一堂探究性數學公開課的教學實錄與評價

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(寧波市職業技術教育中心學校 浙江寧波 315041)

一堂探究性數學公開課的教學實錄與評價

●陳健

(寧波市職業技術教育中心學校 浙江寧波 315041)

《普通高中數學課程標準》中明確指出：“探究性課題學習是數學學習的一種新的嘗試，其主要目的在于培養學生在數學上的創新精神，敢于質疑、提問、反思、推廣，初步經歷數學發現、數學探究、數學創造的過程，從而親身體驗數學探究的激情和愉悅”.筆者曾有幸聽取了寧波市高一數學的一節公開課，主題是如何使用課本知識激發學生學習數學的熱情，培養勇于探索和勇于創新的精神.選取的素材是一元二次方程根的分布，課題重點是一元二次方程根的分布情況，難點在于根的分布情況比較復雜，學生自行討論、發現具有一定的難度，并且每一種分布情況的充要條件不易寫出.現筆者把這一課堂教學實錄及對其的評價整理如下,供參考.

1課堂教學實錄

1.1 課題導入

教師：在初中階段，我們學習了一元二次方程根的判別，請一位同學回答一下具體情況.

學生1：當Δgt;0時，方程有2個不相等的實根；當Δ=0時，方程有2個相等的實數根；當Δlt;0時，方程沒有實數根.

教師：好.這說明大家對初中一元二次方程根的情況掌握較好,下面來看一個有關一元二次方程根的相關問題.

例1關于x的方程x2-kx+3-k=0.

(1)方程有2個正根，求實數k的取值范圍；

(2)方程有2個負根，求實數k的取值范圍；

(3)方程有1個正根1個負根，求實數k的取值范圍.

學生根據已有的知識得到了如下解法:

學生2：假設方程有2個實根x1，x2,則第(1)小題要滿足的條件是Δ≥0,x1+x2=kgt;0,x1x2=3-kgt;0.

學生3:第(2)小題要滿足的條件是Δ≥0,x1+x2=klt;0,x1·x2=3-kgt;0.

學生4:第(3)小題要滿足的條件是Δgt;0,x1+x2=klt;0,x1·x2=3-klt;0.

學生4按照前面2個學生的思路首先考慮判別式之后，進而關注兩根之和及兩根之積，經過教師的引導發現此時兩根之和的符號不能確定.

教師：同學們在解決這個問題時主要應用了根的判別情況和韋達定理，那么能否從函數圖像的角度去解決呢？

學生開始議論，表現出了興趣，因為這和初中階段的考慮方法不同，給問題的解決提供了一種全新的思路，也為下面的討論作了鋪墊.

學生5：感覺不可以.

教師：靠感覺不行，數學靠的是嚴密的邏輯，當然感覺也是一種素質的體現，但你的感覺正確嗎？

學生的興趣漸濃，很多學生認為可以.

學生6：可轉化為一元二次函數與x軸的交點問題.

教師：需要考慮哪些因素呢？

學生6：拋物線的開口、對稱軸、根的個數.

教師：不錯，還可以作哪些改進呢？我們說，二次方程的二次項系數始終可以轉化為大于0的情況，因此拋物線的開口都可以轉化為向上，看看還有哪些遺漏的因素？

從例1出發，具體分析需考慮的因素.由函數圖像可得如下解答：

(3)Δgt;0,f(0)=3-klt;0.

經過師生共同探索發現,第(3)小題中不需考慮Δ,只要滿足f(0)lt;0即可.

1.2 提出主題，學生探索

教師：剛才討論了一元二次方程根ax2+bx+c=0(agt;0)的正負情況，并從函數圖像的角度探討了所要滿足的條件.可以發現要考慮的條件包括Δ、對稱軸位置和特殊點的函數值.實際上,二次方程根的分布還有很多種情況，請大膽探索.

學生經過討論、探索，不斷發現各種根的分布情況，教師在學生探索過程中巡視，了解學生的進展情況，發現在探索中遇到的困難，并根據實際情況適時加以引導.在整個過程中，學生都能積極思考，參與熱情較高，現場氣氛熱烈.

1.3 成果展現

教師：下面請同學來展示討論結果，假設x1，x2為方程的2個根.

學生7：2個根都大于2，即x1gt;2，x2gt;2．

教師：那此時的充要條件呢？

教師：很好.我們發現充要條件還是從Δ、對稱軸位置和特殊點的函數值去考慮，這是解決問題的基本思路.還有其他情況嗎？

學生8：2個根都小于2，即x1lt;2，x2lt;2．

教師：這個時候的充要條件呢？

教師：不錯.同學們找到了2種比較重要的分布情況.還有其他情況嗎？我們回過來再看例題,實際上剛才2種情況是把0改為2，因此能否得到第3種情況呢？

學生9：一根大于2，另一根小于2.

教師：此時的充要條件又是什么？

教師：大家看到這些條件可以推出方程的一根大于2一根小于2，由此可見它是方程的一根大于2一根小于2的充分條件，但是不是必要條件呢？剛才的條件有沒有多余的呢？

學生開始思索，經過師生的共同探索逐漸排除了Δ和對稱軸這2個因素.

教師：除了這3種情況,還有其他形式嗎？剛才方程的根是和一個數比較，有沒有可能是和2個數比較呢？

學生開始討論，沉靜的教室一下子就沸騰起來，帶入了另一個探索的熱潮.學生的想象力和創造力被激發出來，很多形式多樣的分布方式浮出水面.

學生10：一根小于1，一根大于2，即x1lt;1,x2gt;2?f(1)lt;0,f(2)lt;0.

學生12：1lt;x1lt;2lt;x2?f(1)gt;0,f(2)lt;0.

學生13:x1lt;1lt;x2lt;2?f(1)lt;0,f(2)gt;0.

在教師的引導下，學生的思路進一步拓展，把方程的根與3個和4個數進行比較.譬如：1lt;x1lt;2lt;x2lt;3；1lt;x1lt;2,3lt;x2lt;4等.

1.4 教學小結

這節課主要探討了一元二次方程根的分布情況，分布情況比較復雜，相應的充要條件難以把握.基本的方法是從二次函數圖像的角度去考察，離不開幾個重要的要素即根的判別、對稱軸和特殊點的函數值等.主要討論了幾種重要的分布形式，可能還存在其他情況，希望感興趣的學生可以在課后關注其他形式的根的分布情況.

2課后反思和評價

2.1 主線清晰，主題突出

課堂教學探索學習的2個最為顯著的特征：其一是教學內容的問題化，即以問題為中心組織教學內容；其二是教學過程的探索化，即教師創設學習環境，由學生獨立地探索發現知識和解決問題.本課在通過例題的引申和啟發開展探索性學習，逐步展現一元二次方程根的分布情況，時刻圍繞各種分布情況和相應的充要條件去開展探究活動，主線清晰、主題突出，是學生創新思維的出發點和生長點.

2.2 引導和探索的成功結合

探索性課堂教學的開展在很大程度上取決于學生的認知程度和能力水平，盡管我們都贊同探索性學習的重要意義，但在具體的實踐過程中卻存在著很大的難度，究其原因主要是探索中的不確定因素.這些因素主要來自于探索者即學生的認知結構和思維水平，以及對問題的關注和投入程度，這些因素直接影響著探索的程度和水平，也影響著探索性學習目的的實現.此外,課堂探索過程中又存在不定因素，譬如學生探索的方向原本明確，因為是自主探索，所以往往會偏離主題，相去甚遠.在這個時候往往會產生學生突發奇想的事物,教師的引導和應變能力顯得尤為重要和迫切.在本課中，教師顯然已經做了大量的準備，根據學生的現實水平進行了精心的設計.首先對學生的認知水平有比較深刻的認識，對學生的思維能力有較為全面的估計，因此能夠把握整個探索的進程；其次，對學生不能根據已有的知識進行探索的內容作及時而有效的引導和交流，使整個探索過程順利而又熱烈，并且積極調動一切有利于學生探索的條件和因素，使課堂氣氛較為熱烈，產生了良好的效果，同時促進了教師角色的更好發揮.我們認為，探索性課堂教學的成功莫過于教師的引導和學生自主探索的自然結合，相互滲透、輝映成彩.

2.3 處處體察皆探究

按照傳統教學方法，教師將各種一元二次方程根的分布情況一一羅列出來，并根據每一種情況寫出相應的充要條件，學生往往被動接受知識，體驗不到探究帶來的深切感受.學生對知識的認識只停留在表面，當然對問題的理解也停留在較低的水平，久而久之對知識的體系理解比較膚淺，更失去了對學生創新意識和創新能力培養的大好機會.我們深切贊同探究性學習對傳統教學帶來的重大變革，贊同探究性教學重要的現實意義和理論價值，但往往對內容的選擇，形式的組織存在很大困惑.從本節課的感受來講，探究的內容和形式無處不在、無時不可，關鍵在于如何去挖掘教材中的可探究之處.這就要求教師更新教育觀念，注重學生的知識體驗和探究能力的培養.教材中的很多基本內容都可作為探究的基本素材，處處都是探究的土地，處處是探究的樂園.在今后的課堂教學中,發揮教材的最大探究度將是我們值得關注和探究的重要內容.