有結構不確定的時延多智能體系統一致性

張 順，楊洪勇

（魯東大學 信息科學與工程學院，山東 煙臺 264025）

所謂多智能體系統的一致性，是指隨著時間的演化，一個多主體系統中所有主體的狀態趨于一致[1]。對于多智能體系統的建模，Reynolds提出了Boid模型[2]，但該模型的一些基本規則要求限制較多。Vicsek等人從統計力學角度提出了一個經典模型模擬粒子涌現的一致性現象。Jadbabaie等人最早對Vicsek提出的模型用矩陣方法進行了理論分析[3]。Olfati-Saber等人比較詳細地提出了一致性問題的理論框架，并給出了基本的一致性協議，得到了多智能體系統取得平均一致的條件，而且分析了網絡拓撲切換和系統存在時延的情況，給出了時延相關的一致性收斂條件[4]。Ren和Beard等人[5-7]同樣考慮了一致性的基本問題，對一致性協議從連續時間和離散時間方面進行了描述，并且給出了時變拓撲平衡狀態分析。

本文主要是采用LMI方法對具有時變結構不確定性的二階時延多智能體系統的一致性進行分析，為獲得相對較低的保守性，引入自由權矩陣的思想，得到了系統取得一致的判據。

1 問題描述

1.1 圖論基礎

假設對于兩個節點 i≠j，若存在下標集合{k1，k2，…，kl}，且 aik1＞0，ak1k2＞0， …，ak1j＞0 則稱節點 i和節點 j之間存在一條有向連通路徑。若對于圖G中任意兩個節點之間都存在至少一條有向連通路徑，則稱圖G為強連通圖。

1.2 一致性協議

用 xi（t）表示智能體的位置，vi（t）表示智能體 i的速度，假定任意智能體的狀態方程為：

其中 k1＞0 為速度的控制增益，Δaij（t）為多智能體系統時變結構不確定性，τ（t）為兩個智能體之間的有界時變時延且滿足：

其中時延上界h＞0。當且僅當任意智能體i，j狀態方程滿足條件（4）時，稱控制協議（2）漸近可解二階智能體系統（1）的一致性問題：

則有結構不確定性的二階時延多智能體系統的狀態方程可表示成如下矩陣形式：

引理1[9]給定具有適當維數的矩陣Q=QT，H，E則有：

對所有滿足 FT（t）F（t）≤I的 F（t）都成立的充要條件是存在一正數ε＞0使得下式成立

2 主要結論

對于時延滿足式（3）有強連通拓撲結構的時變結構二階時延多智能體系統：

則采用一致性協議（2）的多智能體系統（7）能夠漸近實現平均一致，其中

證明：分成兩步來證明，首先考慮無結構不確定性的二階時延多智能體系統，即狀態方程和控制協議滿足

故如果 Ψ ＞0 且 [I]＜0，對于充分小 ε 的有V˙（t，ξ）≤-ε‖ξ（t）‖2。滿足時延約束（2）時，系統（16）是漸近穩定的。而利用shur補定理，得到 [I]＜0 與

等價。

然后，在此基礎上考慮系統（7），用 B′=-（L+Lc（t））?U=-（B+DF（t）Eb），替代（22）式中的 B，其中 D，Eb為常數矩陣，F（t）為未知的時變矩陣，且滿足?t＞，FT（t）F（t）＜I對應的式（22）變為

應用引理1，式（24）成立的一個充要條件是存在一個正數使得下邊式（25）成立

應用 shur補，式（25）等價于式（11）。

3 實例仿真

考慮如圖1所標4個智能體組成的系統的強連通拓撲結構圖，假定無結構不確定性的鄰接矩陣取值為0，1。

圖1 四智能體不同的拓撲結構形式Fig.1 Topology map of 4 agents

對圖1中Ga所示的拓撲結構，采用控制協議（2）的二階系統（1）仿真，令k1=2，取智能體間通信時延均為τ=0.3，初始狀態位置 x（0）=[50-40-20 30]T，速度 V（0）=[3 2 4 8]。 根據定理1，可以知道，該具有結構不確定性的二階時延多智能體系統最終會趨于穩定在圖1所示拓撲基礎上人為加入時變不確定性，拓撲為Ga的四智能體系統的各個智能體的位置變量和速度變量的演化仿真過程如下：

圖2 多智能體系統一致性位置與速度與時間關系圖Fig.2 Simulation of states of 4 agents

可以看到，各個智能體隨著時間的變化位置（圖2（a））趨向于某一固定值，速度（圖2（b））收斂于 0。對于圖1中拓撲Gb和其他未描述的拓撲結構，經過實驗驗證，得到類似結果；另外，對于在時延上界范圍內的不同時延，也得到了類似的結果。

4 結 論

本文采用了時域分析方法研究了具有時變結構不確定性的時延二階多智能體系統穩定性，主要用LMI方法進行了分析，并在推導證明結論過程中引入了具有較低保守性的自由權矩陣思想，而且考慮了系統實際應用過程中可能存在的結構不確定性的因素，得到了相關穩定性判據。

[1]楊文，汪小帆，李翔.一致性問題綜述[C]//第25屆中國控制會議，2006：1482-1486.

[2]Reynolds C W.Flocks，herds，and schools：a distributed behavioral model[J].Computer Graphics，1987，21（4）：25-34.

[3]Jadbabaie A，JIE L，MORSE A S.Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48（6）：988-1001.

[4]Olfati-Saber R，Murray R M.Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49（9）：1520-1533.

[5]WEI Ren，Beard R W.Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50 （5）：655-661.

[6]REN Wei.Multi-vehicle consensus with a time-varying reference state[J].Systems and Control Letters，2007，56 （7-8）：474-483.

[7]WU Min，HE Yong，SHE Jin-hua，et al.Delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems[J].Automatica，2004，40（8）：1435-1439.

[8]PENG Lin，JIA Ying-min.Consensus of a class of secondorder multi-agentsystems With time-delay and jointly-connected topologies[J].Automatic Control，IEEE Transactions on，2010，55（3）：778-784.

[9]Petersen I R，Hollot C V.A riccati dquation approach to the stabilization of uncertain linear systems[J].Automatica，1986，22（4）：341-397.