單向不規則波群的實驗室模擬和分析

劉 思，柳淑學，李金宣，俞聿修

（大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，大連116024）

波群現象對于海洋工程和海岸工程具有重要意義。波群模擬的研究是與波群有關的物理和數值模型實驗的前提。目前，關于隨機波群的模擬研究還不成熟。Funke和Mansard［1］提出的以給定波群因子GF為波浪群性控制參數來模擬波群，但其只是就波群的高度特征而言。而事實上具有同一波群因子的波群可具有大小不同的波群長度特征。波群的高度和長度是波群特征的2個方面，這2個方面的特征都是海洋工程所關心的。Xu等［2］將波包譜的概念用于波群模擬中，建立了以給定波譜和波包譜為靶譜的波群模擬方法，認為波群特征可由波譜和波包譜兩者決定，試圖兼顧波群的高度和長度兩方面特征來模擬，然而，其方法并未給出可供實用的波包譜，所建議的波群特征參數也不夠合理，故該方法在應用上有一定的局限性，有待改進。在此基礎上，俞聿修和桂滿海［3］建議了合適的波群特征參數，首次提出了風浪波包譜的經驗公式，在水槽中模擬出滿足群高參數GFH的波群，但其依據的波包譜實測資料較少，還需進一步驗證和改進。為此，作者收集了更多的實測波浪資料［4］，通過對實測波浪的群性特征參數的相關性進行分析，得到一個可反映天然海浪的波包能量分布的波包譜經驗公式。

本文基于作者對海浪波包譜的研究成果［4］，同時采用群高參數GFH和群長參數GLF來表征波浪的群性，以波譜和波包譜為靶譜，建議了單向不規則波群的物理模擬方法，使模擬的波浪既滿足給定的波群群性高度要求，也滿足波群長度要求。

1 不規則波群的數值模擬

海浪可看作一平穩隨機過程，它可由多個不同周期和不同隨機初位相的余弦波疊加而成

式中：隨機相位εi為［0，2π］內均勻分布的隨機數［5］；ωi為各組成波的頻率；各組成波振幅 ai由給定的波浪頻譜確定，即

式中：s（ω）為頻譜；Δωi為頻率劃分間隔。

對實測波浪資料進行波包譜分析［4］發現，具有不同群性的波浪其波包譜差別很大，而其頻譜基本相同。這說明波群模擬只模擬波浪頻譜是不夠的，還需要另一個譜或參數來模擬相位譜，事實上，海浪的波包譜包含了波群的重要信息。

Funke和Mansard［1］建議用瞬時波能過程線SIWEH來模擬相位譜，但是其只采用了表征群高特征的參數GF。文中用波包來描述波群，用波包譜作為靶譜來模擬相位譜。模擬中，以合田改進的JONSWAP譜［6］作為頻譜的靶譜，以作者建議的適于風浪的改進的波包譜［4］作為波包譜SA（f）的靶譜，即

式中：m0η為波譜的零階矩；fP和fPA分別為波譜的峰頻與波包譜峰頻。分別為表征波浪群性高度和長度的參數，稱為群高和群長參數［4］。式中σA和分別為波包線的方差和均值，可見，該公式包括群高與群長兩方面的因素，模擬中可通過給定不同的波包靶譜參量GFH和GLF來控制波浪的群高和群長特征。

為了在試驗水槽中產生所要求群性的波浪，首先給出采用上述波包譜數值模擬不規則波波群的方法，其基本模擬過程如下：

（1）采用JONSWAP譜和上述式（3）和式（4），計算給定波要素和群性參數下的波浪頻譜Sη（f）和波包譜SA（f）；由式（1），分別以Sη（f）和SA（f）為靶譜按不規則波浪的數值模擬方法產生隨機波列η′（t）和ηA（t）；

（2）計算波包線A1（t）=ηA（t）+1，其中，m0η為頻譜Sη（f）的零階矩；

（4）最后，由波包線和相位函數可構造出波列η1（t）=A1（t）cos[ φ（t]）。

可以看出，此方法的基本出發點是給定一波譜后，通過給定群高參數和群長參數，利用式（3）和式（4）就可得出一個相應的波包譜，再利用波譜和波包譜可構造出波包線和相位譜，進而就可模擬出滿足給定波譜和波包譜要求，亦即滿足波要素和群性要求的波列。注意到，模擬中雖不是嚴格地模擬不規則波列，但波浪的相位譜由波包譜控制，使得模擬的波列滿足給定的群高和群長要求。此外，計算中1和φ（t）使得波列η1（t）的波能量和平均波周期與η′（t）相同，符合波浪參數的模擬要求。

為了說明上述模擬方法的有效性，作為示例，圖1給出了GFH=0.7，GLF=10時模擬所得頻譜、波包譜與相應目標譜的比較以及模擬的波面和相應的波包線，其中波譜為JONSWAP譜，波浪的有效波高H1/3=0.07 m，有效周期TH1/3=1.5 s，JONSWAP譜的譜峰升高因子γ=3.3，水深d=0.5 m。由圖1可以看出，模擬波浪的頻譜、波包譜與給定的頻譜和波包譜基本一致，結果是比較理想的。大量模擬實例表明，按照上述方法，如果波要素和波群參數GFH和GLF給定，即可模擬得到同時滿足給定波群群高和群長兩方面要求的不規則波群。

2 不規則波群的實驗室模擬

在實驗室中產生不規則波波群，即模擬可以控制波浪群性的波浪，對波浪與海洋工程結構物的作用及波群特性的研究都非常重要。文中在上述數值模擬不規則波群方法的基礎上，提出了可在試驗水槽內指定位置產生滿足群性要求不規則波波浪的方法。

2.1 實驗設備和波浪條件

試驗在大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室波浪水槽中進行。波浪水槽長50 m，寬3.0 m，深1.0 m。水槽配備有自行研制的不規則波造波系統，水槽的末端設有消能坡以吸收波浪。試驗布置見圖2。

模擬實驗中，確定在距造波機x=24 m處產生所要求群性的波浪，為了研究波浪在水槽傳播過程中波浪群性的變化特性，同時在距造波機5 m、13 m和18 m處布置浪高儀用于波浪的觀測以分析波浪的傳播特性。

試驗水深d=0.5 m。考慮到波包譜的峰頻值很小，波浪參數尤其是群性參數的統計穩定性受波浪歷時長度的影響較大［7］，為了保證分析的準確性，采樣長度取16 384個點，采樣間隔0.02 s。為便于考察海浪波包譜與群性特征的關系，每次模擬中，給定相同的波浪要素：有效波高H1/3=0.07 m，有效周期T1/3=1.5 s。即在頻譜一定的條件下，通過改變不同的群性參數GFH與GLF的大小，模擬具有相同的頻譜，但群性不同的波列。需要強調的是，這里GFH與GLF的選取參考式（4）取值。

2.2 不規則波群造波板控制信號計算方法

實驗室模擬波群時，不僅要求水槽指定位置處的波面具有給定的波譜特性，同時要具有給定的群性。在實驗水槽指定位置處模擬不規則波群波浪的造波機控制信號可由前述數值模擬結果得到。即首先根據給定的波浪及波群參數，通過前述的數值計算方法，得到滿足要求的數值波面過程，由此可按下述方法得到在指定位置產生所要求波浪的造波機控制信號。

將隨機波數值模擬信號轉化為造波板控制信號，是把造波板的運動和它產生的波浪看作一線性系統的輸入和輸出，以h（t）代表該系統的脈沖響應函數，以η（t）和ζ（t）分別代表指定位置處產生波浪的波面和造波板的位移，則有

對式（5）兩側作Fourier變換得

式中：H（f）是與h（t）的傅里葉變換，稱為系統的頻率響應函數，可以進一步寫成

式中：x為水槽指定位置距造波板靜止（中心）位置的距離。對于直立推板式造波機系統，產生波面的振幅a與造波板沖程e有如下關系［8］

式中：k為波數，它通過色散關系式

與頻率f相聯系。

由式（7）～（11）可計算出系統的頻率響應函數，然后依式（6）由H（f）和Fη（f）計算Fζ（f），再對Fζ（f）進行Fourier逆變換即可得到造波板控制信號ζ（t）。

另外，由于造波機造波性能的誤差，采用上述方法產生波浪的波浪頻譜和波包譜以及群性參數GFH和GLF等與給定的目標值會有一定的誤差，當此誤差超出誤差控制范圍時，需要對給定的信號進行修正。具體修正的方法是根據水槽內實測波浪的頻譜和波包譜與相應的目標譜比較，確定修正系數譜，即針對不同頻率的修正系數，該系數譜與目標的頻譜或波包譜相乘作為輸入的譜，采用上述步驟重新計算可以得到修正的造波信號，之后采用新的造波信號重新造波，并采集數據分析。一般上述修正重復2～4次，可得到滿意的波浪。

2.3 實驗模擬波浪結果和分析

采用上述方法在實驗水槽產生波浪，模擬不規則波波群波浪的位置為x=24 m。圖3和圖4分別給出GLF=15時GFH=0.5和0.9的實驗模擬結果。圖5給出GFH=0.9時GLF=25的模擬結果。同時，表1給出模擬波浪的統計分析結果，其中GF和［4］分別是基于波群研究的波能過程線法和連長方法定義的群性特征參數，m0η和m0A分別是模擬波浪的計算波譜和波包譜的零階矩。

表1 x=24 m處實驗模擬波浪的特征量和群性參數（H1/3=0.07 m，T1/3=1.5 s）Tab.1 Wave parameters and groupiness factors for experimentally simulated waves at x=24 m（H1/3=0.07 m，TH1/3=1.5 s）

從圖3～圖5和表1可以看出，模擬結果是比較理想的，即模擬實測波浪的頻譜和波包譜與相應的靶譜基本一致，模擬的每組波浪滿足給定波要素的同時，群高參數與群長參數的實測分析值也基本接近于目標值。按照給定的群高和群長參數，模擬得到的波面表現出相應的群性特征。因此，按照文中建議的模擬方法，可在水槽指定位置處產生同時滿足給定波浪參數以及群高和群長要求的波浪。

從以上模擬實例還可以看出，參數GFH和GLF是如何由波包譜來控制不規則波群的群高和群長的。在頻譜一定的條件下，一方面，給定相同GFH時，隨GLF的增大，波包靶譜面積基本不變的同時峰頻減小，波包變得平坦，換句話說，隨GLF的增大，群長確實增大（表1）。另一方面，給定相同GLF時，隨GFH的增大，波包譜面積增大，峰頻不變，波包線的波動幅度增大，也就是說，隨GFH的增大，群高有明顯的差異。可見，正如所預期的，GFH與GLF分別表征波群的高度特征和長度特征。值得注意的是，盡管這2個參數的相關性不大，但如同波要素中波高和周期的關系一樣，二者有一定的相關關系。依實際模擬的經驗，按照式（4），即GFH值小于0.7時，GLF值取5～15，GFH值大于0.7時，GLF在10～28范圍內取值，可在實驗水槽中模擬出同時滿足給定群高和群長要求的不規則波浪。

但需要指出的是，從圖3可以看出，當GFH較小，而GLF取較大值時，波包靶譜的峰頻減小，波包能量分布范圍變窄，此時實測波浪的波包能量在低頻段會相應的增大，同時由于高頻波浪的影響［9］，在高頻段實測波包能量會比目標譜值偏大，從而導致GFH計算值比目標值偏大（表1）。但是，就含主要能量的頻帶而言，實現的波包譜與其波包靶譜的符合程度是令人滿意的。此外，為保證計算精度，特別是GLF計算值的準確性，需要強調計算中頻率間隔Δf必須足夠小，文中估計譜時的頻率分辨率為0.003 05 Hz。

還需要指出的是，文中模擬方法雖然認為所考察的過程是非正態的，但是，在模擬方法建立的過程中近似應用了某些正態過程的理論結果。而在這個波面位移是正態分布的假定下，m0A/m0η=0.43，其中m0A和m0η分別為波包譜和頻譜的零階矩，對應地，GFH=0.74。這意味著實際正態分布的波面過程，GFH不應與0.74差別太大。例如，從表1可以看到，當給定GFH=0.4，GLF=5時，試驗分析結果與目標值偏離較大。

此外，從表1統計結果可以看到，模擬所得波浪的群高越大，有效波高值越大。這是由于同樣的頻譜條件下，群高大的波浪其波包線的波動幅度較大，這種波浪能量分布的變化使得其有效波高值相對較大。

實驗中，為考察波浪在水槽傳播過程中其群性的變化，采用上述方法，在水槽x=5 m模擬所要求的波浪，在離造波機13 m、18 m和24 m處分別放置浪高儀觀測波浪（圖2）進而分析波浪統計特征。圖6給出參數GFH和GLF隨波浪傳播的變化情況。可以看出，對大多實驗組次，群高和群長都會沿程變化，在指定截面處表現出明顯不同的群性差異，滿足模擬要求。隨波浪繼續傳播，其群性差異逐漸減小，GFH值逐漸接近。由此可知，不同于一般隨機波浪的物理模型實驗，在進行考慮波群的實驗時，須在指定位置產生所要求群性的波浪，波浪在傳播過程中，由于諧波的調制作用，波浪的群性會趨于某一有限的范圍。需要指出的是，這里給出的是波浪在平底水槽傳播過程中群性的變化情況，而當波浪在淺水中傳播時，伴隨非線性作用的增大和破碎的發生，波浪群性的變化情況及其原因為何，對此問題Mase和Iwagaki［10］以及近年來Dong和Ma［11］等進行了研究，關于這方面的探討是文中下一步研究內容。

3 結語

應用文中建議的方法成功地實現了不規則波群的群高和群長兩方面的模擬要求，模擬程序簡單實用，其中波群參數GFH和GLF的取值原則是依據實際模擬的經驗給出的，可供參考。在進行考慮波群的實驗時，不同于一般隨機波浪的物理模型實驗，需在指定位置產生所要求群性的波浪。從而，實驗室模擬隨機波浪時在滿足波高、周期相似的同時，可以作到波群相似，這對于系泊浮體和斜坡護面穩定性等方面的試驗研究具有重要的意義。

［1］Funke E R，Mansard E P D.On the synthesis of realistic sea states in laboratory flume［C］//National Research Council Canada and NRC Canadian Hydraulics Centre.Proceedings of the 17th International Conference on Coastal Engineering.Sydney：ASCE，1980.

［2］XU D L，HOU W，ZhAO M，et al.The statistical simulation of wave groups［J］.Applied Ocean Research，1993，15：217-226.

［3］俞聿修，桂滿海.波群的數值模擬和物理模擬［J］.大連理工大學學報，1998，38（1）：86-91.YU Y X，GUI M H.Numerical simulation and physical simulation of sea wave groups［J］.Journal of Dalian University of Technology，1998，38（1）：86-91.

［4］劉思，柳淑學，俞聿修.改進的海浪波包譜［J］.水道港口，2010，31（4）：229-235.LIU S，LIU S X，YU Y X.An improved wave envelope spectrum［J］.Journal of Waterway and Harbor，2010，31（4）：229-235.

［5］俞聿修.隨機波浪及其工程應用：增訂版［M］.大連：大連理工大學出版社，2000.

［6］Goda Y.A comparative review on the functional forms of directional wave spectrum［J］.Coastal Engineering，1999，41（1）：1-20.

［7］劉思，柳淑學，俞聿修，等.基于小波變換法定義的波群參數［J］.海洋學報，2010，32（2）：148-154.LIU S，LIU S X，YU Y X，et al.Wave groupiness factors defined by wavelet transform［J］.Acta Oceanologica Sinica，2010，32（2）：148-154.

［8］孫昭晨.推搖混合式造波機理論曲線［J］.中國港灣建設，1988（4）：30-32.SUN Z C.Theory curve of mixed pusher-rocker flap wavemaker［J］.China Harbour Engineering，1988（4）：30-32.

［9］Cherneva Z，Velcheva A.Wave group analysis based on phase properties［C］//MEDCOAST.Proceedings of the First International Conference on the Mediterranean Coastal Environment.Turkey：［s.n.］，1993.

［10］Mase H，Iwagaki Y.Evolution of wave groups in shallow waters and wave group properties of random waves［J］.Coastal Engineering in Japan，1987，30：19-32.

［11］DONG G H，MA Y X.Laboratory study of groupiness evolution of irregular waves on a mild slope beach by wavelet［J］.Current Development in Theory and Application of Wavelets，2009，3：81-95.