π/4-DQPSK調制系統的差分解調信息容量近似分析與計算

李明華, 白寶明

(西安電子科技大學綜合業務網國家重點實驗室,陜西西安710071)

1 引言

π/4-DQPSK是一種基于QPSK的線性窄帶數字調制技術,由美國貝爾實驗室的P A Bake于1962年提出。π/4-DQPSK相對于DQPSK,最大轉移相位從π減少到3π/4,引起的包絡浮動較小,適于非線性傳輸信道。同時,π/4-DQPSK調制具有頻譜特性好、頻譜利用率高、抗多普勒頻移等優點,被廣泛的研究和應用,如美國的個人接入通信系統(PACS)和IS-136數字蜂窩系統、日本的個人數字蜂窩系統(PDC)、歐洲數字集群標準(TETRA)和中國的數字集群移動通信系統體制國家電子行業標準A都采用了此調制技術。

傳統的π/4-DQPSK調制信號的解調方法包括相干解調和差分解調。相干解調方法需要有信道的顯式或隱式估計,這要求依次發送導頻或訓練信號[1],并且要求接收機和載波同步,不易實現。差分解調不需要接收機和載波同步,可以克服相位模糊,但與相干解調相比有性能損失。1990年,D Divsalar和M K Simon提出多符號差分檢測[2],檢測性能隨同時檢測的符號長度N的增加而改善,但這種檢測方法復雜度很高。1994年,K M Machenthun,Jr提出一種快速的多符號差分檢測算法[3],降低了多符號檢測的復雜度,使得多符號檢測方法可以被實際應用。另一方面,文獻[4]提出在非冗余糾錯(Nonredundant Error Correction,NEC)檢測算法[5]基礎上利用Viterbi算法[6]改善π/4-DQPSK解調譯碼性能,但其改善的性能距相干檢測仍有距離。文獻[7]提出衰落信道上的差分分組解調算法。

根據π/4-DQPSK信號的兩符號差分解調(非相干檢測)原理,對AWGN信道上π/4-DQPSK調制差分解調系統的信息容量進行了分析[8-11],并且采用熵估計的數值方法獲得了系統的可達信息速率,給出了π/4-DQPSK差分檢測的容量曲線圖。從容量分析的數值結果可以看出,π/4-DQPSK差分檢測存在門限效應,當信噪比低于該門限值時,系統譜效率的降低不會使系統性能提高。目前,關于差分檢測系統的容量限的討論還較少,文獻[12]論述了正交FSK調制非相干檢測系統的容量,文獻[13-15]討論了非相干AWGN信道的容量,文獻[16]從容量限的角度分析了不同差分編碼調制方案的性能。

2 系統模型

圖1 π/4-DQPSK信號星座圖

π/4-DQPSK調制將輸入的兩個比特映射成復值調制信號,其信號星座如圖1所示。

圖1中的星座圖中有8個信號點,包括4個白點指示的信號點和4個黑點指示的信號點。星座點間的連線代表碼元轉換時刻相位的跳變,每次相位只能在白色信號點和黑色信號點之間交替變換,避免了QPSK中的180°相位變化。由圖1可以看出,相位跳變量有±π/4和±3π/4這 4種取值。

采用π/4-DQPSK調制信號的編碼通信系統框圖如圖2所示,假定接收機采用非相干信號檢測技術,對接收到的輸入信號進行差分解調。

圖2 π/4-DQPSK調制解調框圖[8]

先簡單介紹差分編碼調制的方法。有兩種方法可以實現差分調制：對輸入數據先進行差分編碼,再映射到π/4-QPSK信號的絕對相位上;或者直接映射輸入數據到相對相位上。假定采用Gray映射編碼,根據圖2和輸入數據與相位偏移量的關系可知,k時刻的相位差(信息相位)如表1所示。

表1 輸入數據與相位偏移量的關系表

由表1,可以得到對應于k時刻輸入數據的信息符號vk=ejΔθk,經過差分編碼之后,第k時刻的發送信號為：

其中Es是每發送符號的平均能量,θk代表k時刻發送信號的絕對相位,Δθk代表k時刻輸入數據所表示的相位差。令xk=xI,k+jxQ,k,則有：

在采用非相干解調的情況下,接收信號與發送信號之間可能存在載波相位誤差,接收機接收的等效復基帶信號可表示為：

其中hk為信道衰落系數,在AWGN信道中,hk=1;nk～CN(0,N0)是均值為零,每維方差為σ2=N0/2的圓對稱復高斯噪聲變量。φ為載波相位估計誤差。假定φ在兩個相鄰符號周期上保持不變,則兩個接收符號上的相位差獨立于φ。在采用兩符號差分檢測的情況下,檢測器的輸出為

3 離散輸入連續輸出信道的容量計算

在式(3)中 ,輸入 vk=ejΔθk是一個離散隨機變量 ,其取值范圍為 V={ejπ/4,ej3π/4,ej5π/4,ej7π/4};輸出 zk∈ C 是一個復連續隨機變量。根據信息理論,該信道的信息容量的計算公式為[9]：

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其中P(v)為輸入 V的概率函數(pmf)。假設信道輸入信號是等概的,即P(v)=1/|ν|,?v∈ν,此時C退化為計算可達信息速率：

其中M=|ν|。由于p(z|v)是非高斯的,沒有一般的解析表達式,所以一般教科書中針對AWGN信道的互信息計算公式在這里不能直接應用。采用如下方法來進行數值計算：

首先將連續變量z離散化,將涉及概率密度函數(pdf)p(z|v)的計算轉化為的計算,這里 ˉz=q(z)為 z的量化值,q(?)表示量化函數;

其次,采用基于Monte Carlo的數值方法,求出 pmf P(ˉz|v);

然后,采用熵估計方法,根據式(5)計算互信息。

4 基于熵估計的互信息數值計算方法

熵估計是指根據一組有限的觀察序列X=[x1,x2,…,xN]可以估計出連續隨機變量X的概率密度函數,從而得到X的熵值。熵估計的方法有多種,如基于模型(Model Based Method)的估計方法、貝葉斯估計法以及柱狀圖(Histogram Method)估計法[10]。由于柱狀圖估計法實現簡單、算法復雜度低,文中選用該方法進行熵估計。

輸入v的取值有4種,分別用xA,xB,xC,xD來表示。為了得到信道轉移概率假定對每一種v的取值進行N次概率實驗,即在輸入的條件下,獨立產生 N個AWGN變量nk,經過信道傳輸與差分解調之后得到 N個檢測器輸出zk=(zk,I,zk,Q)。根據熵估計的計算原理可以求出zI序列和zQ序列的區間范圍,即[],然后將該區間劃分為L個子區間,即z的量化級數為L。由此可以確定出的值。類似地,可以分別求出和

圖3 輸出序列量化后的柱狀圖

5 數值結果及分析

基于前面的理論,對每一個給定的信噪比,通過C++編程數值計算P(ˉz|v)并應用式(6)即可獲得相應的容量曲線。對所有信噪比下的信道輸出采用相同的區間劃分,均取 L=50個子區間;隨機實驗次數N=1.5×105。所得的π/4-DQPSK差分檢測的容量曲線結果如圖4所示。

圖4 π/4-DQPSK差分檢測的容量曲線圖

觀察橫坐標分別為Es/N0和Eb/N0時容量曲線的變化,可以看出在容量大于0.35bits/symbol時,兩條曲線都是容量隨著橫坐標dB值的增加而增加,圖4(a)中容量是到13dB左右達到飽和,而圖4(b)中容量是到10.5dB左右達到飽和,兩者都是飽和于2bits/symbol。而當容量小于0.35bits/symbol左右的時候,兩條曲線有了明顯的區別：在圖4(a)中容量依然是隨著dB值的增加而增加,而在圖4(b)中容量是隨著dB值的增加反而減小。這是由于 Es/N0和Eb/N0的換算原理,即公式[9]

當信噪比低于C=0.35bits/symbol所對應的Es/N0值時,系統容量會隨著Es/N0的減小而急劇下降(如圖4(a)所示),致使Eb/N0反而增加。這是差分解調帶來的不足,文獻[11]的正交調制非相干檢測系統的容量曲線也體現了這個特點。

與此同時,相比于以往的相干檢測容量曲線圖,Eb/N0都是隨著碼率也就是這里的譜效率(容量值)的減小而減小;在相同的誤碼率的情況下,譜效率越低,所要求的dB值越小。但從圖4(a)可以看出0.35bits/symbol以下的曲線是隨著碼率減小,所要求的dB值反而越大,也就是說差分檢測(非相干檢測)在0.35bits/symbol左右時達到最佳工作點。

綜上所述,從圖4可以觀察到下列兩個結果：

(1)差分解調的門限效應：當信噪比低于C=0.35bits/symbol所對應的Es/N0值時,系統性能(容量)會隨著Es/N0的減小而急劇下降,則該為門限值。由圖4(b)知 C=0.35bits/symbol所對應的 Eb/N0約為3.1dB,從而由式(7)可以確定出π/4-DQPSK差分檢測的門限值為 Es/N0=C?Eb/N0=0.35×100.31,即-1.459dB。這樣就從信道容量的角度解釋了差分檢測的門限效應,并給出了門限值。

(2)在信噪比低于該門限值時,即使采用低碼率的信道碼,降低系統譜效率,也不會帶來所需Eb/N0減小,即系統性能的提高。

6 結束語

主要討論了π/4-DQPSK差分檢測的信息容量問題,基于差分檢測原理和熵估計的數值計算方法得出了近似容量曲線圖并對其進行了對比分析及討論。由此,得出以下結論：

差分解調存在門限效應,當信噪比低于C=0.35bits/symbol所對應的Es/N0值(稱為門限值)時,系統性能(容量)會隨著Es/N0的減小而急劇下降;并且在信噪比低于該門限值時,即使采用低碼率的信道碼,降低系統譜效率,也不會帶來所需Eb/N0的減小,即系統性能的提高。

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