基于窮盡熵優(yōu)化的混沌圖像加密

寧 磊， 王振永， 楊明川

(哈爾濱工業(yè)大學 通信技術(shù)研究所，哈爾濱 黑龍江 150001)

0 引言

隨著世界范圍的數(shù)字圖像傳輸?shù)难杆侔l(fā)展，安全問題成為了人們關(guān)注的重要問題。許多諸如電纜電視，軍用圖像數(shù)據(jù)庫，生物測量鑒定系統(tǒng)以及在線個人照片相冊要求具有魯棒安全性的系統(tǒng)來存儲和傳輸數(shù)字圖像。

傳統(tǒng)的密碼學算法諸如DES、IDEA和RSA算法不能很好的適用于快速通信應用。而混沌的顯著特點是對初始值的敏感依賴性，這使得混沌系統(tǒng)成為密碼學方案的一個有前景的另一種選擇。基于混沌的加密處理在 1989年[1]被首次提出，從那時開始，許多基于混沌系統(tǒng)的其他方案相繼被提出。

許多密碼學系統(tǒng)的安全性都是基于隨機數(shù)發(fā)生器。產(chǎn)生隨機序列的發(fā)生器能夠歸納為2大類：真實隨機數(shù)發(fā)生器和偽隨機數(shù)發(fā)生器。真實隨機數(shù)發(fā)生器具有非確定信源的優(yōu)勢，比如隨著放射性延遲時間殆盡的熱射噪聲源，混沌電路以及半導體容量管理數(shù)量等。偽隨機數(shù)發(fā)生器通過系統(tǒng)模型產(chǎn)生隨機數(shù)，產(chǎn)生的隨機數(shù)隨機性較弱，容易攻克。近年來，數(shù)字電路的廣泛發(fā)展使得后者實現(xiàn)的成本變得低廉。這就需要找到一種增強偽隨機數(shù)發(fā)生器偽隨機性能的方法。

圖像加密的思想可歸結(jié)為3大類：象素置亂法[2]、位置置亂法[3]和前2類方法的結(jié)合[4]。其中象素置亂就是將某個序列與象素值進行某種相關(guān)運算，如異或運算。解密過程也很簡單，只要用原始序列與加密圖像的象素值進行相關(guān)逆運算即可。

我們知道作為加密序列，不僅窮盡步長要大，而且窮盡過程的每個組成部分中的序列長度要盡量相等。為此，提出用窮盡熵來衡量序列的類隨機性強弱，選擇經(jīng)過熵選擇即優(yōu)化后的混沌序列采用象素置亂法對圖像進行加密。最后，安全分析表明此加密方案具有對抗已知統(tǒng)計性攻擊的魯棒性。

1 序列的窮盡熵

序列窮盡熵的概念是建立在序列的生成和再生的基礎(chǔ)上提出的。序列的生成和再生是不同的。再生是序列自我的簡單復制過程，而序列的生成中復制序列的最后一個序列值是可以變化的。具有強偽隨機性的序列，不僅窮盡步長要大，而且窮盡過程的每個組成部分中的序列長度要盡量相等。文獻[5]提出了一種利用窮盡熵衡量序列隨機性強弱的方法。將序列的各個窮盡部分(包括最后一個不是窮盡的組成部分)在整個序列中占的比率近似地看作其出現(xiàn)的概率 ，然后用式(1)：

來計算整個序列的類隨機性強弱。由序列窮盡的概念和最大熵定理可知，序列窮盡步長越長，各窮盡組成部分的概率越是近似相等，則整個序列的窮盡熵越大，序列的類隨機性也就越強。

例如：

根據(jù)表達式（1），序列S1,S2,S3的窮盡熵分別為 0.0243哈特、0.0486哈特和0.1826哈特。窮盡熵越大，序列攜帶的信息越多，進而序列的隨機性就越強。

2 混沌序列的產(chǎn)生

混沌系統(tǒng)模型有很多種，我們選擇比較典型的 Lorenz混沌系統(tǒng)作為混沌序列發(fā)生器，它的數(shù)學表達式如下：

在表達式（2）中，a、b和c是系統(tǒng)參數(shù)，當a=10、b=8 3和c=28時, 保證 Lyapunov 指數(shù)λn＞0。系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

Lorenz系統(tǒng)可以產(chǎn)生三維混沌實序列，我們只取其中一維。由于其產(chǎn)生的是隨機實數(shù)，作為加密序列，還需要對混沌序列進行二值量化。文獻[6]提出了很多種量化方法，為了方便，將利用表達式（3）將實數(shù)序列映射到[- 0.5,0.5]之間，然后通過表達式（4）獲取二值序列。

在上述表達式中，bn是由Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列，int(bn)是對序列bn取整運算，Bn是量化后的二值序列。

3 熵優(yōu)化的混沌序列及圖像加密

3.1 序列性能測試

候選的加密序列必須具有較強的偽隨機性。首先通過Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生原始的混沌序列，二值量化后，分成N組，通過計算窮盡熵，選擇熵最大的一組作為測試序列。該序列的自相關(guān)和互相關(guān)特性如圖1所示。

我們可以看出，其自相關(guān)函數(shù)接近δ函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)接近零函數(shù)，這種良好的相關(guān)性，是對圖像進行加密的前提。

圖1 混沌序列的相關(guān)性分析

3.2 加密和解密方案

所提出的基于異或函數(shù)的圖像加密和解密方案在MATLAB中予以實現(xiàn)。該方案包括以下步驟：

①該方案首先找到明文圖像的大小為M×N，此處M表示圖像的行數(shù)，N表示圖像的列數(shù)，這些像素點被按照從左到右從上到下的順序排列，由此得到一個該圖像的數(shù)據(jù)集，其中的每項都是像素點的一個十進制灰度值（從0到255），然后將每個十進制數(shù)值轉(zhuǎn)換成等價的二進制數(shù)，最終得到一個一維矩陣B。

②矩陣A_candidate(n)是基于Lorenz混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的二值序列，n代表候選序列的組數(shù)，利用窮盡熵的定義選擇熵最大的一組作為優(yōu)選混沌序列A。

③將A和圖像矩陣B經(jīng)過異或運算得到了第三個矩陣C，即C=A⊕B。

④這樣得到的矩陣 C通過第一步的相反過程轉(zhuǎn)換為一個加密編碼后的圖像，作為密文進行傳輸；

對于圖像的解密我們再次采用異或函數(shù)進行運算，即C⊕B=A。在圖2中我們可以看到大小為131× 131的Lena明文圖像，以及采用以上方案得到的加密后的密文圖像和解密后的明文圖像。

圖2 圖像加密恢復過程

4 安全性分析

一個好的加密方案應該具有魯棒性抵抗所有的密碼分析，統(tǒng)計性和窮舉攻擊。文章完成了所提出的圖像加密方案的一些安全性分析—柱形統(tǒng)計圖分析和2個相鄰像素的相關(guān)分析。

4.1 柱形統(tǒng)計圖分析

香農(nóng)提出擴散和混淆的兩種方法用來防止統(tǒng)計性攻擊[7]。明文Lena圖像和所提出方案獲得的加密圖像的柱形統(tǒng)計圖如圖 3所示。比較柱形統(tǒng)計圖我們可以看出加密圖像的灰度值呈現(xiàn)均勻分布，其和明文圖像的柱形統(tǒng)計圖具有明顯不同。所以，加密后的圖像對于任何的統(tǒng)計性攻擊都具有安全性。

圖3 圖像柱狀統(tǒng)計

4.2 2個相鄰像素的相關(guān)分析

對于任意一個圖像，每個像素點無論在水平方向，垂直方向或者對角方向都與其相鄰的像素點高度相關(guān)。為了測試在明文圖像中像素點的相關(guān)性，以及在加密圖像中像素點的相關(guān)性，我們利用以下公式計算了每個像素對的相關(guān)系數(shù)γ[8]。

這里x和y是圖像中2個相鄰像素點的灰度值，N是像素點相鄰像素對的總個數(shù)。在明文圖像和密文圖像中的2個水平相鄰像素點的相關(guān)性如圖4所示。

在表1中我們發(fā)現(xiàn)密文圖像的在任意方向的相關(guān)系數(shù)都近似等于零，所以密文圖像具有很小的關(guān)聯(lián)性。

圖4 圖像中相鄰兩像素的相關(guān)

表1 兩種圖像中兩相鄰像素的相關(guān)系數(shù)

5 結(jié)語

文章提出了一種基于窮盡熵優(yōu)化的混沌圖像加密方案。通過利用窮盡熵來度量序列的類隨機性強弱，選擇熵最大的一組混沌序列對圖像進行加密。最后，安全分析表明此加密方案具有對抗已知統(tǒng)計性攻擊的魯棒性。

[1]MATTHEWS R. One the Derivation of a Chaotic Encryption Algorithm[J]. Cryptologia, 1989(08):29-42.

[2]陳永紅，黃席樾. 一種混沌系統(tǒng)的設(shè)計及其在圖像保密變換中的應用[J].計算機應用, 2004,10（26）:52-55.

[3]唐林山，江成順. 一種結(jié)合混沌的熱流密碼圖像加密算法[J].計算機工程與應用,2007,43（03）:37-39.

[4]閔連權(quán). 基于雙置亂的圖像加密算法[J].測繪科學, 2006,31（03）:71-73.

[5]FENG M. Analysis on Random-like Property of Chaotic Motions with Exhaustive Entropy[C]. Automation and Logistics, 2007 IEEE International Conference on, 2007: 2420-2425.

[6]KOHDA T, TSUNEDA A. Statistics of Chaotic Binary Sequences[J].IEEE Transactions on information theory,1997,43(11):104-112.

[7]SHANNON E. Communication Theory of Secrecy System[J]. J. Bell Syst. Tech., 1949(28):656-715.

[8]CHEN G R, MAO Y B, CHARLES K. A Symmetric Image Encryption Scheme based on 3D Chaotic Cat Maps[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2004(21):749-761.