非線性廣義模糊系統的鎮定控制器設計與分析

劉 偉，路子赟

（江蘇技術師范學院，常州 213001）

0 引言

鎮定和跟蹤是控制的兩個主要方面。跟蹤控制，尤其是狀態跟蹤控制更具有十分重要的研究價值。首先，系統動態性能不完全由極點決定，也不依賴于零點，但目前零點配置未完全解決。其次，有些情況下，系統參數不確定或者在運行時有一定的飄移，都會使閉環系統的特性變壞，甚至不穩定而無法工作。由一個理想模型給出希望的動態特性，并設計狀態跟蹤器常?？梢越鉀Q上述問題。T-S模糊系統自提出以來就引起了國內外控制領域的普遍重視，許多學者對T-S模糊系統的穩定性進行了研究，并得到了許多關于系統穩定性的結果[1～7]。然而，這些結果大部分都是利用公共Lyapunov函數方法得到的關于T-S模糊系統二次穩定的充分性條件。由于模糊系統本質上是非線性系統，因此用單一的Lyapunov函數分析系統的穩定性必定存在著很大的保守性。針對這一問題，最近，Tanaka等[8～10]對連續模糊系統提出了模糊Lyapunov函數方法，對隸屬函數的導數給出限制，得到了系統穩定的充分條件，文獻[9]給出了控制器設計方法。但文獻[9]中給出了控制器的設計方法不是LMI的，計算量也很大，因此在應用上存在很大的局限性。

本文針對這一問題，將廣義系統方法和模糊Lyapunov函數方法結合，既克服了單一的Lyapunov函數方法保守性較大的缺點，又解決了模糊Lyapunov函數方法計算量過大和難以得到LMI形式結果的問題。給出了基于LMI的PDC控制器設計方法。而且，放松了對隸屬函數導數的限制條件。

1 T-S模糊系統

考慮如下T-S模糊系統

其中： 是狀態向量， 是控制輸入，Ai，Bi是維數適當的常數矩

系統（1）的自治系統為

為了分析系統（2）的穩定性，文獻[9]引入如下假設條件：

假設1[9]

利用如下形式模糊Lyapunov函數

引理1[9]如果存在常數 ，使假設1成立，且存在矩陣 滿足下面的LMIs：

那么模糊系統（2）是穩定的。

對于引理1，顯然， 越小越容易得到可行解，假設1決定了 ，而且都有限制，在此對假設1進行了放松，給出如下假設：

假設2

利用文獻[11]中的廣義系統方法，將系統（1）改寫為如下模糊廣義系統形式。

系統（2）可改寫為

考慮廣義模糊Lyapunov函數

其中

利用廣義Lyapunov函數（5）給出如下定理：

定理1 如果存在常數?1, ?2, , ?r使假設2成立，且存在矩陣P1i(i＝1, 2, , r), P2, P3使下面的LMIs

成立，其中：

那么模糊系統（2）是穩定的。

證明：對式（5）給出的Lyapunov函數求導，根據式（4），假設2和 可得

系統（2）的穩定性得證。 證畢。

與式（3）中的模糊Lyapunov函數相比，式（5）給出的廣義模糊Lyapunov函數引入了松弛變量P2和P3，利用它來分析原T-S模糊系統的穩定性，所得結果LMI個數比引理1少，更重要的是P2k和Ai沒有相乘的關系，這樣可以得到基于LMI的PDC控制器設計方法。

在hi(ξ)滿足如下假設的時候，可以將定理1進一步化簡。

假設3[11]

其中vk，k＝1, 2, , r是常數。

定理2[11]如果存在常數v1, v2, , vr使假設3成立，且存在矩陣P1i，i＝1, 2, , r, P2, P3使下面的LMIs

成立，其中Q2i, Q3與定理1中相同，那么模糊系統（2）是穩定的。

2 模糊系統的控制器設計

以上給出了T-S模糊系統穩定性的判別條件，下面將討論T-S模糊系統的鎮定控制器設計方法。考慮PDC控制器

將控制器（6）代入系統（1）得閉環系統

對應的廣義模糊系統為

定理 3 如果存在常數?1, ?2, …, ??，使假設 2成立，且存在矩陣P1i(i＝1, 2, …, r), P2, P3滿足下面的不等式：

其中：

那么模糊系統（7）是穩定的。

證明：對式（5）給出的Lyapunov函數求導，根據式（8）和假設2可得

閉環系統（7）的穩定性得證。證畢。

下面給出基于LMI的PDC控制器設計方法。

定理 4 如果存在常數?1, ?2, …, ?r使假設 2 成立，且存在矩陣X1i, Mi, i＝1, 2, …, r, X2滿足下面的LMIs：

其中：

證明：對式（9）取P3＝P2左右分別乘

下面，考慮模糊系統隸屬函數性質，對定理4的條件進一步放松。由這一性質，那么可以得到如下定理：

其中：

那么模糊系統（7）是穩定的，且

3 例子

通過這個例子來證明本文給出方法的有效性。關系式如下：

其中：

將K11, K21代入原系統，閉環系統的起始狀態為[0.5 -1]T時的狀態響應如圖1所示。

圖1 閉環系統狀態響應

4 結論

本文應用廣義模糊Lyapunov方法研究了T-S模糊系統的穩定性分析與鎮定控制器設計問題。即克服了單一Lyapunov函數方法保守性較大的缺點，又解決了模糊Lyapunov函數方法計算量較大和難以得到LMI形式結果的問題。最后的例子驗證了方法的優越性和有效性。

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