基于小波變換的目標檢測關鍵算法研究

曹 量， 李太君

0 引言

小波變換是近年得到廣泛應用的數學工具。與傅里葉變換、Gabor變換相比，小波變換是空間和頻率的局域變換，因而能有效地從信號中提取信息。它通過伸縮和平移等運算功能對函數或信號進行多尺度細化分析，解決了傅里葉變換不能解決的許多困難問題，因而被譽為“數學顯微鏡”[1]。基于小波變換具有低熵、去相關、“變焦”和選基靈活等特性并且在圖像去噪和邊緣檢測中有突出的貢獻，對目標檢測中的這2個重要基礎做了深入的研究，提出了改進的小波局部自適應算法，給出了高斯小波模極大值邊緣檢測方法。

1 小波分析的原理

設函數ψ(x)滿足，用尺度因子S對ψ(x)進行放縮得到一組函數ψS(x)=ψ(x/S)/S，則在位置x處，函數f(x)的尺度為S的小波變換定義為：

其中ψ(x)稱為小波函數，式（1）稱為連續小波變換式。

如尺度S以二進方式離散取值，S=2i（i為整數），則可得到相應的二進小波變換

1.1 小波去噪原理

[2-3]。設一個被噪聲污染的信號的基本模型為：

式中s(t)是信號，n(t)是一個服從的寬平穩高斯白噪聲。令WTn(a,b)是n(t)的小波變換，a是尺度因子，b是平移因子，則有：

而：

可看出，噪聲小波系數的平均功率與尺度a成反比。可證明，對于所有尺度，噪聲n(t)的小波變換離散細節信號系數的方差隨著尺度的增加也會有規律地減小，即其中Da，Da-1為方差。而信號s(t)小波變換的值在跳變處隨著尺度a的增加均表現出明顯的峰值，其符號正負則決定于此階躍是正跳變還是負跳變。

因為正交小波變換是線性變換，所以對觀測g作離散小波變換，得到的小波系數y=Wg（W為二維正交小波換算子）仍由兩部分組成，一部分是信號f對應的小波系數x=Wf，另一部分是噪聲n對應的小波系數v=Wn,即y=x+v。Donoho[4]提出的小波閾值去噪方法在最小均方誤差意義上是有效的并且可達到較好的視覺效果，它主要的理論依據為屬于Besov空間的信號在小波域內其能量主要集中與有限的幾個系數中，而噪聲的能量卻分布于整個小波域內，經小波分解后信號的系數要大于噪聲的系數，因此采用閾值的辦法可把信號系數保留，而使大部分噪聲系數減少至0。

1.2 小波模極大值邊緣檢測原理

參考文獻[1,5]。定義θ(x,y)為二維平滑函數，它在整個平面上的積分為1并且它在x和y為無限遠處收斂到0。定義兩個小波函數ψx(x,y)和ψy(x,y)為：

這樣，圖像f(x,y)的小波變換的兩個分量在尺度為S時定義為：

對于二進小波變換，就有：

2 局部自適應閾值去噪算法

小波變換系數間存在一定的相關性[6]：①在相同的尺度下，重要的小波系數“聚集”在某些區域，如圖像的邊緣一般是重要的小波系數出現的區域，這種相關性稱為尺度內的相關；②在不同的尺度（分辨率）下，圖像特征對應著許多大數值的小波系數，這些系數之間應存在相關性，稱其為尺度間的相關。這種相關性是小波變換分解過程中內在因有的，反映多尺度性。

這里依據尺度內的相關性提出一種改進的局部自適應閾值去噪算法。因為噪聲圖像小波系數的方差域局部平滑并且變換緩慢，所以高頻子帶中的每個小波系數X(i,j)的方差與鄰域（一般先擇方形領域）內的小波系數的方差具有高度相關性[2]。這樣，可以選擇(i,j)處小波系數的M×M鄰域來估計X(i,j)的方差，估計的計算式可寫為：

半軟閾值法通過雙閾值克服了硬閾值的過“扼殺”高頻系數，使重構信號產生較小的均方差。半軟閾值法[7]的閾值函數為：

比例萎縮法[8]根據最小均方差準則（MMSE），可以得出從X(i,j)中恢復S(i,j)的理想函數式

結合半軟閾值法和比例萎縮法提出改進后的局部自適應的閾值函數：

3 高斯小波模極大值邊緣檢測算法

Mallat[9]指出，使用平滑函數的一階導數的極值進行檢測優于使用二階導數的零交叉檢測。由于高斯函數的一階導數具有很好的邊緣檢測的能力，現選擇二維高斯函數的一階導數作為小波函數。二維高斯函數的表達式為：，θ是一維高斯函數。θ(x,y)分別對x，y方向求偏導，并取相反數，得到：

ψ1是對應于高斯函數一階導數的一維小波。容易證明滿足小波函數的容許條件，是一個二維小波。

高斯小波模極大值邊緣檢測的步驟為[7]：

①選定二維高斯平滑函數θ(x,y)為尺度函數，由式（19）、式（20）求出θ(x,y)在尺度S上的一階編導數和作為小波函數；

②用式（9）、式（10）對圖像進行小波變換，求得小波變換在S尺度上的兩個分量

④根據直方圖統計特性選定自適應閾值：將求得的模極大值邊緣圖像進行歸一化，將圖像劃分成1 024個灰度級進行直方圖統計，對灰度級從1/1024開始進行循環對邊緣點個數進行累加，當累加得到的邊緣點個數最終小于邊緣點總數的k（0＜k＜1）倍時，則將該處的灰度值作為自適應閾值；

⑤用雙閾值對邊緣圖像進行非極大值抑制，高閾值為第四步產生的自適應閾值，低閾值一般為高閾值的0.5倍，高于高閾值一定是邊緣，低于低閾值一定不是邊緣，高低閾值之間判斷8領域是否都高于高閾值否則不是邊緣點；

⑥對邊緣圖像進行邊緣連接和邊緣細化處理，輸出邊緣圖像。

4 實驗結果及分析

參考文獻[10]。以大小為256×256，灰度級為256的lena圖像為例，在Matlab中進行仿真。

這里邊緣檢測前的去噪算法選用db8小波基對圖像進行5級分解。db8小波基支集長度長，消失矩和正則性高。消失矩階數大，小波能量集中，正則性好，則二維圖像重構后就越平滑。對于多層分解的小波系數，層數越大，噪聲能量會變得越小。由于閾值的自適應性，每一層的噪聲和圖像有用信息都會被最大程度的進行分解。當λ1=1.9，λ3=0.6圖像去噪效果較好，加噪方差為0.01時的實驗結果如圖2所示。

圖1 圖像去噪結果比較

采用峰值信噪比（PSNR）和均方誤差（MSE）在加噪方差分別為0.005、0.01、0.02時對去噪算法的效果進行定量分析比較，實驗結果如表1所示。

表1 圖像去噪峰值信噪比和均方誤差的比較(單位：dB)

當尺度S=21時這里算法的實驗結果如圖 2（d）所示。根據圖2所示比較結果，這里的邊緣檢測算法明顯優于傳統的Roberts算子、Sobel算子等，與經典的Canny算子的檢測結果相比，在眼睛、帽子和頭發上的細節信息多一些，其裝飾更為真實。但在少部分弱邊緣存在斷線的情況，筆者分析這里主要的原因是閾值處理不當引起的過“扼殺”所致。

圖2 圖像邊緣檢測結果比較

5 結語

在分析噪聲的小波特性和小波去噪原理的基礎上，根據小波變換系數尺度內的相關性提出了一種新的局部閾值策略，還結合半軟閾值法和比例萎縮法提出了一種改進的小波局部自適應閾值圖像去噪算法；在分析了小波模極大值邊緣檢測原理的基礎上，給出了二維高斯函數模極大值邊緣檢測的方法，提出了用直方圖的統計特性進行自適應閾值的選取，并通過雙閾值策略進行非極大值抑制。實驗結果也表明了這里算法相對于傳統算法的優越性，為圖像分析等后期的目標檢測工作打下了堅實的基礎。

參考文獻

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