溶液型漿體在巖溶裂隙中運移的動力學研究

孫克國，李術才，仇文革，許煒萍，張俊儒

(1．西南交通大學土木學院地下系，成都 610031;2．山東大學巖土與結構工程研究中心，濟南 250012)

0 引言

注漿法作為一種預防和處置多種地質災害的有效方法，在19世紀初出現以來，隨著近代工業和材料學的迅速發展，注漿設備和注漿材料都得到了極大的進步。得益于工藝的完善和新材料的研制，其應用范圍和堵水加固效果也得到了工程界的認可。但相對于注漿法在現場實踐中的快速發展，其理論層面的研究水平卻相對落后，且進展緩慢，已經不能有效指導注漿法的發展。其主要原因是被注介質的復雜性、漿液特征參數的多樣性和時變性以及注漿過程的隱蔽性［1］。在注漿開始之前、注漿過程之間和注漿結束之后，隨著漿液特性的改變，技術人員均難以有效把握被注介質在注漿作用下的改變。而且漿體動力學的研究涉及到牛頓與非牛頓流體動力學、巖土體力學和滲流力學等多門學科，給相關的理論研究帶來很大的困難。

正因為漿液在注入過程中所表現出來的復雜特征以及被注介質的千差萬別，所以必須對其進行分類研究。依據漿液被注介質中擴散機制和作用形式的不同，可以將巖土體中的注漿法分為滲透注漿、充填注漿、壓密注漿、劈裂注漿和噴射注漿5種。注漿工作者以此為基礎，對其進行研究，并獲得了諸多的符合實際工程的有益成果，如Baker［2］和隆巴迪分別推導了牛頓流體和賓漢流體在裂隙中注漿的最大擴散半徑。Wittke W等［3］推導出的公式基本與隆巴迪公式相似。楊曉東等［4］與劉嘉材［5］分別推導了未考慮黏度時變性的漿液擴散公式。阮文軍［6］通過大量試驗證明水泥基漿液的黏度時變性符合指數函數分布，假設漿液在裂隙巖體中的流動符合賓漢流體的層流運動，在此基礎上獲得了漿液擴散模型。Giovanni Lombardi［7］和楊秀竹等［8-9］基于廣義達西定律和球形擴散理論獲得了賓漢型和冪律型漿液在滲透注漿中的擴散半徑計算公式。郝哲等［10］借助于蒙特卡洛法，以單裂隙漿液擴散公式為基礎編制了漿液在巖體裂隙網絡中的擴散程序;鄭長成［11］通過修正賓漢漿體在光滑裂隙內的輻射流運動方程，使之適用于漿液在粗糙裂隙巖體中的層流擴散。楊米加等［12］采用實驗手段對裂隙張開度、交叉角度和壓力梯度在滲流注漿過程中的影響進行了研究。張良輝等［13］通過穩定壓水試驗反算裂隙參數，建立平面粗糙裂隙中漿液層流流動的力學模型。

綜合比較各種注漿工法的理論研究，可以看出在地下水滲流力學基礎上發展起來的滲透注漿理論在巖土體注漿理論中最為完備。但是其也僅僅停留在研究連續介質的層流流動層面上，對于更為復雜的劈裂注漿、充填注漿和壓密注漿理論仍處于半經驗狀態。針對巖溶區的動水注漿理論，本文在研究前人成果及現場實踐的基礎上認為只有從漿液特性、運移過程和被注介質這3個方面進行綜合考慮，才能有效提升巖溶區的注漿理論水平。因此本文以溶液型化學漿液為流體模型，在流體動力學的基礎上推導出漿液運移過程中的控制方程并對其離散，以巖溶區的貫通裂隙或管道作為被注介質模型，在此基礎上對漿液在巖溶區被注介質中的運移進行了開創性研究。

1 裂隙注漿理論研究概況

由于自然界中的一切復雜流動都可以用Navier-Stokes方程來描述，而漿液在裂隙巖體中的擴散也不例外。以x方向為例時，Navier-Stokes方程可表示為:

式中:f為體積力;τ為附加法向應力;vx為x方向的速度;ρ為漿液密度;t為時間;p為壓力。依據漿液的物理形態可以分為溶液型和懸浮型2種，從其本構關系上講，均屬于廣義牛頓流體中的賓漢流體和牛頓流體。漿液凝結或者凝膠前，溶液型漿液多為牛頓流體，懸浮型漿液多為賓漢流體。

1)當漿液是賓漢流體時

式中:τ0為驅動漿液運動的最小剪應力;μ為運動黏度;dvx/dy為剪切速率。

在黏度不變的前提下，可以求得式(1)中的平均流速vx為:

式中y0為賓漢流體的流核高度，當y=y0，τ=τ0。

2)當漿液為牛頓流體時

在黏度不變的前提下，由哈根-泊肅葉定律可以得到:

式中:p為壓力;Δp為壓差;L為運移距離;μ為動力黏度;h為裂隙半寬。當流核高度y0等于0時，式(3)中括號里的部分可以轉化為1，此時式(3)就轉化為式(5)，從而驗證了在牛頓流體和賓漢流體本構關系下推導出的平均速度的正確性和合理性。

通過對式(3)和式(5)的合理應用，可以獲得漿液在巖體裂隙或者管道中的徑向運移規律。對于裂隙輻向流可以通過對兩式進行積分來獲得注漿量、注漿壓力、擴散半徑和裂隙開度之間的關系［18］。但是式(3)和式(5)均是在小管徑內液體的徑向流動基礎上推到演化而來，而巖體中的管道和裂隙形狀多變，管道直徑和裂隙開度也千變萬化，如果簡單以等徑或等寬度的裂隙來計算，其誤差將會較大的影響計算分析結果，所以在復雜的巖溶地區需要另辟它徑來完成漿液在巖溶區裂隙管道中運移的研究。

2 漿液擴散的動力學控制方程

2．1 質量守恒方程

質量守恒方程是連續介質理論的基礎，對于某個微小體積，可以表述為體積內的質量改變量等于進入或者流出該體積的流體質量，假設該體積表面的外法線方向為正、流入該體積的速度為正。所以質量守恒方程可以表示為:

將式(6)在微小體積上積分，可以將其化為積分表達形式，如下所示:

為了方便后續的離散工作，將其轉化為偏微分形式，如下所示:

2．2 動量守恒方程

動量守恒方程是在牛頓第二運動定律的基礎上推導出來的，可以表述為某個微小體積的動量隨時間的變化率等于微小體積所受到的外力之和(其中i，j為張量符號)。

2．3 溶液漿體的動力學擴散假設

1)溶液型漿液在凝膠前一般屬于牛頓流體，由于注漿過程中相對速度較低、外界壓力和溫度變化較小，所以可以將擴散期間的溶液型漿液視為不可壓縮的牛頓流體。

2)漿液在運移過程中的鋒面不與地下水發生稀釋，而且其在裂隙或者管道的壁面處滿足無滑移條件，即漿液在壁面上的法向和切向速度均為0。

3)巖溶管道或者裂隙的貫通性好，在漿液注入過程中無堵塞現象發生。

3 控制方程的離散格式

在上述假設的基礎上，對式(8)和式(12)進行簡化后，得到溶液型漿液在巖溶區裂隙或者管道中運移的動力學控制方程:

3．1 空間域的離散

3．1．1 擴散項

其中:

3．1．2 對流項

φ(r)是一個限幅函數，相當于加權函數，當φ(r)取不同的值或表達式時，式(19)可以改寫為不同的插值格式，如圖1和圖2所示。

圖1 Central difference示意圖Fig．1 Central difference

圖2 HQUICK格式示意圖Fig．2 HQUICK format

當 φ(r)=2(r+|r|)/(r+3)時，為 HQUICK 格式，此時的φf為:

3．2 時間域的離散

為表述簡便起見，動量守恒方程可以改寫為:

式中:l是除去瞬態項外的所有項的算子，包括對流項、擴散項、源項。在對式(24)左右兩邊進行體積積分并完成空間離散后，可以表示為:

式中:L是空間域離散后的算子，包括對流項的離散、擴散項的離散以及源項的離散;V代表控制體的體積。從式(25)可以看出，對方程左邊項(瞬態項)的離散不需要與右邊項(對流項、擴散項、源項)保持一致，即可以對不同的項采用不同的離散格式。本文對瞬態項采用中心差分格式，對流項采用Adams-Bashforth格式，擴散項采用Crank-Nicolson格式。

綜合瞬態項、對流項、擴散項和源項的以上各種離散格式，可以得到巖溶區漿液擴散的動量守恒方程在時間域上的離散格式為:

同理對于連續方程:

式中:G為梯度算子;▽為散度算子;L為拉普拉斯算子;v為速度矢量;p為壓力。

4 離散方程的求解與驗證

4．1 離散方程的求解

壓力泊松方程法主要應用于瞬態問題的求解，是時間分裂法的一種。由于巖溶區漿液的運移過程是一個與時間具有直接關系，具有明顯的瞬態特征，所以在本文的研究過程中采用壓力泊松方程法來求解vx，vy，vz和p等物理量。其基本思路如下:

1)假定初始壓力p;

2)利用初始壓力p，求解動量守恒方程，得到不滿足連續方程的速度場S*;

3)假定壓力修正值p*，并用p*和S*來表示符合連續方程的速度場S，S=S*-ΔtGp*;

4)將S代入連續方程，從而得到關于p*的泊松方程，Lp*=DS*/Δt;

5)求得p*，并更新壓力pnew和速度場S，pnew=p+p*，S=S*-ΔtGp*。

6)將pnew作為初始壓力，進行下一時間步的計算。式中:G為梯度算子;D為散度算子;L為拉普拉斯算子。

4．2 有效性驗證

筆者以此方法為基礎，采用Matlab高級編程語言編制了漿液在裂隙巖體中的擴散程序(GSK)。為了驗證該方法的正確性，在有限體積法的基礎上，以方腔頂端驅動流為驗證模型［19］，將計算結果與試驗結果進行驗證(如圖3所示)，證明了該方法的正確性和精確性。

5 結論

1)總結前人關于漿液在巖體裂隙中滲流的運移形態規律，指出該規律的局限性，并從中發掘出溶液型漿體在巖溶區裂隙和管道中進行動力擴散的理論研究切入點。

圖3 計算結果與試驗結果對比圖Fig．3 Comparison and contrast between calculation results and testing results

2)以需找的理論研究切入點為突破口，基于流體動力學基礎，在質量守恒定律和動量守恒定律的指導下，推導出適用于漿液擴散的動力學控制方程。

3)針對溶液型漿液的基本特征和巖溶區被注介質所獨有的特性，在對漿液擴散過程進行合理假設的基礎上，通過簡化漿液擴散的通用動力學控制方程，獲得了適用于牛頓漿體在巖溶裂隙或管道中的擴散的動力學控制方程。

4)采用 HQUICK、Central-Difference、Crank-Nicolson和Adams-Bashforth格式對漿液在巖溶裂隙中運移的動力學控制方程分別在時、空域上完成數值離散研究，最后采用流場分離變量求解技術中的壓力泊松方程法完成數值求解工作，編制求解程序，并完成該程序的正確性和精度驗證工作。

5)在流體動力學的基礎上，對溶液型漿體在巖溶裂隙和管道中的動力學擴散過程進行開創性研究。但是此過程沒有考慮漿液的黏度時變性，也沒有對符合懸浮型漿液的賓漢流體的動力學控制方程進行數值離散求解，這將是下一步的研究重點。

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