懸臂式倒立擺H∞控制設計及仿真

張克涵,顧李馮,王司令

摘 要：針對旋臂式倒立擺的穩定控制問題，建立了二階旋臂式倒立擺系統的數學模型，運用連續系統線性魯棒H∞最優控制理論，通過設計旋臂式倒立擺控制系統的魯棒調節器，使倒立擺系統在閉環狀態下穩定并具有較強的魯棒穩定性。運用Matlab進行仿真，通過與傳統線性二次型最優控制配置方法相比較，結果發現魯棒H∞最優控制效果更好。

關鍵詞：旋臂式倒立擺； 魯棒控制； 線性系統二次最優控制； 線性矩陣不等式

中圖分類號：TN911-34; TM571.6+2

文獻標識碼：A

文章編號：1004-373X(2011)09-0160-04

Control Design and Simulation of Cantilever Type Inverted Pendulum

ZHANG Ke-han,GU Li-feng,WANG Si-ling

(Northwestern Polytechnical University,Xian 710072,China)

Abstract： The second-order mathematic model for cantilever type inverted pendulum is built in this paper to sdabilize and control the cantilever type inverted pendulum. With the theory of linear robust optimal control,the systematic linear robust optimal controller is designed for the stability of the pendulum under the closed loop state. The simulation of the robust control was performed by means of Matlab. The final result shows that the robust optimal method is more effective than the traditional linear quadratic optimal control method.

Keywords： cantilever type inverted pendulum; robust control; linear quadratic optimal control; linear matrix inequality

0 引 言

倒立擺系統是一個典型的非線性、強耦合、多變量和不穩定系統。它是兩足機器人、火箭垂直發射姿態控制等許多控制對象最簡單的模型，所以被控制研究人員所看好。在對其控制的實踐檢驗中已獲得了許多控制理論，并不斷地發掘新的控制理論與方法，可見倒立擺系統的研究有著重要的理論意義和應用價值。許多控制理論被用來控制它，如傳統的PID控制和現代控制中的極點配置法等。本文通過魯棒H∞最優控制方法對旋臂式倒立擺進行控制設計與仿真。

1 旋臂式倒立擺模型

旋轉式倒立擺的結構模型［1］如圖1所示。可以看到，與傳統的倒立擺以小車和擺臂為研究對象不同的是，旋臂式倒立擺系統以電機帶動驅動臂，控制擺動臂的狀態。這樣既能克服前者中小車往復運動弱點［2］，還能通過用控制電機電壓的方式，在實際運用中實現良好的控制。

根據模型的物理結構對系統進行受力分析，如圖2所示。

圖1 旋臂式倒立擺結構圖

圖2 受力分析圖

有了受力分析圖后，運用物理力學及轉動力學為系統的驅動臂繞轉軸、擺動臂繞關節、擺動臂質心建立運動方程見式(1)~式(4)。系統參數見表1。

表1 系統參數

參數含義設定值參數含義設定值

fx /N驅動臂和擺動臂的水平分量M1 /kg驅動臂的質量0.195

fy /N驅動臂與擺動臂的作用力的垂直分量M2 /kg擺動臂的質量0.15

θ1 /rad驅動臂對垂直方向的角位移J0 /(kg?m2)轉子及連接轉子的轉動慣量0.000 13

θ2 /rad擺動臂對垂直方向的角位移J1 /(kg?m2)驅動臂對質心處的轉動慣量0.004

θ?1 /(rad/s)驅動臂質心角速度J2 /(kg?m2)擺動臂對質心處的轉動慣量0.006 8

θ?2 /(rad/s)擺動臂質心角速度L1 /m驅動臂質心到轉軸的距離0.1

G0 /(N?m/V)轉動力矩與控制電壓之比0.03L2 /m擺動臂質心到轉軸的距離0.15

U /V控制電壓L3 /m從關節到轉軸的距離0.2

g /(m/s2)轉子及連接件的轉動慣量9.8μ1 /(N?m?s)轉軸處的摩擦阻力系數

μ2/(N?m?s)關節處的摩擦阻力系數

驅動臂繞轉軸旋轉的運動方程:

(J0+J1+M1L21)1=G0U－μ11+μ2(2－1)+M1L1sin θ1－fxL3cos θ1+fyL3sin θ1

(1)

擺動臂繞關節旋轉的運動方程:

(J2+M2L22)2=M2gL2sin θ2－μ2(2－1)－M2(L3sin θ1)″L2cos θ2+M2(L3cos θ1)″L2sin θ2

(2)

擺動臂質心的運動方程:

M2(L3sin θ1+L2sin θ2)″=fx

(3)

M2(L3cos θ1+L2cos θ2)″=fy－M2g

(4)

將式(1)~式(4)進行整理，得到非線性方程:

J0+J1+M1L21+M2L23M2L3L2cos(θ2－θ1)

M2L3L2cos(θ1－θ2)(J2+M2L22)

12+－(M1L1+M2L3)gsin θ1

－M2gL2sin θ2?

μ1+μ2－μ2－M2L3L2cos(θ2－θ1)2

-μ2－M2L3L2sin(θ1－θ2)1μ2

在θ1=0和θ2=0處進行線性化處理，即令sin θ=θ，cos θ=1，得到線性方程：

J0+J1+M1L21+M2L23M2L3L2

M2L3L2(J2+M2L22)1

2+－(M1L1+M2L3)gθ1－M2gL2θ2μ1+μ2－μ2

－μ2μ21

2=G00U

(6)

選擇x=［θ1 θ2 1 2］琓為狀態向量，y=［θ1 θ2］琓為輸入向量，u=U為輸入量，得到狀態方程：

1000

0100

00J0+J1+M1L21+M2L23M2L3L2

00M2L3L2J2+M2L22θ12

1

2=

0010

0001

－(M1L1+M2L3)g0μ1+μ2－μ2

0－M2gL2－μ2μ2

1

2

1

2+00G00U

(7)

2 魯棒H∞最優控制

由于傳統的線性化、忽略次要因素、系統磨損、外界干擾都會使系統的真實狀態難以用狀態方程來完全描述。魯棒控制為提高系統對干擾、攝動、測量誤差等不確定性的抵抗能力提供了設計方法，并在近幾年得以快速發展且得以應用。總的來說，H∞控制用來解決H∞范數描述的標稱性能及魯棒穩定問題。

按圖3所示，H∞控制問題可描述為給定正數γ及一般被控對象G(s)，求反饋控制器K(s)，使得如圖3所示的系統內部穩定，且由w到z的傳遞矩陣的H∞范數小于γ。其中：z為評價控制性能及模型攝動的輸出向量；y為控制器輸入向量；w為評價控制性能的輸入向量；u為控制輸入；γ為充分小的正數。將輸入陣和輸出陣對應進行分塊化，得下式：

zy=G11G12G21G22wu=AB1B2

C1D11D12

C2D210

xwu

(8)

則：

Hzw(s)=G11(s)+G12(s)K(s)[I-G22(s)K(s)]-1G21(s)

(9)

圖3 反饋控制系統

本文以狀態方程的各個矩陣為考察對象，求解存在擾動w(t)時，不確定線性倒立擺系統的魯棒H∞最優控制問題。

不確定線性系統的描述如下：

(t)=(A+ΔA(t))x(t)+B1w(t)+B2u(t)

z(t)=C1x(t)

(10)

式中：x(t)∈R琻為系統的狀態；u(t)∈R琺為系統的控制輸入；w(t)∈R琾為系統的外部擾動；z(t)∈R琿為系統的輸出；A,B1,B2,C1為已知常數矩陣，ΔA為具有適當維數的不確定時變實矩陣，具有如下形式：

ΔA=DF(t)E

(11)

式中：D∈R琻×r，E∈R琿×n為已知常數矩陣;F(t)∈R瑀×q為不確定性函數矩陣，并設F(t)滿足：

Ω={F(t)|F琓(t)F(t)≤I,衪}

(12)

系統所對應的性能指標為：

J=∫∞0(x琓Qx+u琓Ru)dt

(13)

對于不確定線性系統以及相應的性能指標，如果存在一個狀態反饋u=－Kx(t)，使得閉環系統對所有容許的不確定性ΔA，滿足下面三個條件：

(1) 閉環系統是穩定的；

(2) 閉環系統是LQ意義下最優的；

(3) 當初始x(0)=0時，從系統的外部擾動輸入w(t)到系統輸出z(t)的傳遞函數Hzw(s)的‖Hzw(s)‖∞<γ，則稱在反饋u=－Kx(t)下魯棒H∞最優。

定理：給定常數γ>0，對于不確定線性系統和性能指標，存在狀態反饋u=－Kx(t)，使閉環系統魯棒H∞最優的充分必要條件是存在常數ε>0和正定矩陣P，使得:

A琓P+PA+γ－2PB1B琓1P－PB2R－1B琓2P+

εPDD琓P+1εE琓E+C琓1C1<0

(14)

應用Schur補引理結合式(14)可得到以下推論：給定常數γ>0，對于不確定線性系統式(10)和性能指標式(13)，存在狀態反饋u=－Kx(t)，使閉環系統魯棒H∞最優的充分必要條件是存在常數ε>0、矩陣X=X琓>0和Y，使得如下線性矩陣不等式成立：

φXY琓B1XC琓1XE琓D

*－Q－100000

**－R－10000

***－γ2I000

*** *－I00

** * ** －ε－1I 0

******－εI<0

(15)

式中:φ=AX+XA琓－B2Y－Y琓B琓2。若上式成立，則對應的魯棒H∞最優控制律為:

u=－Kx(t)=－YX－1x(t)

(16)

有了線性矩陣不等式，就可以運用Matlab中LMI工具箱對不等式進行求解。

以上概念、定理和推論的具體論述過程參見參考文獻［3-5］。

3 旋臂式倒立擺控制仿真過程

3.1 仿真參數計算

首先根據有關參數［1］，計算出各個狀態方程標稱值如下:

A= 0010

0001

-48.89.9500

21.78-26.3200

B= 002.89-1.29 C= 10000100

3.2 H∞最優控制設計

根據能控矩陣的秩和能觀矩陣的秩都為4，可知最優控制及u(t)存在，所以可以給系統加上最優控制器，使得系統閉環穩定，且滿足暫態性能指標。通常為了簡化且使加權陣具有明顯的物理意義，將Q選為對角陣，Q=diag{Q11 Q22Q33Q44}。同時要注意以下幾個方面［2］：

(1) 由于系統模型是線性化的結果，為了使系統各狀態變量能夠在線性范圍工作，要求狀態變量不應過大。

(2) 閉環系統最好能有一對共軛復數極點，這樣有利于克服系統的非線性摩擦，但系統主導極點的模不能過大，那樣會導致系統頻帶過寬，對噪聲過于敏感，使系統不能正常工作。

(3) 加權矩陣過小，會使控制能量大增，以致超過執行器能力，使放大器處于飽和狀態。Qii是對xi的平方加權，Qii的相對增加就意味著系統對xi的要求變嚴格，在性能指標中的比重大，偏差狀態相對減小。因為本系統主要的輸出量為θ1和θ2，且在選取加權對角陣Q的各元素值時，用Q11代表驅動臂相對于垂直方向角位移的權重，Q22代表擺動臂相對于垂直方向角位移的權重，所以選取Q11=100，Q22=10。為了使Q為非奇異矩陣,選取Q33=Q44=1。r是對1控制量的平方加權，當r相對較大時，意味著控制費用增加，使得控制能量減小，反饋減弱；而r選取較小時，系統控制費用減小，反饋增加，系統動態響應迅速，選取R=r=1。

下面考慮攝動矩陣ΔA的選取。本文根據實際考察轉軸處摩擦阻力系數μ1和關節處摩擦阻力系數μ2的變化給系統帶來的攝動影響，并結合式(7)和式(16)得:

D=0000

0000

0099.698μ1+144.01μ2－144.01μ2

00－44.31μ1－161.47μ2－161.47μ2

式中:μ1=μ10+Δμ1;μ2=μ20+Δμ2;μ10=0;μ20=0;

Δμ1=0.05;Δμ2=0.002 6;E=I4;F(t)=I4。

通過調試和實際對比選取ε=0.06，γ=0.005，并令B2=B，C1=C，B1=［0 0 -3 -20］琓。

運用以上分析的方法并通過Matlab計算得:

K=［-4.813 9 -28.009 5.301 7 5.132 3］。

3.3 仿真結果及分析

通過選取擺角一，對直接運用二次型最優控制設計的系統與用H∞最優控制設計系統的響應，分三種情況進行比較。無攝動即Δμ1=0，Δμ2=0；第一種攝動情況為Δμ1=0.025，Δμ2=0.001 3；第二種攝動情況為Δμ1=0.037 5，Δμ2=0.001 95。

通過圖4(a)，圖4(b)響應曲線比較不難發現，采用線性二次型最優控制算法雖然在響應時間上比魯棒最優控制快些，但其穩定時間明顯慢于魯棒最優控制，最重要的是其魯棒性明顯不如后者。無攝動情況下兩者都能達到穩定，響應特性各有所長；但在第一種攝動情況下前者的系統穩定特性發生了大的改變，而魯棒最優控制卻只發生了很小的變化；到第二種攝動，線性二次最優控制已趨近于振蕩，而H∞最優控制卻還保持了原有的響應特性，并未發生大的改變。可見，魯棒H∞最優控制器較線性二次最優控制具有更強的魯棒穩定性和綜合性能。

圖4 旋轉式倒立擺響應曲線

3.4 仿真程序

限于篇幅，部分關鍵程序如下：

lmiterm(［1 1 1 X］,A,1,′s′);

lmiterm(［1 1 1 Y］,-B2,1,′s′);

lmiterm(［1 1 3 -Y］,1,1);

lmiterm(［1 1 4 0］,B1);

lmiterm(［1 1 5 X］,1,C1′);

lmiterm(［1 1 6 X］,1,E′);

lmiterm(［1 1 7 0］,D);

lmiterm(［1 2 2 0］,-inv(Q));

lmiterm(［1 3 3 0］,-inv(R));

lmiterm(［1 4 4 0］,-gama^2);

lmiterm(［1 5 5 0］,-1);

lmiterm(［1 6 6 0］,-1/sigama*eye(4));

lmiterm(［1 6 7 0］,0);

lmiterm(［1 7 7 0］,-sigama*eye(4));

lmiterm(［-2,1,1,X］,1,1);

4 結 語

魯棒H∞最優控制器具有良好的魯棒穩定性，干擾、攝動抑制能力，兼具H∞和最優控制的優點，能夠補充H∞性能指標無法反映工程品質和最優控制魯棒性不強的弱點，是一般控制方法無法比擬的。本文通過理論分析，證明了運用魯棒H∞最優控制可以使旋臂式倒立擺穩定并獲得更加良好的魯棒性，能為該理論在旋臂式倒立擺上的實際運用，提供了理論依據和參考。此外旋轉式倒立擺系統又類似于簡化的吊車吊臂，研究它在現實生活也有較強的實用性。

參考文獻

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文