執(zhí)行器增益波動容忍區(qū)間分析*

劉子平 王福忠

（沈陽建筑大學信息學院）

1 引言

自20世紀80年代Zames提出H∞控制以來，許多H∞控制器的設計方法也相繼提出，有關H∞控制問題都只是強調系統(tǒng)能夠有效地抵御不確定性的影響，很少有人考慮部件故障的擾動對系統(tǒng)的影響。在仿真中看到：當系統(tǒng)部件發(fā)生故障時，傳統(tǒng)意義上設計的控制器可能使系統(tǒng)失去原有的H∞性能，甚至失去穩(wěn)定性。

本文針對一類線性系統(tǒng)的H∞指標問題，對H∞可靠控制執(zhí)行器中各條通道故障，提出了增益波動的容忍區(qū)間的概念。即硬件發(fā)生增益波動的時候，在原來控制器不改變的前提下，考慮并計算出硬件最大承受力的區(qū)間范圍。同時給出在不增加控制器能量的情況下（即不改變控制器的計算算法），通過硬件冗余的方法來實現系統(tǒng)的可調配優(yōu)化問題。通過考慮未發(fā)生增益波動和發(fā)生增益波動前后的對比，使執(zhí)行器硬件設計者根據執(zhí)行器每條通道故障增益波動的容忍區(qū)間，判斷出每條通道對閉環(huán)系統(tǒng)的重要程度，再根據其重要程度加強該通道的硬件冗余度，用以加強系統(tǒng)硬件設計的可靠性。

2 問題描述

考慮系統(tǒng)：

設計一個狀態(tài)反饋控制器：

得到相應的閉環(huán)系統(tǒng)：

文獻[9]基于系統(tǒng)，給出如下定義，該閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且對于正數γ＞0，系統(tǒng)外部擾動到被控輸出的傳遞函數其中具有這樣性質的控制律（2），稱為是系統(tǒng)（1）的一個狀態(tài)反饋∞H控制律。

定義 1若考慮系統(tǒng)的執(zhí)行器增益波動，系統(tǒng)為：

執(zhí)行器增益波動控制器形式為：

定義 2對于以上增益波動（6），如果執(zhí)行器增益波動 Fi，其中使得閉環(huán)系統(tǒng)（5）的是漸近穩(wěn)定，且對于正數，閉環(huán)系統(tǒng)外部擾動到被控輸出的傳遞函數滿足其中，具有這樣性質時，則稱區(qū)間為執(zhí)行器第i條通道增益波動的容忍區(qū)間，簡稱第i容忍區(qū)間。其中

增益的區(qū)間越大，系統(tǒng)對該通道信號容許的信號波動越就大，一般情況下，

定義 3對于系統(tǒng)采用雙重或更高重備份，或者建立冗余信號的通道形式，來對抗硬件緩解失效的辦法叫做硬件冗余。

對于不同的增益波動給出的硬件各通道在增益波動發(fā)生時候的重要程度，稱其為硬件冗余度。

硬件冗余度可以讓硬件設計師根據其重要程度來加強雙重或更高重備份，并且給出衰減或者激增信號的不同排布，進行硬件冗余信號的建立。

3 主要結果

文獻[10]基于LMI，給出如下引理：

引理對于如下系統(tǒng)：

定理 1對于系統(tǒng)（1），存在一個狀態(tài)反饋控制器，當且僅當存在一個對稱正定矩陣X和矩陣W時，使得以下的線性矩陣不等式（LMI）：

成立。如果 LMI（7）存在一個可行解(X,W )，則

）是系統(tǒng)（1）的一個狀態(tài)反饋控制H

∞

器。

證明：

根據引理，閉環(huán)系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的，且滿足條件（2），當且僅當存在一個正定矩陣P，使得：

定理 2對于閉環(huán)系統(tǒng)（4），由LMI式（9）確定的正定矩陣P，以及矩陣W，下列m個優(yōu)化問題有解，其中目標函數為：

約束條件為：

其中， Fi為執(zhí)行器增益波動矩陣。其形式（6）區(qū)間為執(zhí)行器故障增益波動的容忍區(qū)間，則存在一個可行解滿足優(yōu)化問題（12）和（13）。

證明：

獲證。

4 數值仿真

考慮系統(tǒng)（1）其中數值矩陣為：

系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器為（2），若發(fā)生執(zhí)行器增益波動則控制器形式為（5），其中執(zhí)行器增益波動矩陣形式為（6）。

根據定理1，可以設計系統(tǒng)（1）在沒有發(fā)生增益波動情況下的系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器：

圖1 執(zhí)行器增益波動引起H∞指標變化

由此可見，∞H指標在出現增益波動時變化明顯，執(zhí)行器第一條通道的增益波動的容忍區(qū)間為執(zhí)行器第二條通道的增益波動的容忍區(qū)間

由此看出，執(zhí)行器的第一條通道受增益波動相對第二通道波動較平緩，第二條通道受增益波動影響比較急劇，第三條通道衰減增益波動比第二通道增益更加急劇，激增增益波動不明顯。那么，設計者可以根據此數據，減弱執(zhí)行器第一條通道的硬件冗余度，增加第二通道的硬件冗余度，進而提高其可靠性，以保證系統(tǒng)的正常運行，減弱通道發(fā)生增益波動的可能區(qū)間范圍。對于第三通道，減弱其激增增益區(qū)間的硬件冗余度，增加衰減增益的硬件冗余度，以保障第三通道衰減增益的可靠性。根據其重要程度，硬件工程師在選取硬件冗余時，3個通道的硬件重要性應為：第三通道衰減增益＞第二通道增益＞第一通道增益＞第三通道激增增益。

5 結論

在實際的控制系統(tǒng)中，執(zhí)行器硬件結構設計的可靠性尤為重要，在保持系統(tǒng)本身性能不受影響的前提下，執(zhí)行器不同信號通道容許信號波動的范圍是不同的，也就是說執(zhí)行器的每條通道增益波動對系統(tǒng)的影響是不一樣的。本文給出了執(zhí)行器各通道增益波動的容忍區(qū)間的概念及其含義。執(zhí)行器第i條通道增益波動的容忍區(qū)間越小，說明此條通道出現增益波動時對系統(tǒng)的影響較大，即該條通道需要的硬件冗余越大；容忍區(qū)間越大，則反之。同時本文提供了在H∞指標問題中第i條通道增益波動的容忍區(qū)間計算方法，執(zhí)行器硬件設計者可以根據執(zhí)行器每條通道增益波動的容忍區(qū)間，判斷出每條通道對系統(tǒng)的重要性，以重要程度大小來加強該通道的硬件冗余度，用以加強系統(tǒng)硬件設計的可靠性。數值仿真說明了此算法的可行性及重要性。

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