模態(tài)級數(shù)理論的研究現(xiàn)狀與展望

范強，賈彩勤，高璐，元宵，藏亞平

(1.貴州大學電氣工程學院，貴州 貴陽 550003;2.內(nèi)蒙古東部電力有限公司，遼寧 沈陽 110180;3.河北省電力公司，河北 邯鄲 056000;4.貴州電網(wǎng)公司麻江供電局，貴州 麻江 557600)

1 引言

隨著互聯(lián)電力系統(tǒng)規(guī)模日益增大，其運行越來越接近其傳輸極限水平，使得現(xiàn)今的電力系統(tǒng)成為了一個復雜的強非線性系統(tǒng)，在文獻［1，2］中被稱為重載電力系統(tǒng)(Stressed Power System)，其最大的特點在于系統(tǒng)內(nèi)存在很強的非線性相互作用，即使在小擾動下，系統(tǒng)也會表現(xiàn)出強非線性特性，振蕩模式的非線性相互作用成為影響系統(tǒng)動態(tài)特性和穩(wěn)定性的重要因素［3，4］。對于這種重載電力系統(tǒng)，僅僅依靠傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的理論和方法來研究，將存在很大的局限性。

因此，欲對電力系統(tǒng)動態(tài)行為進行準確分析，就要借助非線性動態(tài)理論中的數(shù)學方法來進行研究。模態(tài)級數(shù)是一個全新的概念，由N.Pariz于2001年在其博士論文中首次提出并應用于電力系統(tǒng)動態(tài)行為分析。文獻［1，2］給出了模態(tài)級數(shù)的基本算法及用于電力系統(tǒng)分析的一般方法，并將其與線性方法、正規(guī)形方法進行電力系統(tǒng)動態(tài)仿真的準確性進行了比較，證明了模態(tài)級數(shù)法可以更準確地表示的非線性特性。這種方法的特點就是推導容易、計算簡單、求解高階解析解時不用求解高維非線性方程。通過研究模式和狀態(tài)變量間的非線性相互作用關系，可以像在小干擾穩(wěn)定分析中尋找不穩(wěn)定根源一樣，求得對系統(tǒng)動態(tài)特性影響較大的狀態(tài)變量［1－2，5］。

2 常用的動態(tài)特性分析方法

電力系統(tǒng)是一個復雜的非線性系統(tǒng)，在干擾的情況下會呈現(xiàn)出復雜的動態(tài)特性。電力系統(tǒng)動態(tài)特性常用的分析方法為時域仿真法、線性模態(tài)分析法和向量正規(guī)形法。

時域仿真法以計算機數(shù)值仿真為基礎，模擬系統(tǒng)在一定擾動下的運行變化情況，能計及系統(tǒng)非線性因素的影響，但難以直接解釋系統(tǒng)復雜動態(tài)特性的實質(zhì)。線性模態(tài)分析利用系統(tǒng)的一階線性近似來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該方法局限于穩(wěn)定工作點附近，在大干擾情況下有較大的誤差［6］。

向量正規(guī)形法是基于泰勒級數(shù)展開，通過非線性向量場的正規(guī)形變換及反變換得到系統(tǒng)的2階近似解析解。但為了獲得正則形，需要進行一次非線性多項式變換，而且為了獲得閉式近似解，在新坐標系下將忽略這些非線性項而得到一個線性系統(tǒng)。而模態(tài)級數(shù)(ModalSeries)法是結合和發(fā)展了線性系統(tǒng)理論的概念和向量場的正則形技術，它不需要使用非線性變換，因此比正則形方法更能準確地表示系統(tǒng)的非線性特性。

3 模態(tài)級數(shù)法［1，2］

3.1 模態(tài)級數(shù)法基礎

一類非線性動力學系統(tǒng)，包括電力系統(tǒng)，可以用下列形式的微分方程表示:

其中，X為N維狀態(tài)向量，F(xiàn):RN→RN是一個光滑向量場，N為式(1)的總階數(shù)。將式(1)在一個穩(wěn)定平衡點XSEP處用泰勒級數(shù)展開，再次使用X和xi作為新的狀態(tài)向量和新的狀態(tài)變量，產(chǎn)生下列表達式:

設系統(tǒng)有N個不同的特征值 λi，j=1，2，…，N，分別用U與V表示矩陣A的右和左特征向量。用變換X=UY得到式(2)的等值微分方程組如下:

3.2 系統(tǒng)狀態(tài)方程的二階解

用模式級數(shù)表示非線性系統(tǒng)可得到式(1)的解，忽略三階及更高階項，系統(tǒng)模式的二階近似解為

用模態(tài)級數(shù)表示非線性系統(tǒng)可以得到如下的解，忽略三次及更高次的項，二次近似響應為:

式中，R'2表示導致二次準諧振的所有三元組(k，l，j);Y0=［y10，y20，…，yN0］T∈? 為Y的初始狀態(tài)。

當觀測到的行為用二次模態(tài)近似不能夠解釋時，還可以使用更高次的模態(tài)近似解。

3.3 非線性交互作用

設λ1，λ2，…，λN為非線性動態(tài)系統(tǒng)的線性模式，由于系統(tǒng)動態(tài)中的非線性，這些線性模式相互作用產(chǎn)生許多交互作用模式，形如m1λ1+m2λ2+… +mNλN，其中，mi∈I，i=1，2，…，N。對零輸入響應，這些模式激勵的程度取決于非線性和系統(tǒng)的初始狀態(tài)［1，4］。

3.4 二階非線性相關因子

為了對模式的性質(zhì)有深入理解，需要確定各個模式與各個系統(tǒng)狀態(tài)變量的相關程度。因此通常用相關因子來評價模式與狀態(tài)變量之間的相關程度。

將求解線性相關因子的作法擴展到非線性系統(tǒng)中，推導出三類非線性相關因子［7］如下:

(1)單個模式非線性相關因子P2ij

它代表了第j個模式與第i個狀態(tài)變量的二階非線性相關作用。第一項為線性相關因子，第二項為擴展到二階非線性后，對線性相關作用的非線性校正程度。

(2)復合模式非線性相關因子P2ikl

它代表了第k個模式與第l個模式所組成的復合模式對(k，l)與第i個狀態(tài)變量的非線性相關程度。這是在線性分析中無法考察的非線性相關作用。

4 模態(tài)級數(shù)法的研究現(xiàn)狀

由于模態(tài)級數(shù)法存在高階非線性解，因此特別適用于對互聯(lián)電網(wǎng)的研究，其主要用途有:在線穩(wěn)定性分析、分析系統(tǒng)的振蕩模式及其交互作用、設計控制器等方面。從現(xiàn)有的資料看，將模態(tài)級數(shù)理論應用到電力系統(tǒng)時所能分析的問題主要集中在以下幾個方面:

4.1 交直流系統(tǒng)的非線性模態(tài)作用分析

在模態(tài)級數(shù)法首次的提出是用在交流系統(tǒng)中，文獻［4］將模態(tài)級數(shù)法應用到交直流系統(tǒng)中，并利用其來研究系統(tǒng)遭受擾動后的動態(tài)行為，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、振蕩模態(tài)以及非線性模態(tài)交互作用以及HVDC的加入對電力系統(tǒng)振蕩模態(tài)的影響。文獻［7，8］研究找出對系統(tǒng)非線性影響較大的關鍵控制器，并結合模態(tài)級數(shù)法選擇附加控制的參數(shù)。

4.2 電力系統(tǒng)區(qū)域間振蕩分析及振蕩模式間的非線性相互作用分析

文獻［9，10］表明大干擾下，線性化方法已經(jīng)不能滿足系統(tǒng)的要求，不同模式對系統(tǒng)非線性動態(tài)特性的影響是不同的，準確無誤地找出大干擾下系統(tǒng)的主導低頻振蕩模式，確定影響系統(tǒng)動態(tài)特性和穩(wěn)定性的主導低頻振蕩模式，指出與不穩(wěn)定相關的非線性振蕩的振蕩源。從識別主導低頻振蕩模式和三階諧振模式出發(fā)，通過分析模態(tài)的非線性相關性以及模式和狀態(tài)變量之間的非線性相關作用，尋找由諧振所強烈激勵的狀態(tài)變量和相關發(fā)電機的理論和方法。

4.3 次同步振蕩問題

文獻［11］表明非線性模態(tài)互作用存在于扭矩中的分析結果。還可看到，控制模態(tài)與扭振模態(tài)及電氣次同步模態(tài)之間存在互作用，并且對暫態(tài)扭矩起重要作用。所以在暫態(tài)過程中，電氣系統(tǒng)與機械系統(tǒng)通過電氣次同步模態(tài)和扭振模態(tài)緊密耦合。這些結果對于系統(tǒng)運行分析和控制都是非常重要的。

4.4 三階解及更高階解的研究

文獻［12］推導出的模態(tài)級數(shù)的三階解析解，由于三階解析解包含了三階模態(tài)相互作用，可解釋二階解析解所不能解釋的由系統(tǒng)非線性引起的電力系統(tǒng)復雜的動態(tài)特性和穩(wěn)定性。文獻［13］由模態(tài)級數(shù)法得到的動態(tài)電力系統(tǒng)三階解析解中的二階項和三階項可以從數(shù)學角度解釋電力系統(tǒng)大干擾下出現(xiàn)增幅振蕩的原因，其中，三階項是產(chǎn)生增幅振蕩的主要原因，這是在二階解中無法觀測到的。

5 結論與展望

(1)模態(tài)級數(shù)法是描述電力系統(tǒng)在平衡點附近非線性動態(tài)特性的有效的數(shù)學工具。既提供了系統(tǒng)的特征信息，又便于分析系統(tǒng)的非線性模態(tài)相互作用，為大規(guī)模電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制系統(tǒng)的設計提供了新的思路。

(2)模態(tài)級數(shù)法通過二階解析解與相關因子，把大干擾強非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性研究與系統(tǒng)內(nèi)部的結構特性聯(lián)系在一起，從另一側(cè)面為分析強非線性下系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及動態(tài)特性，提供了一個新的有效途徑。

(3)模態(tài)級數(shù)法在電力系統(tǒng)中的應用取得了一些成績，但作為一個新的研究領域，還有許多不成熟和待開發(fā)的方面，如:對系統(tǒng)行為的分析、控制以及各種新型電力電子設備對系統(tǒng)動態(tài)行為的影響等分析的研究還沒有深入進行。最后，如何將其用于復雜電力系統(tǒng)，而不僅限于簡單電力系統(tǒng)，也是一個值得后續(xù)研究的問題。

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