Blasius問題中剪應力函數的分析估計

黃淑娟, 杜 翠, 徐艷芝

(1.成都信息工程學院數學學院,四川成都610225;2.西南交通大學土木工程學院,四川成都610031)

1 引言

流體力學邊界層理論中的三階非線性微分方程

邊界條件

稱為 Blasius問題[1],被用來描述穩定不可壓縮流體流過平板的情況,其中 f(η)是相似流函數,f′(η)和 f″(η)分別是速度函數和剪切力函數.問題(1)-(2)也出現在多孔介質混合對流研究中[2],多孔介質參數β=1+ε,ε=Ra/Re,其中 Ra是Payleigh數,Re是Pe′clet數.β＜0對應于平板移動速度與主流方向相反[3].

問題(1)-(2)已經被廣泛的研究.Hussaini和Lakin[4]證明了存在臨界值 β*∈[-1/2,0)使得當 β≥β*方程(1)-(2)至少有一個解,并且當 β＜β*無解,數值解 β*=-0.3541[4].Brighi,Fruchard和Sari[5]詳細的分析了β＜0時解的情況,并給出了解的個數.

在最近的文獻[6]中,Yang和陳研究了問題(1)-(2)的等價積分方程

正解 z(t)＞0(β≤t＜1)的存在性,分別得到了其臨界值 β*＜-0.18733和 β*＜-0.1971.

通過研究方程(3)解的性質,獲得剪切力函數 f″(η)中‖f″‖和 f″(0)的分析估計.以前的結果是數值的,f″(0)的估計在數值計算中是重要的[7].

2 方程(1)-(2)解的性質

下面的討論,始終假定β*≤β＜0.先證明如下3個引理.

令 h(t)=gε(t)-z(t),則存在 t*∈(a,b)使得 h(t*)=max{h(t)：t∈[a,b]}.于是,h″(t*)≤0;另一方面,容易得出這是一個矛盾.于是 z(t)≥gε(t),t∈[0,1].ε的任意引導z(t)≥gε(t),t∈[0,1],這就是所要的結果.

引理3 設 β*≤β＜0,z是方程(3)的解,使得那么

由于

我們有

所以

方程對(4)從?t到1進行積分,有

根據以上3個引理,利用 z(t)=f″(η)([6]),獲得了如下結論：

定理1 設 f(η)是方程(1)-(2)的解,那么

這里 ‖f″‖=sup{f″(η)：0≤η＜∞}.

[1]H Blasius.Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung[J].Zeitschriftfur Angewandte Mathematik and Physik,1908,56：1-37.

[2]E H Aly,L Elliott,D B Ingham.Mixed convection boundary-layer flow over vertical surfaceembedded in a porous medium[J].European Journal of Mechanics-B ：Fluids,2003,22(6)：529-543.

[3]P D Weidman.New solutions for laminar boundary layers with cross flow[J].Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik,1997,48(2)：341-356.

[4]M Y Hussaini,W D Lakin.Existence and nonuniqueness of similarity solutions of boundary-layer problem[J].The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics,1986,39(1)：15-24.

[5]B Brighi,A Fruchard,T Sari.On the Blasius problem[J].Advance in Differential Eauations,2008,13(5-6)：509-600.

[6]G C Yang.An upper bound on the critical value β*involved in the Blasius problem[J].Journal of Inequality and Applications,2010：6.

[7]T Y Na.Computational methods in engineering boundary value problems[M].New York：Academic Press,1979.