土的應力應變關系中柔度矩陣的研究

盧 曦，施維成

(1.江蘇技術師范學院 數理學院，江蘇 常州213001;2.常州工學院土木建筑工程學院，江蘇 常州213002)

在描述土的應力應變關系時，經常使用下式:{ dε}=[C]· { dσ}，式中:{dε}為應變增量;［C］為柔度矩陣;{dσ}為應力增量。

主應力空間中的柔度矩陣［C］第i行第j列的元素Cij表示當j方向施加單位應力增量，而其它方向應力增量為0時，在i方向所產生的應變增量［1］。主對角線元素Cii表示在i方向單向加荷時該方向上所產生的變形，非主對角線元素Cij(i≠j)表示在j方向單向加荷時i方向上所產生的變形。大量試驗結果表明，在單向加荷的應力路徑下，加荷向產生壓縮變形［2］，且側向變形量一般要小于加荷向變形量，所以土的柔度矩陣［C］要滿足主對角線元素為正和主對角線元素占優勢這2個條件［3-4］。殷宗澤等從塑性柔度矩陣主對角線元素與非主對角線元素之間的關系出發，證明了以經典塑性理論為基礎的彈塑性模型的土體應力-應變柔度矩陣不能滿足主對角線元素應占優的條件［5］。筆者將從代數學角度得出柔度矩陣同時滿足主對角線元素為正和主對角線元素占優勢這2個條件時，柔度矩陣行列式的特點。

1 土的柔度矩陣行列式特點

為簡單起見，這里研究用主應力表示的柔度矩陣［C］，其可寫成一個3×3的矩陣:

在描述土的應力應變關系時，［C］需要滿足主對角線元素為正和主對角線元素占優勢這兩個條件，用數學表達式可以表示成:

下面探討此時柔度矩陣［C］的行列式特點。

1.1 行列式非0

將式(3)展開并移項可得:

將式(4)等式兩邊取絕對值，并由絕對值三角不等式可得:

1.2 行列式大于0

根據行列式的定義，不妨按［C］的行列式第1行展開，可得:

對不等式(10)、式(11)兩端同時乘以 -1，可得:

由式(2)可知，柔度矩陣主對角線元素占優時，有:

由絕對值三角不等式，并結合式(12)、式(13)可得:

由式(9)、式(14)、式(15)可知:

而根據行列式的性質，有:

式(16)與式(17)矛盾，故不可能是3者中的最大值。

由式(2)可知，主對角線元素為正時，Cii＞0，即主對角線元素C11＞0，C22＞0，C33＞0。主對角線元素為正且主對角線元素占優時，有C22＞，因此:

由絕對值三角不等式，并結合式(12)、式(13)可得:

由式(2)可知，柔度矩陣主對角線元素占優時，有:

結合式(18)～式(20)，可得:

以上證明過程顯示，［C］需要滿足主對角線元素為正和主對角線元素占優勢這兩個條件，則其行列式必定大于0。

2 傳統彈塑性模型的塑性柔度矩陣

由以上分析可見，式(21)可以作為評價土的本構模型合理性的一個方法。對于土的應力應變關系［6］，應用研究最為廣泛、最被普遍認可的是彈塑性理論，在該理論框架內已經建立了包括劍橋模型［7］在內的很多模型。下面對傳統彈塑性模型的塑性柔度矩陣［Cp］［8］進行分析:

［Cp］的行列式為:

將式(23)進行行列式展開，可得:

可見，傳統彈塑性模型的塑性柔度矩陣行列式等于0，不能滿足主對角線元素占優的條件，因此基于傳統彈塑性理論建立的本構模型在描述土的力學性質時有其局限性。

3 結語

土體的力學性質決定了其柔度矩陣要滿足主對角線元素為正和主對角線元素占優這2個條件。使用代數學方法研究了主應力表示的柔度矩陣，證明了這2個條件同時滿足時，土的柔度矩陣行列式必大于0。因而，行列式是否大于0就可以作為判斷土的本構模型合理性的一個方法。用這種方法對傳統彈塑性模型的塑性柔度矩陣進行了研究，發現傳統彈塑性模型的塑性柔度矩陣行列式等于0，不能滿足主對角線元素占優的條件，在描述土的力學性質時有其局限性。

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