基于離散系統模型的系統辨識技術研究

楊峰輝,孔令哲

摘 要：系統傳遞函數是系統模型的數學形式，廣泛地應用于自動控制領域。但由于通過數學建模的形式得到的系統傳遞函數多與實際情況不符，因此在多數工程中極少運用。通過已知輸入信號與輸出信號的采樣結果，利用矩陣運算與系統辨識技術，客觀地求出了系統真實的傳遞函數并利用Matlab仿真對其進行了驗證。經過大量的實踐，該技術現已成功應用于實際工程之中。

關鍵詞：系統辨識; 系統仿真; 數字模型; 矩陣運算

中圖分類號：TN911-34

文獻標識碼：A

文章編號：1004-373X(2011)09-0153-03

System Identification Technology Based on Discrete System Model

YANG Feng-hui,KONG Ling-zhe

(Northwest Institute of Electronic Equipment,CETC,Xian 710065,China)

Abstract： The system transfer function is the mathematical form of system model,which is widely used in the field of automatic control. However,the system transfer functions got by the form of the mathematical modeling are inconsistent with the actual situation in most cases,so they are rarely used in most projects. With the known input signal and output signal sampling results,the true transfer function of system is derived objectively by using matrix operations and system identification technology,and verified by means of Matlab simulation. It has been successfully applied to the practical engineering.

Keywords： system identification; system simulation; digital model; matrix operation

0 引 言

系統是一個內涵十分豐富的概念，從廣義上來講，系統是指具有某些特定功能、相互聯系、相互作用的元素的集合。系統的數字模型則是用抽象的數學方程描述系統內部物理變量之間的關系。通過對系統的數字模型的研究可以揭示系統的內在運動和系統的動態性能。對于一些簡單的系統，可以通過基本定律如牛頓定律、基爾霍夫定律建立數字模型，這種建模方法通常稱之為“機理建模法”。而對于很多系統，由于系統的復雜性，難于寫出用數學表達式表示的數字模型，則必須利用實驗方法獲得實驗數據，通過系統辨識技術建立數字模型。因為數字模型是系統仿真的研究依據，所以數字模型的準確性是十分重要的，這是難點，也是重點。

凡是需要通過實驗數據確定數學模型和估計參數的場合都要利用辨識技術，辨識技術已經推廣到工程和非工程的許多領域。適應控制系統是辨識與控制相結合的一個范例，也是辨識在控制系統中的應用。

1 理論基礎

數字模型的基本形式多為傳遞函數形式，所謂傳遞函數是基于拉氏變換引入的描述線性定常系統或線性元件的輸入-輸出關系的一種最常用的函數。傳遞函數全面反映線性定常系統或線性元件的內在固有特性。

假設線性定常系統或元件在輸入信號x1(t)與輸出信號x2(t)間的內在特性可用線性常系數微分方程表示，在信號x1(t)與x2(t)的初始條件為零的條件下，通過拉氏變換則有式(1)：

G(s)=X2(s)X1(s)=bms琺+bm－1s琺－1+…+b1s+b0ans琻+an－1s琻－1+…+a1s+a0

(1)

在初始條件為零時，線性定常系統或元件輸出信號的拉氏變換式X2(s)與其輸入信號的拉氏變換式X1(s)之比，稱為該系統或元件的傳遞函數。通常記為G(s)=X2(s)/X1(s)。

離散系統的廣泛應用形式是以數字計算機，特別是以微型數字計算機為控制器的所謂數字控制系統。也就是說，數字控制系統是一種以數字計算機為控制器去控制具有連續工作狀態的被控對象的閉環控制系統。因此，數字控制系統包括工作于離散狀態下的數字計算機和工作于連續狀態下的被控對象兩大部分。數字控制系統的方框圖如圖1所示。

當然，在輸入與輸出之間，可以建立一個基于“特殊傅里葉變化”的傳遞函數來仿真此過程，這個傳遞函數就可以認為是“離散系統模型”。這里不妨設它為GF(z)，對于客觀存在的實際系統，此模型存在通式，通式為式(2)：

C(z)=GF(z)?R(z)

=b0+b1z－1+b2z－2+…+bnz－n1+a1z－1+a2z－2+…+anz－n

(2)

這就是“基于離散系統模型的系統辨識技術”的基礎模型。其中，GF(z)為“離散系統模型”，R(z)為輸入信號，C(z)為輸出采樣結果。

圖1 數字控制系統方框圖

2 理想系統驗證

以經典模型為例，驗證此方法的可行性與準確度。數字控制系統方框圖如下圖2所示。

圖2 理想系統數字控制系統方框圖

通過z變換，根據開環傳遞函數:

G(s)=1－e－T0ss?ks(s+a)

(3)

求取開環脈沖傳遞函數:

G(z)=z［G(s)］=(1－z－1)?z1s?ks(s+a)

(4)

轉化后有:

G(z)=k［(aT0-1+e-aT0)z+(1-e-aT0-aTe-aT0)］a2(z-1)(z-e-aT0)

(5)

當R(z)為單位階躍信號，參數a，k與T0取1時，可算得式(6),式(7):

C(z)R(z)=0.368z+0.264z2－z+0.632

(6)

C(z)=0.368z2+0.264zz3－2z2+1.632z－0.632

(7)

由此可知，對于單位階躍信號R(z)，通過此系統后的采樣輸出為C(z)。

現在，僅依靠單位輸入信號R(z)與采樣輸出信號C(z)，應用“基于離散系統模型的系統辨識技術”方法，利用已有的程序，通過參數估計，不難求得:

C(z)=0.368 0z2+0.260 0zz3－2.000 2z2+1.632 1z－0.631 9

(8)

與原始模型高度吻合，在工業控制與仿真中可以應用。因此，此方法在理論上是可行的，且精準度較高。

3 實際工程應用

此思想經過系統仿真和詳細計算，取得了較為完整的數據，并將它應用到某系列天線伺服系統中，實際控制分析結果和預期十分吻合，現將設計過程介紹如下。

3.1 結構分析

要研究面向對象控制，先要對對象體有較為完整的認識，針對某型號單電機伺服天線，簡化的數字控制系統基本模型如圖3所示。

圖3 簡化的數字控制系統基本模型

若將“ACU”部分看為一個整體，設傳遞函數為G1(s)；設“保持器”部分傳遞函數為GH(s)；“PDU”視為反饋環節，設傳遞函數為H(s)；“ADU”、“伺服電機”和“被控對象”與“電流環路”、“速度環路”歸為一體，設傳遞函數為G0(s)。則系統方框圖可簡化為圖4。

圖4 二次簡化數字控制系統基本模型

實際上，觀測到的并非是真實的天線位置C，而是通過軸角編碼器處理過顯示在ACU上的的數字信號C0。因此，從某種意義上講，真實的控制對象并非是天線，而是軸角編碼器上報給ACU的數字信號。當然，前期的測量與校驗工作充分證實了在誤差容許的范圍之內，C與C0在空間范圍內等同，即，控制軸角編碼器的數字信號等同于控制天線的空間姿態。因此，在測試中可以將系統理想化為單位負反饋系統，也就是認為PDU的傳遞函數H(s)為常量1。同時，為了方便測試，不給系統環路帶來更多的微分、積分與慣性環節，在測算過程中，人為地將G1(s)作成單純的比例調節器K。而由于z變換的需要，GH(s)與G0(s)在變換中將歸為一體，設變換后的傳遞函數為G(z)，系統方框圖可進一步簡化，如圖5所示。

這樣簡化的優點是使復雜的系統具有了簡單明了的傳遞結構，但同時，非線性因素介入其中，為后期的參數估計帶來不便。

圖5 最終簡化數字控制系統基本模型

3.2 采樣

由于“基于離散系統模型的系統辨識技術”對數據的依賴性極高，因此，采樣過程相對比較規范。

首先，要定性采樣，即要保證被測模型間關系相對穩定。以方位采樣為例：在對方位采樣時，起始轉角、轉向、天線狀態(如俯仰角度，使能狀態)等要基本相同。

其次，要定量采樣，即通過改變比例系數K完成多狀態采集。采樣內容要覆蓋面廣，必須包括欠阻尼、過阻尼過程。如天線條件允許，甚至可以包括振蕩過程(或阻尼系數ζ較小的)。豐富的采樣數據可以展現出模型的各個性能，揭示非線性狀態，這樣有利于模型的建立。

最后，要符合概率統計的基礎原理，即針對同一狀態對此采樣。因為采樣過程本身就是一個概率事件，大量的數據有利于揭示數據本質。

3.3 數據處理

面對大量數據，要歸一化處理。以順時針轉動，比例系數為0.3，2倍單位階躍觸發信號采樣數據結果為例。歸一化處理后如圖6所示。

圖6 數據歸一化圖

由此可見，各曲線基本吻合，趨勢一致，這可以說明數據較為客觀真實且天線線性度較好，可以用于系統辨識。

3.4 系統辨識

基于離散系統模型的系統辨識技術利用已有的程序，通過參數估計，可以求得式(9):

G(z)=0.020 8z2+0.349 8z(z3－1.271 2z2+0.365 1z－0.091 9)(z－1)

(9)

3.5 綜合處理

由于非線性因素的存在，還需將各組數據統一處理后需匯總統算，以求出最大的模型。

經反復試驗后可求出開環傳遞函數G(z)，形式為式(10):

G(z)=0.033 0z+0.569 7z3－1.271 2z2+0.365 1z－0.091 9

(10)

此傳遞函式廣泛使用于采得的各組數據，且吻合度較高。分別以比例系數為0.5，0.3，0.15三組數據為例。仿真結果對照圖如圖7所示。

圖7 仿真對照圖

圖7中黑色線為仿真結果，淺灰線為采樣結果。

模型客觀地展示了對象的主要特征。同時對比曲線，可清晰地看到非線性所帶來的偏差。

4 結 語

模型優于實體，因為模型能夠更深刻地反映實際系統的主要特征和運動規律，它是對實際系統更高層次的抽象，本身就是對實體認識的結果。

就模型本身而言，其主要特征是被控對象主體機能的體現(如轉動慣量、電磁特性等)，因此它能為研究被控對象的特性提供依據(如幅頻特性、相頻特性、帶寬、截止頻率等)。同時，在調節控制方面，可依托模型實現仿真，完成最優PID調節甚至是最優信號控制。

當然，非線性始終是理論模型的難題。但鑒于此方法是“基于離散系統模型的系統辨識技術”，滯后環節是可以通過運算式辨析于傳遞函數的。而如死區、遲滯等環節，因為它們同樣通過采樣數據作用于原始模型中，因而在系統辨識過程中，它們就顯現出來了。雖然在綜合處理中將其忽略，但在深度研究中也可以此為依據展開分析。

絕對的非線性是不存在的，可以利用分段函數或高階傳遞函數逼近非線性環節，甚至可以利用函數來完成非線性環節的仿真。通過使用Matlab下Simulink非線性環節模塊，結合現行模型，定能獲得更逼真的仿真模型。

系統辨識是一門技術，也是一門藝術。除了控制理論基礎與數學能力外還需要積累豐富的經驗。只有在進一步辯證的研究過程中才能完善此方法。

參考文獻

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