認知無線電中基于擬合優度的頻譜盲檢測算法研究

沈雷，王海泉，趙知勁，孫閩紅

(1. 杭州電子科技大學 通信工程學院，浙江 杭州 310018；2. 浙江省綜合信息網技術重點實驗室，浙江 杭州 310027)

1 引言

在認知無線電系統中，非授權用戶在頻譜空閑的時候使用已經分配給授權用戶的頻譜，從而提高了頻譜的使用效率。檢測授權用戶是否占用頻譜，也就是頻譜檢測，是認知無線電系統中的一個重要問題[1]。

目前已有的頻譜檢測方法主要包括基于能量的頻譜檢測法[2～4]、基于循環譜的檢測法[5,6]和基于Anderson-Darling檢測法[7,8]。基于循環譜的頻譜檢測法利用已知授權用戶的調制信息來提高頻譜檢測的性能，但所需樣本時間長，計算復雜度高。1967年，H.Urkowitz提出了基于能量的頻譜檢測算法[2]，該方法不需知道授權用戶的任何先驗知識，近年來被廣泛用到頻譜檢測中[3,4]。

以上敘述的方法，從數理統計的角度看，都是屬于參數假設檢驗的范疇，即根據隨機變量的某一特定參數來做假設檢驗。如果假設的參數估計不準，頻譜檢測的性能下降。例如，如果噪聲方差未知，基于能量的頻譜檢測法性能快速下降[9,10]。

近年來，在文獻[7]中提出了基于擬合優度檢驗的頻譜檢測法，可以得到比基于能量的頻譜檢測法更好的性能。其基本頻譜檢測原理是：如果授權用戶沒有占用頻譜，則非授權用戶端接收到的信號僅是高斯噪聲, 從而服從零均值、方差為2σ的正態分布；另一方面，如果授權用戶占用頻譜，則非授權用戶接收到的信號由2部分組成, 一是經過信道到達接收端的授權用戶信號, 二是接收端的噪聲，2種信號疊加之后，使得接收到的信號不再服從零均值、方差為2σ的正態分布。基于這一事實，頻譜檢測就轉換為判斷接收到的采樣信號樣本分布函數是否符合零均值、方差為2σ的正態分布函數。在文獻[7]中通過度量接收到信號的經驗分布和零均值、方差為2σ的正態分布之間的AD距離來判決授權用戶是否使用頻譜。從上面的分析可知，AD檢測是基于接收信號的整個分布，而非基于某個特征參數。因此AD檢測性能應該優于能量檢測，并且不需要任何授權用戶信號的先驗知識。但遺憾的是這種算法只適合于噪聲方差2σ已知情況，本文的目的是為了解決這個弱點。

為了克服以上的弱點，在文獻[8]中提出了基于t分布的頻譜盲檢測方法。但遺憾的是，只對基于自由度為2和4的t分布頻譜檢測性能進行了分析，并沒有給出對任意自由度 t分布的頻譜盲檢測性能，以及最佳自由度選擇。本文首先提出一種噪聲方差未知時，基于任意自由度t分布的AD檢驗的頻譜檢測算法。假設接收到的信號樣本有L個，把接收到的L個樣本分成N部分，每個部分有m＝L/N個數據，求其樣本的均值和方差，然后求兩者的比，這樣可以得到一個新的序列。從統計學知識可知，這N個比值可被認為是從自由度為m的t分布的隨機變量中獨立得到的N個樣本值。對這N個數據進行AD檢測，從而判決信道頻譜是否被占用。應該注意到，這種檢測方法并沒有用到噪聲方差。基于上述原理，本文分析其頻譜檢測性能，并給出了最佳自由度m的選擇。

其次，本文還提出了一種基于特征函數的盲頻譜檢測方法。由于多元AD檢驗并沒有明確的定義，AD檢測很難推廣到多天線檢測中。特征函數是分布函數的傅立葉變換，也能夠完全描述一個信號。特征函數無論是單元還是多元都給出了明確的定義，很容易推廣到多天線檢測系統中。基于這種考慮，本文提出通過度量經驗特征函數和已知特征函數之間的距離，在噪聲方差未知的情況下，判決信道頻譜是否被占用。

本文分析了所提2種頻譜檢測方法在衰落信道下的虛警概率和檢測概率。理論分析和仿真結果都表明，所提2種算法在噪聲方差未知情況下的頻譜檢測性能，比噪聲方差已知時的AD檢測性能下降1dB左右，但比噪聲方差已知時的能量檢測好3dB以上。在低信噪比或小樣本條件下，所提2種盲頻譜檢測算法相比能量檢測法在性能上的優點表現的更明顯。

2 Anderson-Darling頻譜盲檢測原理

為了消除檢測方法對噪聲方差估計的依賴，使得噪聲方差未知時，AD頻譜檢測算法也有效，本文引進t分布。

假設非授權用戶采樣了L個樣本，把樣本按先后順序分成了N個不同的部分，m=L/N是每部分的樣本數。M、N都是大于零的自然數。本文先對每一部分求其樣本的均值和方差，然后求兩者的比，這樣可以得到一個新的序列：

其中，yi( i=1,2,…,N)服從自由度為m-1的t分布，由文獻[11]可知，自由度為m-1的t分布的概率密度函數記為

Γ是伽瑪函數，其累積分布函數記為G0,m(y),則其值為

如果授權用戶存在，由于授權用戶信號的調制特性以及信道的傳輸特性，非授權用戶端接收的樣本不再是均值為0，方差為2σ的高斯噪聲。因此m個樣本的均值和方差比yi也不服從自由度為m-1的t分布，從而樣本yi一般不服從分布G0,m(y)。基于這一事實，認知無線電系統中頻譜檢測就可以等價于下列假設檢驗。

H0：授權用戶接收樣本是統計獨立的變量，服從分布G0,m(y)。

很顯然，如果H0不成立，樣本yi不服從分布G0,m(y)，表明非授權端接收到的信號不是均值為0，方差是σ2的高斯噪聲, 從而說明信道中存在授權用戶信號的傳輸。相反，如果H0是成立的，樣本yi服從分布G0,m(y), 表明非授權端接收到的信號均值為0，方差是σ2的高斯噪聲，信道中不存在授權用戶信號的傳輸。

為了對這個假設進行檢驗，從上面的分析可以知道，引進t分布以后，在m給定情況下，G0,m(y)的分布是已知的，可以用Anderson-Darling檢驗進行檢測。其具體方法如下，首先對所有新的樣本序列按小到大排列，這里假設y1≤y2≤…≤yN，利用這些樣本，當每個部分有m個數據時，定義經驗分布函數為GN,m(y)，具體如下：

如果信道中沒有授權用戶傳輸，那么H0假設是成立的，由大數定理，如果N趨向無窮大，GN,m(y)必然趨向于G0,m(y)。如果信道中存在授權用戶傳輸，那么H0假設是不成立，即使當N趨向無窮大時，GN,m(y)不會趨向于G0,m(y)。

由上面的分析，可以利用GN,m(y)與G0,m(y)之間的差別進行信號頻譜檢測。通常情況下，上述差異的大小是用2個分布之間的距離來度量，如果距離大于某個門限，則假設H0不成立，信道中存在授權用戶傳輸；反之，如果距離小于某個門限，則接收假設H0，認為信道中只存在噪聲，不存在授權用戶信號的傳輸。

在文獻[12]中，AD檢測是基于分布間的距離定義，其具體定義如下：

這里φ(u)=(u(1-u ))-1。式(7)的計算可以簡化為[12]

其中，zi=G0,m(yi),i=1,2,…,N 。為了得到門限值，一般情況下需要的分布函數。文獻[12]給出了一個當N趨向無窮時的漸近分布，具體的分布函數為

其中， aj=(-1 )jΓ( j + 0 .5)/(Γ(0.5)j!)，對于某個給定的虛警概率α，其門限值t0可由式(10)決定：

3 基于特征函數的頻譜盲檢測原理

由于特征函數可以完整地描述隨機變量，可以通過度量特征函數的距離來進行頻譜檢測，其具體方法如下。

當信道中存在授權用戶信號傳輸時，由于受信號調制特性和信道傳輸特性的影響，X不服從均值為零，方差為2σ的高斯正態分布，此時其特征函數也不服從φ0(v)。這樣，基于特征函數的頻譜檢測可以等價于下列假設檢驗。

很明顯，如果 H0成立，則表明信道中不存在授權用戶傳輸；如果 H0不成立，則表明信道中存在授權用戶的傳輸，信道頻譜被占用。

文獻[14]中為了檢驗信號的高斯性，定義了經驗特征函數。根據相同的原理，進行信號頻譜檢測，此處定義X的經驗特征函數為

假如信道中不存在授權用戶傳輸，則L趨向無窮時，經驗分布趨向于高斯正態分布，因此，φL(v)趨向φ0(v)。而當信道中存在授權用戶傳輸的時候，φL( v)不趨向φ0(v)。所以通過度量經驗特征函數φL( v)與特征函數φ0(v)的距離，可以用來判決是否存在授權信號的傳輸。這里令特征函數距離統計特征量為

對式(15)的積分進行展開，可以得到TL′的簡明計算公式為

信道噪聲方差未知情況下，基于特征函數的頻譜盲檢測等價于下面的假設檢驗：

這里t0表示檢測門限，可通過式(18)～式(19)仿真得到。如果 TL′ ＞t0，表明經驗特征函數 φL′(v)與φ0′(v )距離很遠，因此拒絕假設檢驗 H0，認為信道中存在授權信號的傳輸。否則，表明經驗特征函數φL′(v ) 與φ0′(v)距離很近，假設檢驗H0成立，認為信道中不存在授權用戶信號的傳輸。

通過Monte Carlo仿真的方法，表1給出了不同虛警概率下，不同采樣樣本個數下的特征函數盲檢測方法的門限。從表1可知，在虛警概率為0.05和0.01時, 當樣本L大于50時，門限t0已不隨樣本個數的變化而變化，這是由于此時 φL′(v)與exp(-v2/2)已經足夠近似。

表1 特征函數盲檢測門限與虛警概率

4 Anderson-Darling頻譜盲檢測概率分析

頻譜檢測概率是衡量頻譜檢測方法性能的一個重要參數。本節分析噪聲方差未知時，衰落信道下AD檢測的檢測概率，在授權用戶信號存在時，接收到的信號樣本可以表示為

其中，c表示所傳送的信號，傳輸的信號一般是復數，但復數可以表示成實部和虛部的和，如果把實部與虛部分別來考慮，則可以假設c為實數。并且在下文中，始終在實數范圍內來考慮問題。不失一般性，這里假設c=1。wi是服從標準正態分布的變量，2σ是噪聲的方差，h表示衰落因子，服從標準正態分布。假設信道是平穩慢衰落的，基于這一假設，可以假定在得到樣本 x1, x2,… ,xL的過程中，h始終是一個常數，但在得到下面L個樣本時，h可以變為另外一個常數。h的這個變化是服從標準正態分布的。在信號存在情況下，式(1)可以重新寫為

在式(23)和式(24)的基礎上，可以得到Yi服從累積分布函數：

當m＝2時，累積分布函數可以寫為

假設接收到的信號樣本 y1≤ y2≤ … ≤ yN，每個樣本都是m個X樣本的均值和方差比，GN,m(h, y)是衰落因子為h時候的信號樣本 y1≤y2≤…≤yN的經驗分布函數；授權用戶傳輸信號存在時，當N趨向無窮時， GN,m(h, y)應逼近 G1,m(h, y)。

其中，

式(31)中第1個不等式是馬爾可夫不等式得到，而第2個不等式是式(30)得到。期望均值的大小和樣本值和衰落因子h相關。式(31)可以表示為

在m，h給定條件下，AD檢測的檢測概率Pd,a(m, h)的下界為

由式(29)計算，如果在m，h給定，Cm(h)是一個大于零的常數；文獻[13]證明在H1假設下，當N-＞∞，(h)有界分布，則也是有界的。由式(31)～式(33)可知，對于給定的門限t0，隨著采樣樣本數N增加，趨向于0，檢測概率Pd,a(m, h)趨向于1，變化的速率為

瑞利衰落信道下，h服從標準正態分布, 由式(32)和式(33)，如果門限t0、m給定，基于AD的頻譜盲檢測的平均檢測概率下界為

平均檢測概率是Pd,a(m, h)的加權積分，隨著樣本數N增加，檢測概率Pd,a(m)也趨向于1。

5 基于特征函數的頻譜盲檢測檢測概率分析

在本節中，將給出基于特征函數的頻譜盲檢測的性能。在信道中存在授權用戶傳輸的時候，給定衰落因子h，其檢測概率為

由式(22)可以知道，當信道中存在授權用戶傳輸，L趨向無窮大，φL′(v)趨向于φ1′(v)=exp(jvh/σv2/2)。類似于式(28)～式(33)的分析過程，可以得到基于特征函數的頻譜檢測概率的下界為

很明顯，在h給定的情況下，CT(h)是一個固定的常數，根據文獻[13]，當L-＞∞，(h)有界分布，則也有界。當L趨向無窮大的時候，檢測概率Pd,T(h)以最小的速度趨向于1。

由于瑞利衰落因子服從標準正態分布，在設定門限t0后，基于特征函數頻譜檢測的平均檢測概率下界為

當樣本L趨向無窮大時，平均檢測概率Pd,T同樣趨向于1。

6 仿真結果與分析

為了驗證理論分析的結果，本節將給出Matlab環境下的仿真結果。具體的仿真環境如下：假設信道是瑞利慢衰落，噪聲方差是未知的。對基于AD頻譜盲檢測算法和基于特征函數的頻譜盲檢測算法的檢測概率做了仿真。為了比較，同時對噪聲方差已知時，瑞利衰落信道下AD檢測概率[7]和能量檢測的檢測概率做了仿真。在仿真中只對信號的實部進行處理，此時衰落因子h服從標準高斯正態分布，不失一般性，這里假設發射信號C=1。

圖1給出了虛警概率a=0.05，采樣樣本數L=32時，不同信噪比下，衰落信道下各種檢測方法仿真值的比較。噪聲方差已知時，AD檢測[7]的檢測概率比能量檢測概率提高大約4dB。本文提出的噪聲方差未知時的AD盲檢測性能比噪聲方差已知時的AD檢測性能有所下降(性能下降在1dB以內)，但比噪聲方差已知時的能量檢測提高了3dB以上。噪聲方差未知時，采樣點數L=32時，樣本分成8部分，每部分m=4時的檢測性能比樣本分成16部分，每部分m=2更接近噪聲方差已知時的AD檢測性能。本文提出的噪聲方差未知時，基于特征函數盲檢測算法性能與AD盲檢測性能相近。這2種盲檢測方法都不需要噪聲方差的先驗知識，克服了能量檢測方法在噪聲方差未知時，檢測性能急劇下降的缺點。

圖1 衰落信道下各種方法檢測概率比較

圖 2給出了虛警概率 a=0.05，采樣樣本數L=64時，自由度m取不同值時的AD盲檢測性能分析。從圖 2可以得到，m=2的時候，AD盲檢測性能最差，隨著m值的增大，AD盲檢測性能提高，m=32時，AD盲檢測性能與噪聲方差已知時的AD檢測性能接近。一方面隨著m的增加，n值減少，AD檢測性能下降。另外一方面，由于自由度 m值增大，t分布更快速地趨近于高斯分布，也就是逼近噪聲方差已知時的AD檢測。可見，隨著自由度m的增大，AD盲檢測的性能提高。從以上的仿真結果可以看出，在采樣樣本數L給定的情況下，選擇自由度 m=L/2，盲檢測性能最好。

圖2 不同自由度AD盲檢測性能分析

從圖2和圖3的比較可以得到，采樣點個數增大，檢測概率的性能提高。在同樣采樣點個數下，所提2種檢測算法基于AD的頻譜檢測算法和基于特征函數的頻譜盲檢測算法性能比能量檢測性能好。

圖3 各種檢測方法工作區間特性分析

為了進一步對本文所提2種盲檢測方法和能量檢測的性能進行比較，圖3給出了信噪比為6dB，采樣樣本數L=32，AD檢測、AD盲檢測、基于特征函數的盲檢測和能量檢測的工作區間特性。可以看到，AD檢測比能量檢測具有更理想的工作區間特性，AD檢測概率更快速的逼近 1。噪聲方差未知時的AD盲檢測比噪聲方差已知時的AD檢測工作區間特性略有下降，但比噪聲方差已知時的能量檢測性能好。基于特征函數的盲檢測性能與AD盲檢測性能接近。在虛警概率要求較低時，AD盲檢測和基于特征函數盲檢測比能量檢測具有更高的檢測概率。

7 結束語

本文提出了認知無線電系統中，基于Anderson-Darling的頻譜盲檢測方法和基于特征函數的頻譜盲檢測方法。這2種方法不需要授權用戶信號的先驗知識，而且克服了Anderson-Darling檢驗和能量檢測對噪聲方差先驗知識的要求。本文分析了衰落信道下，所提2種盲檢測方法的虛警概率和檢測概率，并與傳統的能量檢測性能做了比較。理論和仿真表明，AD盲檢測和特征函數盲檢測相比傳統的能量檢測，具有更好的性能。

[1] MITOLA J, MAGUIRE G Q. Cognitive radio: making software more personal[J]. IEEE Personal Commun Mag, 1999, 6(4): 13-18.

[2] URKOWITZ H. Energy detection of unkown deterministic signals[J].Proceedings of the IEEE, 1967, 55(4): 523-531.

[3] KIM S, LEE J, WANG H, et al. Sensing performance of energy detector with correlated multiple anetennas[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2009,16(8):671-674.

[4] DIGHAM F, ALOUNINI M, SIMON M K. On the energy detection of unknown signals over fading channels[J]. IEEE Trans Commun,2007,55(1): 21-24.

[5] DU K L, MOW W H. Affordable cyclostationarity-based spectrum sensing for cognitive radio with smart antennas[J]. IEEE Transations on, Vehicular Technology, 2010,59(4): 1877-1886.

[6] LUNDEN J, KASSAM S A, KOIVUNEN V. Robust nonparametric cyclic correlation-based spectrum sensing for cognitive radio[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(5): 38-52.

[7] WANG H Q, YANG E H, ZHAO Z J, et al. Spectrum sensing in cognitive radio using goodness of fit testing[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2009, 8(11): 5427- 5430.

[8] SHEN L, WANG H Q, ZHANG W, et al. Blind spectrum sensing for cognitive radio channels with noise uncertainty[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2011, 10(6):1721-1724.

[9] SONNENSCHEIN A, FISHMAN P M. Radiometric detection of spread-spectrum signals in noise of uncertain power[J]. IEEE Trans Aerosp Electron Syst, 1992,28(3): 645-660.

[10] TANDRA R, SAHAI A. Fundamental limits on detection in low SNR under noise uncertainty[A]. Proc IEEE Int Conf Wireless Networks,Commun And Mobile Computing[C]. Maui, Hi, 2005. 464-469.

[11] GOSSET W S. The probability of a mean[J]. Biometrika,1908.1-25.

[12] ANDERSON T W, DARLING D A. Asymptotic theory of certain“Goodness of Fit”, criteria based on stochastic processes[A]. The Annals of Mathematical Statistics[C]. 1952, 23(2): 193-212.

[13] STEPHENS T W. EDF statistics for goodness of fit and some comparisons[J]. Journal of the American Statistical Association, 1974,69(347):730-737.

[14] EPPS T W, PULLEY L B. A test for normality based on the empirical characteristic function[J]. Biometrika,1983, 70(3):723-726.