考慮變頻器供電諧波電流作用下的永磁電機電磁力計算與分析

張文敏，郝清亮，謝 穎，蔡 憑

（1. 武漢船用電力推進裝置研究所，武漢 430064；2. 哈爾濱理工大學，哈爾濱150040）

引言

電磁激振力是永磁電機振動噪聲的主要激勵源，它是由電機定轉子間的磁場相互作用產生的[1]。電磁激振力包括徑向電磁力和切向電磁力兩個分量。一般認為徑向電磁力作用在定子鐵心上產生的振動變形是電磁振動噪聲的主要來源，而切向分量是與電磁轉矩相對應的作用力矩，它使齒對其根部彎曲，并產生局部振動變形，是電磁振動噪聲的次要來源。本文主要對永磁電機的徑向電磁力進行分析和計算。

一臺永磁電機由變頻器供電，系統采用了SPWM脈寬調制技術，電機的電流時間諧波磁場和電機的空間磁場分布較理想電源供電時的磁場分布特性更加復雜，特別是變頻器輸出電流中的開關頻率諧波對振動噪聲的影響較大。本文利用有限元法，對理想電源供電和考慮 SPWM 脈寬調制時的永磁電機徑向電磁力分別進行了仿真計算，并與試驗結果進行了對比分析，得到了一些有益的結論。

1 正弦波脈寬調制的工作原理

隨著交流調速技術的快速發展，交流電機多采用變頻器供電。在變頻驅動系統中，PWM 控制技術得到廣泛的應用，永磁電機由變頻器供電，采用SPWM控制，把逆變器輸出電壓中的基波分量（正弦波）稱為期望波，將頻率遠高于期望波的等腰三角波作為載波，以相位、頻率和幅值與期望波相同的正弦波作為調制波。調制波與載波進行比較產生0和1邏輯信號，控制變頻器逆變電路中功率器件的開通和關斷時序，從而在變頻器輸出端可以獲得正弦調制波的半個周期內呈兩邊窄中間寬的一系列等幅不等寬的矩形波，利用該矩形波來進一步控制電機旋轉[2]，其工作原理詳見參考文獻[3]，原理圖如圖1所示。

圖1 永磁電動機H橋控制電路工作原理圖

2 變頻器供電時永磁電機徑向電磁力分析

根據麥克斯韋應力，在氣隙中任意點單位面積上的徑向電磁力為：

式中：b（a，t）為磁密的徑向分量；bt（a，t）為磁密的切向分量，由于切向分量很小可以忽略不計；b1（a，t）為定子各次諧波磁場的作用；b1（a，t）b2（a，t）為定轉子諧波磁場的相互作用；b2（a，t）為轉子各次諧波磁場的作用。

永磁電機由變頻器供電時，輸入電機的電流為非正弦電流，其中包含大量的高次時間諧波，n=2m1k±1，這里m1是電機的相數，=0,1,2,3…。這種非正弦電流傅立葉函數展開為：

式中：角頻率和高次時間諧波電流頻率可以表示為：

由于變頻器供電含有大量的時間諧波，在定轉子之間的氣隙中形成磁場中就會含有大量時間諧波，這就增加了電機中徑向電磁力波的階數和頻率。n次時間諧波磁密的時空變換可以表示為空間諧波之和，對于定子可以表示為：

對于轉子可以表示為：

式(4)、式(5)中：ν為定子的空間諧波次數；μ為轉子的空間諧波次數；n是定子的時間諧波次數；Bmνn和Bmμn分別是定、轉子諧波磁密的幅值；α為相對于坐標系原點的空間角位移；ωn=為定子繞組中電流時間諧波的角頻率；f為基波頻率；ωμ,n為對于給定的n次時間諧波，在轉子系統下空間μ次諧波的角頻率；φμ,n為定轉子空間諧波角位移。式（4）、式（5）中磁密的高次空間諧波分量由定子繞組的分布和轉子磁極的幾何形狀產生，而高次時間諧波分量由供電電源或者變頻器產生。

此力波頻率若與電機的固有頻率接近會產生嚴重的振動噪聲，而且電機的高階固有頻率用常規數值分析方法是難以準確計算的，這也是諸多變頻電機高頻共振的主要原因[4]。

3 徑向電磁力的計算

采用有限元分析軟件進行電機的電磁力計算可較為真實地反映電磁力的作用狀態，通過對永磁電機進行電磁場分析，并在后處理中采用麥克斯韋應力法，即可求解出徑向電磁力和切向電磁力。

用矢量磁位A描述的電機瞬變電磁場方程和電路方程可以表示為[5,6]：

式中：Js為相繞組的電密；JM為永磁邊界等效面電流密度；[R1]為繞組電阻矩陣；[Lσ]為繞組漏感矩陣。

通過對方程（7）進行離散求解，可以得到不同時刻永磁電機二維截面的磁場分布，成為進一步求解電磁力分布的基礎。

利用有限元法計算電磁力的方法一般有：安培定律，麥克斯韋應力法和虛功位移法。這里我們采用麥克斯韋應力法來求解電磁力，由于作用于任意區域上的體積力可歸為這一區域表面所受的張力，在任意區域（從理論上）都可以用面和體電流等效為磁性材料。這種思想與等效電流替代永磁體是一致的。

根據麥克斯韋應力磁質上的合力為[7]：

式中：T是一個二階張量；S為包圍磁質的任意一個閉合曲面；S通常設置在磁質周圍的空氣中。對于二維問題，這個積分面就簡化為一條閉合曲線，合力F可表示為：

式中：t，n為積分路徑的切向和法向單位矢量；ft為切向電磁力密度；fr為徑向電磁力密度；其中：

這里，x、y為對應單元的坐標。

4 仿真計算與試驗分析

利用本文介紹的電磁力的計算方法，采用有限元分析軟件，通過軟件內部的電路等效變頻器供電給一臺永磁電機，工作原理如圖1所示，對該永磁電機進行了電磁場分析計算。

計算過程中，時間步長的選取與開關頻率相關，考慮到仿真計算速度的影響，電磁場仿真設置外部控制電路時，設定開關頻率為 1kHz，磁場計算步長為1.25e-4s，計算得到繞組相電流波形如圖2所示。

圖2 相電流隨時間的變化曲線

從圖2中可以看出，由于考慮變頻器供電時，正弦波脈沖調制的影響，得到的負載相電流中不單單是含有控制電機的基頻分量而且含有豐富的高次諧波分量，這與前面的分析是一致的。

根據麥克斯韋應力法，分別計算了標準正弦電壓供電和考慮變頻器脈沖調制影響時，靠近定子鐵心某一氣隙單元的徑向電磁力密度隨時間的分布曲線，分別如圖3、圖5所示。圖3和圖5比較可以看出，二者波形趨勢是一致的，但圖5的電磁力波形中明顯含有許多毛刺，該現象主要是由于受變頻器脈沖調制的影響，諧波含量較多。為了進一步說明問題，將圖3和圖5的電磁力波形，分別進行了頻譜分析，結果分別如圖4、圖6所示。

圖3 正弦供電時的電磁力隨時間變化曲線

圖4 正弦供電時的電磁力頻譜圖

圖5 變頻器供電時的電磁力隨時間變化曲線

圖6 變頻器供電時的電磁力頻譜圖

從上面圖4和圖6電磁力密度的頻譜圖中可以看出，與標準正弦波供電相比，考慮變頻器脈寬調制影響時，明顯含有開關頻率附近的邊帶頻率特征的特征諧波，說明了正弦脈寬調制（SPWM）下驅動電機的時間諧波和空間諧波磁場不同于正弦工頻電源，存在的開關頻率的時間諧波特征會導致電機定轉子之間的氣隙磁場發生畸變，進而影響電機的電磁力分布。

進行試驗測試時，該永磁電機配試的變頻器開關頻率設置為 3kHz，典型的振動加速度譜如圖 7所示。可以看出開關頻率及其倍頻附近的邊帶振動特征非常突出，開關頻率fsw和時間諧波相互作用產生的徑向電磁力波對電機振動的影響是非常大的。

圖7 變頻器供電的永磁電機典型振動加速度譜

永磁電機運行時，電機繞組中沒有變頻供電時由開關頻率引起的高次時間諧波，其振動加速度譜如圖9所示。

圖8為三分之一倍頻程振動加速度級頻譜圖，可以看出 6kHz開關頻率特征的振動加速度級明顯高于圖9中變頻供電時的振動特性。

圖8 變頻器供電的永磁電機振動加速度級頻譜圖

5 結論

通過對變頻器供電時的電機電磁力波進行分析，并針對某永磁電機采用有限元軟件對變頻器供電和理想電源供電下的徑向電磁力進行了仿真計算，發現變頻器供電時，電磁力密度的頻譜中開關頻率附近的邊帶頻率特征較為突出，與試驗測試結果一致，證明了采用該方法進行電磁力計算的正確性，成為進一步研究變頻器供電永磁電機振動噪聲的理論基礎 。

圖9 永磁電機工況時振動加速度頻譜圖

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