簡(jiǎn)單樹(shù)的結(jié)構(gòu)矩陣及應(yīng)用

張景曉

(德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東德州 253023)

1 簡(jiǎn)單樹(shù)及其結(jié)構(gòu)矩陣

1.1 簡(jiǎn)單樹(shù)的規(guī)范化形式及其結(jié)構(gòu)矩陣

定義設(shè)G是滿足條件Δ(G)≤4的樹(shù)，則稱G是簡(jiǎn)單樹(shù)，其中Δ(G)是G的最大度。設(shè)G是簡(jiǎn)單樹(shù)，G中最長(zhǎng)的鏈叫主鏈，連接主鏈兩側(cè)的鏈叫側(cè)鏈，把圖的主鏈橫寫在同一直線上，側(cè)鏈垂直地連接在主鏈的兩側(cè)，并且約定側(cè)鏈離主鏈端點(diǎn)最近的一端在左方，較遠(yuǎn)的一端在右方;當(dāng)圖的節(jié)點(diǎn)處只有1條側(cè)鏈時(shí)，將該側(cè)鏈連接在主鏈節(jié)點(diǎn)的上方;當(dāng)圖的節(jié)點(diǎn)處接有2個(gè)側(cè)鏈時(shí)，較長(zhǎng)的側(cè)鏈接在該節(jié)點(diǎn)的上方，較短的側(cè)鏈接在節(jié)點(diǎn)的下方，滿足以上條件的圖叫規(guī)范圖。

根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的需要，可給規(guī)范圖的頂點(diǎn)賦予權(quán)值，權(quán)值可以是任意實(shí)數(shù)，如取每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度為其權(quán)值，得如圖1的賦權(quán)圖。

圖1 賦權(quán)圖

按照頂點(diǎn)賦權(quán)圖的原樣給出的矩陣(注意空白處用0填充)

叫做圖G的結(jié)構(gòu)矩陣。

1.2 結(jié)構(gòu)矩陣的一般化數(shù)學(xué)描述

為便于一般性理論研究和結(jié)果的推廣，下面對(duì)結(jié)構(gòu)矩陣給出一般性描述。

設(shè)

是某一m行n列的簡(jiǎn)單樹(shù)的結(jié)構(gòu)矩陣，其中A的第0行對(duì)應(yīng)于圖的主鏈，主鏈上方的行依次定義為第1，2，…，s行，主鏈下方的行依次定義為矩陣A的第－1，－2，…，－t行。用αi=(ai1，ai2，…，ain)表示矩陣 A 的第 i個(gè)(i= －t，－t+1，…，0，1，2，…，s)行向量，βj=(asj，as－1j，…，a0j，a－1j，a－2j，…，a－tj)T，表示A的第j(j=1，2，…，n)個(gè)列向量。分別表示矩陣A的行向量 αi和列向量 βj的1范數(shù)。

2 利用結(jié)構(gòu)矩陣預(yù)測(cè)鏈狀化合物的理化性質(zhì)

以鏈烷烴的色譜保留指數(shù)的預(yù)測(cè)為例。由于鏈烷烴的分子骨架圖就是滿足條件的簡(jiǎn)單樹(shù)圖，因此可以根據(jù)系統(tǒng)命名原則，參照結(jié)構(gòu)矩陣的書(shū)寫規(guī)則，給出相應(yīng)的分子結(jié)構(gòu)圖的結(jié)構(gòu)矩陣，如2，4－二甲基戊烷，其隱氫圖為

為便于更廣泛和更深入地利用圖的結(jié)構(gòu)矩陣來(lái)研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)與性能的關(guān)系，考慮到不同原子對(duì)物性的影響，取分子骨架圖頂點(diǎn)原子的原子序數(shù)為其頂點(diǎn)的權(quán)值，根據(jù)分子拓?fù)鋵W(xué)理論，不會(huì)影響結(jié)構(gòu)與物性的研究，但能達(dá)到區(qū)分原子類型的目的。由于碳原子的原子序數(shù)是6，故化合物2，4－二甲基戊烷的賦權(quán)圖為

按照賦權(quán)圖的原樣給出結(jié)構(gòu)矩陣:

根據(jù)以上討論，下面列出部分鏈烷烴的分子結(jié)構(gòu)式及結(jié)構(gòu)矩陣，見(jiàn)表1。

表1 部分鏈烷烴的規(guī)范化分子結(jié)構(gòu)圖及其結(jié)構(gòu)矩陣

鏈烷烴分子的結(jié)構(gòu)矩陣是分子結(jié)構(gòu)圖原樣的量化，它相當(dāng)于分子結(jié)構(gòu)圖的一張數(shù)碼照片，結(jié)構(gòu)矩陣的行數(shù)、列數(shù)反映了物質(zhì)分子的整體規(guī)模，是對(duì)分子大小的宏觀描述，結(jié)構(gòu)矩陣的行向量列向量的1范數(shù)是對(duì)分子支化程度從縱橫不同方向的細(xì)化描述，同時(shí)由于組成矩陣的行列向量的元素不同，所以矩陣的行列向量也反映了構(gòu)成物質(zhì)的原子類型以及連接各支鏈的空間方位的信息量。因此完全有理由將分子結(jié)構(gòu)矩陣的行數(shù)m、列數(shù)n以及行、列向量的1范數(shù)pi，qj作為分子的結(jié)構(gòu)信息指數(shù)。

根據(jù)30種鏈烷烴的結(jié)構(gòu)矩陣，計(jì)算了矩陣的行數(shù)列數(shù)，以及矩陣行列向量的1范數(shù)列入表2。然后借助于SPSS軟件剔除線性相關(guān)向量，由表2所列鏈烷烴的結(jié)構(gòu)信息指數(shù)與其色譜保留指數(shù)實(shí)驗(yàn)值RIexp關(guān)聯(lián)，進(jìn)行多元線性回歸，得以下回歸方程:

其中:n=30是樣本點(diǎn)數(shù);r=0.999是復(fù)相關(guān)系數(shù);s是標(biāo)準(zhǔn)偏差;F=1 089.293為 Fischer檢驗(yàn)值。利用式(1)計(jì)算了30種鏈烷烴的色譜保留指數(shù)(見(jiàn)表2 RIcal)，實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值吻合的非常好。

由以上預(yù)測(cè)結(jié)果及預(yù)測(cè)統(tǒng)計(jì)量表明，本文所建立的簡(jiǎn)單樹(shù)圖的結(jié)構(gòu)矩陣簡(jiǎn)單實(shí)用，可用于結(jié)構(gòu)與物性的相關(guān)性研究，因此拓展了圖論應(yīng)用的新思路。

表2 30種鏈烷烴的結(jié)構(gòu)信息指數(shù)及其色譜保留指數(shù)

［1］王樹(shù)禾.圖論［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［2］劉纘武.應(yīng)用圖論［M］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社，2006.

［3］謝善梅.拓?fù)渲笖?shù)與烷烴色譜保留指數(shù)的定量相關(guān)性研究［J］.化學(xué)學(xué)報(bào)，2006，64(21):106 －109.

［4］許祿.應(yīng)用化學(xué)圖論［M］.北京:科學(xué)出版社，2000.

［5］鄧輝文.離散數(shù)學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010.