基于核實數據的正態總體估計問題探討

宇世航，堵秀鳳，張水勝

(齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

0 引言

關于正態總體參數的估計，在利用準確數據樣本下的統計推斷，是非常經典也非常完善的。然而，在許多實際問題中，準確測得我們感興趣的變量Xi是很困難的，或所需成本很高，或需要花費大量時間。因此通常的辦法是，用可觀測的替代變量來代替，這些替代變量可由一些相對簡單的方法獲得。在一般情況下與Xi之間具有很復雜的關系，例如=φ(Xi,ei)，這里ei是測量誤差且與Xi獨立，φ是一個任意已知的函數。在這種情況下要對未知參數進行有效的統計推斷是相當困難的。一種解決辦法是使用一小部分核實數據撲捉變量與替代變量的關系，基于替代數據和核實樣本的推斷已經引起國內外學者的重視.例如。Sepanski和Lee[1]研究了基核實數據的非線性EV模型；Qihua Wang[2-5]、薛留根[6]等考慮基于替代與核實數據樣本應用到線性和部分線性回歸模型中。本文，考慮替代與核實數據的樣本觀測下，構造正態總體參數估計問題。

1 參數點估計

考慮總體X～N(μ,σ2)，帶有測量誤差的樣本數據是獨立同分布樣本，且與小部分核實樣本相互獨立，V為小部分核實數據的下標集，再令

眾所周知，正態總體均值μ和方差σ2的極大似然估計為：

顯然在替代樣本數據下，此估計可能會存在很大的誤差，下面我們利用小部分核實數據重新修改這兩個參數的估計。這里用條件數學期望作為X的估計，則：

利用核實數據，

定理1

Appendix A

(A?W)：W(?)有有界支撐的非負有界核函數，且 ∫W(u)du=1。

(A?EX2)：EX2＜∞。

有：

定理37]在滿足Appendix A條件下，有：

2 參數區間估計

在大樣本情況下，由定理3知μ的1-α置信度的置信區間為：

設X～N(1, 1)，X=1.5X+δε，其中ε～N(0, 1)，取bn=n-1/4，W(?)為Un(-1,1)的密度函數。核實數據與主要樣本的大小分別取 (n,N)=（10,30），（30,90），（60,180），（10,50），（30,150），（60,300），并在δ=0.35 和δ=0.75 下分別做了5000次重復運算，計算結果見表1和表2。

表1 δ=0.35時均值μ的置信度為95%的置信區間

表2 δ=0.75時均值μ的置信度為95%的置信區間

從表中數據可見，每個置信區間均覆蓋了總體μ的真實值，λ值越大，區間長度越小，并且δ越小，區間長度越小。這種借助核實數據的置信區間，增大了其覆蓋概率和置信精度。

[1] Sepanski.J.H，Lee L.F.Semiparametric Estimation of Monlinear Error-in-variables Models with Validation[J].Nonparametric Statist,1995,（4）.

[2] Q.H.wang.Estimation of Partial Linear Error-in-variables Model with Validation Data[J].J.Multivaiate Anal,1999,(69).

[3] Wang Q.H.Estimation of Linear Error-in-covariable Models with Validation Data under Random Censorship[J].J Multivariate Anal.,2000,（74）.

[4] Wang Q.H.，Rao J.N.K.Empirical Likelihood-based Inference in Linear Error-itovariables Models with Validation Data[J].Bioraetrika,2002,(89).

[5] 王啟華.核實數據幫助下誤差在反映線性模型經驗似然降維推斷[J].中國科學A輯,2004,（5）.

[6] 薛留根.核實數據下非線性半參數EV模型的經驗似然推斷[J].數學學報，2006,(1).

[7] 宇世航.核實數據下均值的估計[J].應用概率統計，2010,（10）.