在高等數學教學中培養學生思維能力

徐國安

（武警警官學院 四川 成都 610213）

數學常被形象地稱為“思維的體操”，數學思維能力是數學能力的核心。因此，在高等數學的教學中，積極培養學生的數學思維能力，是我們每一位數學教師的職責。但是，由于現行教學大綱要求高，學生基礎薄弱，課時少、內容多的矛盾讓教師注重的只是單一的知識傳授，忽視了思維品質的培養；注重了解題技巧的訓練，忽視了思維能力的訓練，造成了學生知識的增長與思維能力發展不同步的狀態。要全面提高學生的綜合素質，數學思維能力的培養迫在眉睫，勢在必行。下面結合本人的工作實際，就幾種常用的數學思維能力的培養談幾點個人看法。

1 通過概念教學，提高抽象思維能力

高等數學的概念教學是本學科教學的基礎工程。在高數的概念教學中，抽象思維占有相當大的比重，即使是以形象思維表述的內容最終形式還是抽象思維的產物。

概念的形成與概括包含了許多復雜的思維活動與數學發展過程，在教學中不僅要重視概念的理解，解決“是什么”的問題，而且還應解決“是怎樣想到與形成的”。在概念教學中要下功夫去剖析概念的內涵與外延。下定義是揭示內涵的邏輯方法,要通過下定義使學生獲得關于概念所反映的對象具有的共同本質屬性。比如通過求變速直線運動物體的位移，曲邊梯形的面積這兩類具體問題的演示，可以發現通過任意分割、近似計算、求和、取極限四個步驟完美地解決了實際問題，產生了微元法的思想，引入了定積分的概念。通過定義的教學,要使學生明確定積分是一個特殊的和式極限。“分割”體現了所求量在區間上具有可加性,“近似”是關鍵,表示所求量在每一個小區間上可以用近似來代替,后兩步給出了所求量的精確值,揭示了概念的本質屬性。特殊的和式極限存在是核心,只有該極限存在才稱函數在區間上可積，進而指出定積分是個數值,最后給予幾何解釋以形象思維加深理解。這樣,通過教學不僅明確了定積分所指的對象及本質屬性,而且為定積分的應用打下了基礎。

概念教學要培養學生在各類現象間建立聯系的能力，分離出問題的核心和實質的能力，由特殊到一般的能力，從非本質的細節中使自己擺脫出來的能力，把本質的與非本質的東西區分開來的能力，善于把具體問題抽象為數學模型的能力。

2 通過一題多解、一題多變，一法多用來提高發散思維能力

我們都很重視把知識正確地、全面地傳授給學生，可是僅僅如此是否就夠了?在課堂上我們認真地、嚴格地對每一個定理加以證明，對每一個公式給以推導，卻往往忽略了采用這樣的證明和推導方法的原因。在講例題時，把解題過程寫得很詳細，卻不太重視解題的思維過程。造成學生只注意單純模仿，而缺乏獨立分析問題的能力，遇到新問題時往往束手無策。要克服教學中這些缺陷，就應隨時地、自覺地注意培養學生的思維能力。思維的靈活性，具體地講就是根據客觀條件發展變化及時改變思維過程、尋求新的解題途徑。首先抓好發散思維的訓練，通過一題多解、一題多變、一法多用，來訓練思維的靈活性，其次是抓好思維起點和思維過程的靈活性，制定考慮問題的總體方向，善于隨機應變，轉換策略。

解數學題，就是在于探索問題的條件和結論之間的聯系，通過已有的知識體系，不同的人選擇不同的對接路徑，選擇恰當的解題方法。一題多解是從同一題設中，探求不同的思維過程，它要求思維方向發散于不同的方面，有利于培養學生思維的發散性和廣闊性。一題多解對于開闊視野、開發智力、啟迪思維都大有裨益。通過多題演算，加深對問題的理解，逐步掌握常用解題方法與基本解題規律，不斷提高分析問題和解決問題的能力，培養舉一反三、觸類旁通的本領。例如求空間立體的體積，可以利用定積分，也可以利用重積分，還可以利用高斯公式等。

通過一題多解、一題多變、一題多用、多題一法”的變式教學能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。“一題多解，達到熟悉；多解歸一，挖掘共同本質；多題歸一，歸納思考規律。“一題多解、“一題多變”的訓練，通過觀察、分析、歸納、聯想、類比等方法讓學生從多個角度多個方面以各種觀點去分析思考，擴充思維領域，從多渠道尋求解題途徑，探索解題方法，達到培養學生思維的靈活性、敏捷性和創造性的目的。教師要善于挖掘和選取高等數學中知識點與題目中的發散素材，確定恰當的發散對象或選取發散點，適度地把發散思維的培養貫穿于平時的教學之中，培養學生的創造性思維能力。

3 通過逆推法、反證法、舉反例，提高逆向思維能力

逆向思維是從已有的習慣思路的反方向去思考和分析問題，是擺脫思維定勢，突破舊思想，產生新思想，發現新知識的重要思維方式。逆向思維在數學方法上主要表現為逆推法，是以待解決的問題為出發點，逐步往前分析遞推，最終達到問題解決的思路的推理方法，這種推理方法有助于在一堆表面上看似錯綜復雜、毫無聯系的已知條件中準確有效地找到解決問題的突破口。

逆向思維對于學生深入認識概念的本質有著重要作用，在高等數學中有著較多的應用。例如，函數在某點可導與可微是互為充要條件，可微函數一定連續，連續函數一定可積；但是，連續函數未必可微，可積函數未必連續。而正如我們所熟知的，對于“連續性”、“可微性”“可積性”等概念的明確區分在數學發展史中具有十分重要的地位。這種引導學生從不同方向思考，鼓勵學生質疑、反問，在教學中有意識地反過來去思考研究其逆問題，一方面有助于對相關概念的更深刻理解，另一方面有助于提高學生的創造性思維。

高等數學中提供了大量可逆的素材，互為逆否命題、互逆定理、互逆公式、互逆運算、互逆變換、互逆證法等。在教學中引導學生不僅能正確地進行正向思維，而且還能靈活地運用知識進行逆向思維解決相應的問題，從而培養學生思維的靈活性和從正向思維到逆向思維的轉換能力。逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性和多向性，它是擺脫思維定勢，突破舊有思維框架，產生新思維，發現新知識的重要思維方式。

此外，在高等數學中存在大量的反例，其意義遠遠超過了它的具體內容，要舉出不同層次數學對象的反例需要很高的數學修養。尋求反例的過程既需要數學知識與經驗的積累，也要發揮諸如觀察與比較、聯想與猜想、邏輯與直覺、逆推、反設、反證以及歸納計算構造等一系列辨證的互補的逆向思維方法。

4 通過數學建模，提高創新思維能力

高等數學具有較高的抽象性，學生在學習過程中感到枯燥無味，許多學生認識不到學習數學的重要性。由于數學建模過程是社會生產實踐、經濟領域、生活當中的實際問題經過適當的簡化、抽象而形成數學公式、方程、函數式或幾何問題等，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識，有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計好的問題啟發、引導學生主動查閱文獻資料學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，培養學生主動探索、努力進取的學風，培養學生從事科研工作的初步能力，培養學生團結協作的精神，形成一個生動活潑的環境和氣氛。教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，提高他們的數學素質。它強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。如在極值課題中可以通過數學經濟模型中最優經濟決策的選擇、國民經濟計劃的確定、經濟靜態平衡與動態平衡模型的建立，得出解決最優化問題的主要數學思想方法是數學規劃，即多變量約束情況下如何尋求一個 X（X＝X1，X2…Xn）使某個（或n個）函數在該處達到極大值或極小值。在微分課題中，可以將微分思想引入到自然科學、社會科學和工程技術中。

當然高等數學的教學中除了培養學生的抽象思維、發散思維、逆向思維、創新思維能力以外，還可以提高形象思維、邏輯思維、歸納、類比思維等其它思維能力。這些能力對學生以后的工作、生活有著很大的影響，掌握好了可以受用終生。如何在高等數學教學中更好地培養學生的思維能力，這是每位教師的一個長期而艱巨的任務，需要我們在教學過程中不斷地摸索，不斷地總結，不斷地實踐。

［1］同濟大學數學系，編.高等數學.北京:高等教育出版社,2006.

［2］姜啟源.數學模型[M].北京:高等教育出版社,1993,8.