動力定位船舶縱向運動的反步法控制器設計*

張曉蘭 王欽若 時麗麗

（廣東工業大學自動化學院）

1 引言

隨著人類向深海進軍，動力定位系統越來越廣泛地應用于海上作業船舶、海上平臺、水下潛器和軍用艦船。它一般由位置測量系統、控制系統、推力系統三部分構成[1]。位置測量系統測量當前船位；控制器根據測量船位與期望值的偏差，計算出抗拒環境干擾力，使船舶恢復到期望位置所需的推力；推力系統進行能量管理并對各推力器的推力進行分配，推力器產生的推力使船舶在風流浪的干擾下保持設定的航向和船位。動力定位系統的核心是控制技術，它標志著動力定位系統的發展水平。

反步法基本思想是將復雜的非線性系統分解成不超過系統階數的子系統，然后為每個子系統設計部分李雅普諾夫函數(簡稱V函數)和中間虛擬控制量，一直“后退”到整個系統，將它們集成起來完成整個控制律的設計[2]。它在每一步把狀態坐標的變化、不確定參數的自適應調節函數和一個已知 V函數的虛擬控制系統的鎮定函數等聯系起來，通過逐步修正設定軌跡與實際軌跡之間的偏差，實現系統的全局調節或跟蹤，使系統達到期望的性能指標[3]。反步法中引進的虛擬控制本質上是一種靜態補償的思想，前面子系統必須通過后面子系統的虛擬控制才能達到鎮定控制的目的。在反步法設計中，最關鍵的是構造合理的虛擬控制器，消除不確定性的影響。

2 船舶的低頻運動模型

在建立船舶數學模型時，分別建立兩個坐標系：大地坐標系和隨船坐標系。大地坐標系OEXEYE用來計算船舶的運動，坐標原點O任取地球或海面上的某一點，OEXE指向正北，OEYE指向正東。

隨船坐標系OXY，其坐標原點與大地坐標系原點相同，根據右手法則，X軸的正向指向船首，Y軸指向船的右舷。有關坐標系的定義如圖1所示。

圖1 慣性坐標系與隨船系

對于動力定位船舶，主要考慮船舶在水平面上的三個自由度運動，即縱蕩、橫蕩和艏搖運動。在隨船坐標系中選取船舶速度矢量在大地坐標系中選取船舶位置矢量分別表示船舶的縱蕩、橫蕩和艏搖速度，x、y、ψ分別表示船舶在大地坐標系中的縱向位移、橫向位移和艏向角。

由坐標系的定義，可以得出船舶位移和速度的關系式：

其中坐標轉換矩陣：

坐標轉換矩陣)(ψR是一個非奇異陣，滿足：

船舶的低頻運動由推進器、風、海流和二階海浪引起，由Fossen1994年提出的模型結構，船舶在橫蕩、縱蕩、艏搖三個方向的低頻運動數學模型如下[4]：

C(v)項表示科氏力和向心力項。科氏力是對旋轉體系中進行直線運動的質點，由于慣性作用相對于旋轉體系中產生的直線運動偏移的一種描述。

將科氏力和向心力用于模型中，可以改善參數估計的收斂性[5]，但是C(v)項只有在船舶涌動過程中才有意義，對于動力定位船舶來說，在定位模式下的運動速度比較緩慢，C(v)=0。故動力定位船舶的低頻運動方程可描述為：

環境擾動作用力主要包括風、浪、流等環境作用力。通常來說，擾動力對船舶運動是相互影響和相互作用的，但在分析過程中，假設擾動作用力的疊加性成立，這樣有利于簡化船舶動力定位系統模型的建立：

其中，τcontrol為推進力向量；τwind為風力；τwaves為波浪漂移力；τcurrent為海流作用力。

其中，Gx 是船舶的中心和重心之間的距離，阻尼陣D是嚴格正定的。

b為未建模的動態偏差模型，由風、浪、流引起的未建模的偏差力是緩慢變化的，在船舶控制中，通常用一階Markov過程表示偏差模型：

3 動力定位系統的反步控制器設計

采用船舶的運動模型如式（6）所示，并假設 b為有界擾動。對式（6）求導可得：

簡記式（12）為：

記系統的期望位置為ηd，則系統的偏差量為：

對式（11）求導，并代入式（12）得：

假設：

其中，K1為給定值的正定增益矩陣；u為控制輸入。

由式（13）和（16），可得誤差的動態方程為：

設系統的狀態方程為：

對式（18），選取Lyapunov函數如下：

把 x2看做是虛擬控制量，對其進行反步法設計，使其滿足Lyapunov漸近穩定定理，對 V1求導得：

對式（8），選取第二個Lyapunov函數如下：

對 V2求導得：

其中，v是為補償系統的不確定性擾動引入的輔助控制信號，也是待設計量； K2為一正定的對角矩陣。將式（23）代入式（22）得：

把式（25）代入式（24）得：

根據Lyapunov穩定性定理， x1x1、 均指數收斂于0，此時的控制律為：

則式（18）是指數收斂的。

4 系統仿真

試驗船模參數為：船長2800mm、船寬762mm、船高498mm、船重230kg、方形系數0.652、水線長2691mm、初始航向30°、初始船速1.1kn、重心中心距離200mm，試驗船模如圖2 所示。

圖2 試驗船模

根據上述模型計算方法計算船舶在位置坐標為（0，0，0）時的數學模型，得到船模的無量綱慣性參數矩陣和阻尼系數矩陣如下：

未建模的動態偏差模型中的偏差時間常數取為：

模擬海況為5級（風力6級，浪高2.5m～4m），風向角度60°，均勻來流，流速lm／s，流向角度0°。

在Matlab環境下進行仿真實驗，實驗結果如圖3 所示。

圖3 縱蕩方向的控制輸出和控制力

在設計輸出反饋時，可用濾波后的輸出值代替測量的輸出值，控制器的輸入就由過濾后的速度和位置估計值產生，控制效果會進一步提高。

5 結束語

本文在船舶動力定位非線性模型的基礎上，提出了基于李雅普諾夫定理和反步法設計了船舶動力定位系統的非線性控制器，保證了控制系統的全局漸近穩定性。仿真實驗證明基于Backstepping的非線性控制器應用于動力定位具有良好的控制性能。

[1]賈欣樂,楊鹽生.船舶運動數學模型—機理建模與辨識建模[M].大連:大連海事大學出版社,1999.

[2]THOR I. FOSSEN and TRISTAN PEREZ. Kalman Filtering for Positioning and Heading Control of Ships and Offshore Rigs. DECEMBER 2009 IEEE CONTROL SYSTEMS MAGAZINE.

[3]Antonio Loria,Thor I. Fossen and Elena Panteley. A Separation Principle for Dynamic Positioning of Ships:Theoretical and Experimental Results IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNOLOGY[J],2000,8(2): 332-343.

[4]Thor.I.Fossen. Guidance and control of ocean vehicles. New York:Wiley,1994.

[5]T.I. Fossen,S.I. Sagatun,A.J. Scrensen. Identification of dynamically positioned ships[J]. Control Eng. Practice,1996,4(3): 369-376.

[6]耿矗彬譯,MJ摩根著.近海船舶的動力定位[M].北京:國防工業出版社,1984.

[7]馮欣.基于 Backstepping的船舶動力定位系統控制器設計[D].大連:大連海事大學,2009.07.

[8]李殿璞.船舶運動與建模[M].北京:國防工業出版社,2008（1）:53-57.