，跟馳車輛的減速度卻發(fā)生了一次跳躍現(xiàn)象(波動).

表1 實測頭車與跟馳車數(shù)據(jù)Table 1 Car-following experimental data

(2)采用文中的期望速度函數(shù)和參數(shù)，仍使用GFM模擬，模擬與實測數(shù)據(jù)對比結(jié)果見圖3(b).可看出，減速制動時跟馳車輛的跳躍現(xiàn)象減小了.當(dāng)GFM的λ=0.2(系列2)時，減速過程與實驗結(jié)果(系列1)較為一致，但加速時誤差卻很大.當(dāng)GFM的λ=0.41(系列3)時，加速過程與實驗結(jié)果擬合較好，但減速時偏差卻很大.OVM在加速和減速時誤差都較大，故在此未列出.

(3)DVM模擬與實測數(shù)據(jù)對比結(jié)果見圖3(c).通過實測跟馳數(shù)據(jù)，按照基于進(jìn)化的Boltzmann策略優(yōu)化步驟，采用平均相對平方差最小原則得到DVM參數(shù)優(yōu)化結(jié)果為 C1=0.4，λ=0.31.可看出，DVM在車輛啟動過程、勻速過程(近似)、制動過程模型模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)擬合誤差均較小.解決了Pipes和Herman等模型中，兩車速度相等時，無論兩車相距多遠(yuǎn)后車都不會做出反應(yīng)的缺陷問題，沒有出現(xiàn)OVM中過高的啟動加速度，亦沒有GFM在減速制動過程中大的加速度波動現(xiàn)象.

圖3 GFM、GFM'與DVM模擬加速度與實測結(jié)果Fig.3 Acceleration simulation results of GFM，GFM'and DVM and experimental data

4 結(jié)論

文中提出了一種新的優(yōu)化速度函數(shù)(期望速度)，進(jìn)而建立了改進(jìn)的車輛跟馳動力學(xué)模型，并運用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論對該模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，最后，運用實測數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行了參數(shù)標(biāo)定和驗證.結(jié)果表明:改進(jìn)后模型沒有發(fā)生原模型出現(xiàn)的不切實際的啟動加速度，跟馳車輛的啟動加速度、速度較OVM等模型更符合實際交通情況，對真實交通流具有更好的適用性.

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