埃特金加速迭代法在水力計算中的應(yīng)用

喬雙全

(齊齊哈爾市水利勘測設(shè)計研究院，黑龍江齊齊哈爾161006)

0 引言

水力學(xué)公式多是包含多個參數(shù)的隱式非線性方程，通常需要試算。迭代法是常用而有效的方法，常用的迭代法有直接迭代法、二分法、截弦法、牛頓法等。由于水力學(xué)方程大多非線性化程度比較高，有時候這些迭代法收斂速度慢，同時還有可能迭代發(fā)散而導(dǎo)致死循環(huán)，從而不能奏效。鑒于這種情況，作者從實際工程應(yīng)用出發(fā)，引入一種新型的迭代計算法——埃特金(Aitken)加速迭代法。埃特金(Aitken)加速法是數(shù)值分析中常用的一種迭代收斂的加速算法，可以在保證迭代精度的同時，加快收斂速度。

1 埃特金加速迭代法原理

1.1 不動點迭代法

埃特金加速迭代法屬不動點迭代法的一種，首先介紹一下不動點迭代法的原理。

不動點迭代法是一種逐次逼近法，其基本思想是將隱式方程歸結(jié)為一組顯式的計算公式，就是說，迭代過程實質(zhì)上是一個逐步顯示化的過程。

不動點迭代法是將非線性方程f(x)=0，改寫成等價顯性形式。

選擇一個初始值x0，帶入(1)式，即可求得x1=φ(x0)如此反復(fù)迭代計算

Xk+1=φ(xk)(k=0，1，…) ，φ(x)稱為迭代函數(shù)。若是方程的一個近似值。

1.2 埃特金加速迭代法

埃特金加速迭代法是不動點迭代法的一種加速收斂算法，用迭代公式校正1次，再校正后采用(4)式改進。

校正

再校正

改進

(4)式稱為埃特金(Aitken)Δ2加速迭代方法。

2 應(yīng)用實例

2.1 收縮水深hc計算

收縮水深hc是水力計算中經(jīng)常試算的一個要素，計算公式形式見公式(5)，其公式是一個隱式的非線性方程，為了試算將其轉(zhuǎn)化為x=g(x)的顯式形式，見公式(6)。

式中:T0為總勢能，m;q為單寬流量，m2/s;hc為收縮水深，m;α為水流動能校正系數(shù)，1.0;φ為流速系數(shù)，0.95;g為重力加速度，9.81 m/s2。

例:T0=8.609 m，q=9.333 m2/s，試算側(cè)收縮水深 hc。

首先假設(shè)初值 hc0=1.0，帶入(6)式校正，得 hc1=0.82919，將 hc1帶入(6)再校正得，hc2=0.79852，采用埃特金加速迭代公式對hc1進行修正，再將作為初值進行第二次迭代，至誤差滿足要求。

表1 直接迭代法求解hc

表2 埃特金迭代加速法求解hc

由表1、表2計算結(jié)果，迭代誤差 Δ=1.0×10－5，表1為直接迭代求解法試算過程，表2埃特金加速迭代法試算過程。在相同的迭代誤差情況下，埃特金加速迭代法可加速收斂進程。

2.2 梯形渠道臨界水深hk計算

臨界水深應(yīng)滿足臨界方程式:

式中，g為重力加速度，9.81 m/s2，α為動能修整系數(shù)，1.0;Ak為相應(yīng)于hk的過水斷面面積，m2;Bk為相應(yīng)于hk的水面寬度，m。

對于梯形斷面，帶入(6)，為了試算將其轉(zhuǎn)化為x=g(x)的顯式形式，見公式(7)。

例:Q=79 m3/s，b=15 m，m=3.0，試算臨界水深 hk。

首先假設(shè)初值 hk0=1.0，帶入(8)式校正，得 hc1=1.69687，將hk1帶入(8)再校正得，hk2=1.59669，采用埃特金加速迭代公式對hk1進行修正，，再將作為初值進行第二次迭代，至誤差滿足要求。計算結(jié)果見表3。

表3 埃特金迭代加速法求解hk

3 結(jié)語

埃特金(Aitken)加速法原理易懂、形式簡單、不用求解導(dǎo)數(shù)、收斂速度快，是求解水力學(xué)方程的有效途徑之一。目前埃特金(Aitken)加速法在水力計算中很少被采用，本文介紹了其原理和一般計算步驟，希望對水力計算的試算方法從一個側(cè)面起到引導(dǎo)作用，以提高效率。

［1］李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析(第四版)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，施普林格出版社，2001.

［2］李煒.水力計算手冊(第二版)［K］.北京:中國水利水電出版社，2006.

［3］熊啟鈞.灌區(qū)建筑物的水力計算與結(jié)構(gòu)計算［M］.北京:中國水利水電出版社，2007.