多尺度柔性形態濾波在軸承故障診斷中的應用

楊杰，鄭海起，劉曉平，王彥剛

(石家莊軍械工程學院，石家莊 050003)

滾動軸承存在局部缺陷時，其振動信號中的

脈沖信號含有豐富的缺陷信息。若能夠有效地將缺陷引起的脈沖信號提取出來，便可診斷出缺陷存在的部位[1]。

形態學濾波器作為一種非線性濾波器，可以有效地提取信號的邊緣輪廓以及形狀特征，克服了線性濾波的不足。目前，形態濾波在旋轉機械振動信號濾波方面已經有一定的應用[2]，但是經典的形態學濾波在取單一結構元素的情況下存在缺陷[3]，因此各種針對結構元素的改進算法相繼出現，如基于權重的形態學運算[4]、多尺度結構元[5]和結構元的自適應優化算法[6]等。

文獻[7]提出了柔性形態學(Soft Mathematical Morphology)的概念，研究表明柔性形態學對加性噪聲和信號的微小變化不敏感，能同時去除信號中的正負噪聲，并保留細節。文獻[8]比較了柔性形態濾波(Soft Morphological Filter，SMF)和小波包的濾波效果，表明SMF在診斷外圈故障和滾動體故障時的優越性。

在此提出了一種多尺度柔性形態濾波(Multi-scale Soft Morphological Filter，MSMF)方法，并將其應用于軸承故障診斷。

1 數學形態濾波

1.1 基本形態運算

數學形態學的基本運算包括腐蝕、膨脹、開運算和閉運算。設一維信號f(n)為定義在F=(0,1,…,N-1)上的離散函數，結構元素g(n)為定義在G=(0,1,…,M-1)上的離散函數，且N≥M，則g(n)對f(n)的腐蝕和膨脹運算分別定義為

(fΘg)(n)=min[f(n+m)-g(m)],

(1)

(f⊕g)(n)=max[f(n-m)+g(m)],

(2)

式中：m∈(0,1,…,M-1)。

g(n)對f(n)的開運算和閉運算分別定義為

(f°g)(n)=(fΘg⊕g)(n),

(3)

(f·g)(n)=(f⊕gΘg)(n)。

(4)

通常開、閉運算用于構成各種形態濾波器，而它們本身就是最基本的形態濾波器，且以不同的方式平滑信號。開運算可抑制信號中的正噪聲；相反，閉運算可抑制信號中的負噪聲。

1.2 柔性形態濾波

在柔性數學形態學中，結構元素被分割成硬核和柔性邊緣兩部分，經典形態算子中的最大最小運算在柔性形態算子中被排序統計所代替，且最主要的思想是引入了定義一種重復集。

柔性形態學的結構系統由[B，A，k]3個參數組成，有限集A和B為定義在Z上的凸集，k滿足于1

{k<>f(a)}={f(a),f(a),…,f(a)}，

式中：k為正整數，且1≤k≤min{|B|/2,|BA|}，a∈B。

[B，A，k]對f的腐蝕和膨脹分別定義為

fΘ[B,A,k](x)=min(k){k<>f(a):a∈Ax}∪

{f(b):b∈(BA)x},

(5)

f⊕[B，A，k](x)=max(k){k<>f(a):a∈Ax}∪

{f(b):b∈(BA)x},

(6)

其中，min(k)表示取第k小的值，同理max(k)表示取第k大的值。當k=1時，柔性形態變換與經典形態變換相同；當|A|=0時，柔性形態變換與順序形態變換相同。

設A，B的映像集分別為AS，BS，則結構元素[B，A，k]對f進行形態開和形態閉運算定義如下

f°[B,A,k]=(fΘ[B,A,k])⊕[BS,AS,k],

(7)

f·[B,A,k]=(f⊕[B,A,k])Θ[BS,AS,k]。

(8)

由以上定義可知，在柔性形態學運算中，落入到硬核區域中的信號數據權重較大，而落入到軟核區域中的信號數據權重較小。因此，和標準形態學運算比較，柔性形態學運算具有更好的保持細節和抗噪聲功能[9]。

2 多尺度柔性形態濾波

2.1 多尺度形態學

多尺度運算是一個由粗到細的多層次描述和處理方法，如同人的感知過程，先通過對大范圍特征進行粗分析，再通過捕捉細節使分析越來越精細，最后獲得對感知對象的準確認識。在具體實施過程中，其采用不同尺寸的結構元素對信號進行變換。

假設給定了形態運算T和信號X，則基于T的多尺度形態學運算可定義為一族形態學變換{Tλ|λ>0}，其中Tλ定義為

Tλ(X)=λT(X/λ),λ>0,

(9)

式中：λ>0為刻度，即可推導出多尺度膨脹、腐蝕、開和閉運算分別為

(fΘg)λ(n)=fΘλg1/λ(n),

(10)

(f⊕g)λ=f⊕λg1/λ(n)，

(11)

(f°g)λ=f°λg1/λ(n)，

(12)

(f·g)λ=f·λg1/λ(n)，

(13)

式中：g1/λ(n)=g(n/λ)。若結構函數取凸函數，隨著刻度的增大，多刻度運算會濾去信號更大的變化，使信號越來越簡單。

2.2 多尺度柔性形態濾波

將柔性形態學中的硬核A進行多尺度化，即實現了多尺度柔性形態運算，其膨脹和腐蝕分別定義為

{fΘ[B,A,k]}λ(x)=min(k){k<>λf(a/λ):a∈Ax}∪{f(b):b∈(BA)x},

(14)

f⊕[B,A,k](x)=max(k){k<>λf(a/λ):a∈Ax}∪{f(b):b∈(BA)x}。

(15)

由此可推導出開運算和閉運算的表達式，這里不再贅述。MSMF對SMF中的核結構元素多尺度化使得形態運算更加靈活，從而達到進一步改善形態濾波器性能的目的。

3 在軸承故障診斷中的應用

在某型單級齒輪箱上進行試驗驗證。在該系統中，由電動機帶動輸入軸，輸出軸帶動負載。主動齒輪齒數Z1為30，被動齒輪齒數Z2為50，輸入端滾動軸承型號為6206，局部損傷故障分別在鋼球、內圈和外圈表面采用電火花機加工制作，損傷直徑為0.178 mm。試驗時采樣頻率fs為12 800 Hz，采樣時長為1 s，轉速為1 136 r/min，計算可得內圈故障的特征頻率為102.5 Hz，外圈故障的特征頻率為67.9 Hz，鋼球故障的特征頻率為89.2 Hz。

測得軸承故障信號的時域波形如圖 1所示。圖 2是對原始信號直接進行Fourier變換得到的頻譜圖，由圖 2可知，軸承故障特征頻率完全被噪聲所淹沒，無法診斷出任何故障。

圖1 軸承3種故障的原始信號

圖2 原始信號的頻譜圖

選擇結構元素B的長度為20，A的長度為7，k為2，λ為2，取MSMF開和閉運算的平均值，濾波后的時域如圖3所示，頻譜如圖4所示。由圖4可知，經過MSMF濾波后，轉頻及內圈、外圈和鋼球的故障特征頻率及其倍頻清晰可見，從而能診斷出軸承的3種故障。

圖3 多尺度柔性形態濾波時域圖

圖4 多尺度柔性形態濾波頻譜圖

4 與柔性形態濾波的比較

文獻[1]給出了形態濾波解調和Hilbert變換解調比較結果，表明形態濾波解調和Hilbert變換解調相比能獲得更好的信噪比，在此不再贅述。下文以外圈損傷為例對多尺度柔性形態濾波和柔性形態濾波的效果進行比較，對圖 1b所示軸承外圈損傷信號進行柔性形態濾波，A，B，k的取值同上，取開運算和閉運算的平均值，濾波后的時域和頻域如圖5所示。

圖5 柔性形態濾波效果圖

由圖5可知，柔性形態濾波同樣能達到濾除噪聲的目的，但是濾波后信號的幅值明顯降低，說明柔性形態濾波在濾除噪聲的同時也濾除了部分的沖擊脈沖，且濾波后仍有較大噪聲，這為進一步的故障診斷帶來不便，相比之下，多尺度柔性形態濾波在濾除噪聲的同時能更好地保留原始信號中的沖擊成分，因此其濾波效果優于柔性形態濾波的濾波效果。

5 結束語

數學形態濾波作為一種很好的非線性濾波方法在機械故障診斷領域獲得了越來越廣泛的應用，但是經典的形態學濾波由于取單一結構元素，故在濾波效果上存在很大不足，常常會濾除對診斷具有很大價值的脈沖信號。柔性形態學在魯棒性和保留細節方面對經典形態學做了改進，在此基礎上，提出了一種基于多尺度的柔性形態濾波算法，該算法進一步優化了柔性形態運算中的結構元素，目的是更好地提取軸承故障信號的沖擊脈沖。試驗表明，多尺度柔性形態濾波在獲得較高信噪比的同時，比經典的柔性形態濾波能夠更好地保留故障軸承原始信號中的沖擊成分。

除了形態算子的設計影響濾波效果外，結構元素、k和λ值的選擇對結果的影響也較大，針對軸承振動信號如何選取適當的結構元素及其內核的大小以及k，λ值，以獲得更好的處理效果，還有待進一步研究。