CRLS算法在智能天線中的應(yīng)用

趙翠芹, 申東婭, 段艷明, 易云飛, 包玉珍

(1.河池學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)系,廣西宜州546300;2.云南大學(xué)信息學(xué)院,云南昆明650091;3.云南科技信息職業(yè)學(xué)院,云南昆明650224)

1 引言

智能天線(Smart Antenna)通常也稱作自適應(yīng)天線陣列(Adaptive Antenna Array),是在自適應(yīng)濾波和陣列信號處理的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,利用多天線系統(tǒng)組成的天線陣列進(jìn)行數(shù)字信號處理來完成信號的空間濾波和定位。自適應(yīng)天線陣列在無線通信系統(tǒng)中的一個(gè)關(guān)鍵問題是在視距(Line of sight,LOS)和非視距(Non line of sight,NLOS)情況下的性能差異。在視距情況下,通過對天線陣列適當(dāng)加權(quán)后產(chǎn)生一個(gè)天線方向圖,其主波束跟蹤用戶信號的波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)),旁瓣或零對準(zhǔn)干擾信號到達(dá)方向,達(dá)到充分利用移動用戶信號并抑制干擾信號,從而達(dá)到增強(qiáng)期望信號并抑制干擾信號,提高通信容量和質(zhì)量的目的。該技術(shù)被廣泛應(yīng)用于波形分集MIMO(Multiple Input Multiple Output)通信[1]、聲納和MIMO雷達(dá)[2-3]等系統(tǒng)中。隨著大規(guī)模、超大規(guī)模集成電路和數(shù)字信號處理技術(shù)的迅速發(fā)展,數(shù)字波束形成技術(shù)逐漸在移動通信領(lǐng)域中受到人們的關(guān)注3G標(biāo)準(zhǔn)TD一SCDMA采用的關(guān)鍵技術(shù)是以波束形成技術(shù)為核心的智能天線技術(shù)[4]。

目前,有幾種流行的優(yōu)化智能天線算法[5-10],包括最小均方(Least Squares Minimization,LMS)算法[7-8]、采樣矩陣求逆(Sample Matrix Inversion,SMI)算法、遞歸最小二乘算法(Recursive Least Squares,RLS)、恒模算法(Constant Modulus Algorithm,CMA)、共軛梯度算法、波形互異算法[9]和基于遺傳算法的賦形波束算法[10-11]。在這些算法中,LMS算法是在時(shí)域采樣以確定最優(yōu)權(quán)值樣點(diǎn),如果時(shí)域信道變化復(fù)雜,則權(quán)值更新也變得很復(fù)雜。為了克服這個(gè)問題,塊自適應(yīng)方法,比如采樣矩陣求逆SMI算法被提出。雖然SMI算法收斂快,但相關(guān)矩陣條件差導(dǎo)致錯(cuò)誤或求逆時(shí)變成奇異矩陣。此外,大型天線陣面臨求逆的挑戰(zhàn)。RLS算法的優(yōu)勢在于不需要對大量相關(guān)矩陣求逆,遞歸的方程使相關(guān)矩陣求逆更容易更新。這些算法都是無約束的優(yōu)化算法。

圖1 窄帶自適應(yīng)陣列系統(tǒng)

2 算法分析

窄帶M 元自適應(yīng)陣列系統(tǒng)結(jié)構(gòu)[5]如圖1所示,期望信號從 θ0角到達(dá),干擾源從 θ1,…,θN角到達(dá)。含 M個(gè)權(quán)值的M個(gè)陣元天線接收期望信號和干擾源。陣元每個(gè)接收信號還包括加性高斯噪聲。時(shí)刻用第k次采樣表示。因此,加權(quán)后的天線陣輸出y可表示為：

其中(?)H表示共軛轉(zhuǎn)置;表示天線陣權(quán)值,(?)T表示轉(zhuǎn)置表示期望信號向量;xi(k)表示干擾信號向量,n(k)表示每個(gè)信道的零均值高斯白噪聲;ai表示M個(gè)陣元的天線陣在到達(dá)方向θi上的導(dǎo)向向量。信號d(k)是參考信號,與期望信號s(k)相同,與干擾信號in(k)不相關(guān)。設(shè)代價(jià)函數(shù)為陣列的期望輸出功率：

其中Rxx為輸入信號x的自相關(guān)矩陣。根據(jù)自適應(yīng)波束形成算法,當(dāng)維持可視方向?yàn)閱挝豁憫?yīng)時(shí),算法權(quán)值可以通過最小化輸出功率來計(jì)算：

窄帶波束限制條件為[9]：

采用拉格朗日數(shù)乘法來解決最優(yōu)權(quán)值,通過非確定的拉格朗日乘數(shù)λ將限制條件和代價(jià)函數(shù)結(jié)合：

求式( 5)的梯度,并令梯度為零,即可求得式( 5)的最小值,即最優(yōu)權(quán)值

將( 6)式帶入( 4)式可求出拉格朗日乘數(shù)：

式(7)帶入式(6),可得

通過時(shí)間平均可估計(jì)相關(guān)矩陣,得

其中 l是觀察周期。由于使用長度為l的數(shù)據(jù)塊,因此這種方法稱為塊自適應(yīng),一塊一塊地調(diào)整權(quán)值。按以下步驟,用matlab很容易計(jì)算天線陣相關(guān)矩陣。定義矩陣Xl(i)為l次數(shù)據(jù)快拍范圍內(nèi)x個(gè)向量的第i個(gè)塊。于是

其中i是塊號,l是塊長。為了方便計(jì)算,省略l而將相關(guān)矩陣重新寫為：

其中l(wèi)是塊長,最后一次采樣為 l,Rxx(l)是終止于采樣時(shí)刻 l的相關(guān)估計(jì)。式(11)求和是使用矩形窗口,因此考慮前面所有的時(shí)間采樣。由于信源可變或隨時(shí)間緩慢移動,所以可以不關(guān)注最早的數(shù)據(jù)采樣,而只關(guān)注最近的數(shù)據(jù)采樣。修改(11)式,以便去掉最早的時(shí)間采樣。這種稱為加權(quán)估計(jì)。因而有

其中α是遺忘因子。遺忘因子有時(shí)也稱指數(shù)加權(quán)因子。α為正數(shù),即0≤α≤1。當(dāng) α=1時(shí),就是常見的最小二乘算法,且表明記憶無限。將式(12)的求和分為兩項(xiàng),即前i=l-1項(xiàng)值的求和以及最后一項(xiàng)i=l的值。

使用前面的值可以求得后面的天線陣相關(guān)估計(jì)。借助Sherman Morrison-Woodbury(SMW)定理[13]求R-1xx(l)。SMW定理為

將式(14)運(yùn)用到式(13)中,得如下遞推公式：

(15)式稱為遞歸最小二乘算法的Riccati方程。將(15)式代入(8)式,即可求得最優(yōu)權(quán)值。

3 幾何解釋

CRLS算法有一個(gè)簡單的幾何解釋,這個(gè)解釋對算法的可視化糾錯(cuò)性能非常有用。式(5)是天線陣權(quán)值的二次函數(shù),性能曲面J(ω)呈橢圓形的拋物面形狀,有一個(gè)最小值。圖2為J(ω)的等高線圖,從圖2可以理解強(qiáng)加約束的過程。對二維系統(tǒng),恒功率平面aHω=1平行于通過原點(diǎn)的aHω=0的平面。平面aHω=1與等高線相切,由原點(diǎn)指向切點(diǎn)的矢量即為最優(yōu)權(quán)值向量ωopt,ωopt是最小化閉環(huán)表達(dá)式描述的最優(yōu)約束權(quán)值向量。

4 算法仿真及性能分析

用matlab對CRLS算法進(jìn)行仿真。假設(shè)陣元模式為均勻線性陣列,接收信號的到達(dá)角 θ0=30°,干擾信號到達(dá)角為 θI=-60°,期望接收信號向量為xs(i)=a0s(i),其中 s(l)=cos(2πt(l)/T),且 T=1ms。采樣次數(shù) l=50,t=(0：l-1)*T/(l-1)。干擾信號向量是 xI(l)=aIi(l),i(l)=sin(πt(l)/T)。天線陣的初始權(quán)值 ω(1)=0。遺忘因子α=0.89。圖3仿真了極坐標(biāo)系下陣元間距d=0.5λ,λ為波長,天線數(shù)目為變量的方向圖;圖3(a)陣元數(shù)目 M=8;圖3(b)陣元數(shù)目 M=12;圖4仿真了直角坐標(biāo)系下陣元間距 d=0.5λ,天線數(shù)目為變量的方向圖,圖4(a)陣元數(shù)目 M=8;圖4(b)陣元數(shù)目 M=12;從圖 3和圖4可以看出CRLS算法具有較好的穩(wěn)定性;圖5仿真了陣元數(shù)為10,陣元間距 d為變量的方向圖,圖5(a)中 d取0.5λ,有相同大小的主瓣;圖5(b)中d取0.65λ,屬于低采樣情況,在觀察方向上有相同的結(jié)構(gòu)(波束寬度),也注意到波束模式中有附加的波峰,波束模式中這些附加的瓣稱為柵瓣。柵瓣產(chǎn)生空間模糊性;即從柵瓣對應(yīng)的方向傳播到陣列的信號,看起來像是從有用方向來的信號。波束形成器無法區(qū)分各個(gè)方向上來的信號,為了避免空間重疊,陣元間隔必修是d≤0.5λ。圖6給出了用估計(jì)的最優(yōu)權(quán)值計(jì)算出來的輸出信號和期望信號的比較圖,從圖6可以看出算法有較強(qiáng)的跟蹤能力。

圖2 約束權(quán)值矢量以便最小化輸出功率的功率等高線幾何描述

圖3 在極坐標(biāo)系下的陣列因子圖

圖4 在直角坐標(biāo)系下的陣列因子比較圖

圖5 天線數(shù)為10的陣元間距不同的方向圖

5 結(jié)束語

作為MIMO關(guān)鍵技術(shù)之一的智能天線能在發(fā)射機(jī)或接收機(jī)快速移動時(shí),通信系統(tǒng)中的許多用戶可以占用同一個(gè)信道工作而互不干擾,以一個(gè)或多個(gè)高增益的窄波束分別對準(zhǔn)并跟蹤所需信號的方向,同時(shí)以波束零點(diǎn)對準(zhǔn)并跟蹤干擾信號的方向,這就實(shí)現(xiàn)了所謂的“空分多址(Space Division Multiple Access,SDMA)”。

首先詳細(xì)推導(dǎo)了CRLS算法,在這一算法中,協(xié)方差的畸變響應(yīng)被最小化。其次,對約束條件給出了幾何解釋。最后用matlab進(jìn)行了仿真,給出了不同天線數(shù)目和不同陣元間距的方向圖、期望信號和采用CRLS算法的輸出信號的比較圖,并對仿真結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)的分析和比較。仿真結(jié)果表明,CRLS算法不僅有較好的穩(wěn)定性,而且算法也有較強(qiáng)的跟蹤能力,算法得到的波束性能較好,在干擾方向形成零陷,具有較好的抗多址性能。

圖6 期望信號的獲取與跟蹤的比較圖

致謝：河池學(xué)院青年課題立項(xiàng)項(xiàng)目(2011A-N008)對本文的資助

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