電力系統PMU最優配置新方法

王家林，夏 立，吳正國，楊宣訪

（海軍工程大學電氣與信息工程學院，武漢 430033）

隨著電力系統規模的日益擴大，對如何及時獲取電網信息并對電力系統進行實時監控和管理提出了更高更復雜的要求。同步相量測量［1～3］是應復雜電力系統實時動態監控的需要而興起的一項技術 －－ 同 步 相 量 測 量 裝 置PMU（phasor measurement unit），可以在安裝地點對電力系統相應的各種參數進行同步的采集和實時的計算，并根據不同的電力系統監控模式，將檢測數據傳送給監控網絡中數據需求節點。潮流計算［4］用以分析電力系統在某一時間斷面系統各狀態變量值與系統內的功率分布情況，其計算結果為系統穩定性分析、保護與重構等提供初始條件和判別依據，對系統在線狀態計算、系統狀態預估等具有重要的意義。因此根據電力系統網絡結構優化配置PMU，測出部分節點的電壓相量，使得潮流方程組可以直接、快速、高精度求解是非常有意義的［5］。文獻［6～8］采用優化算法求解PMU最優配置問題，但提出的判斷PMU配置方案是否滿足潮流方程直接可解的方法過于繁瑣、在節點數較多的系統中難以表達且算法實現困難；文獻［9］提出基于動態關聯度的方法在求解速度上有一定優勢，但易陷入局部最優解。本文根據電力系統導納矩陣和節點關聯矩陣的特點，指出電力系統潮流方程的特征可用系統關聯矩陣來描述，在此基礎上提出了一種基于關聯矩陣的滿足潮流方程直接可解的電力系統PMU最優配置方法，并以IEEE14節點系統說明了算法原理，最后利用IEEE30節點、新英格蘭39節點、IEEE57節點、IEEE118節點系統對該算法進行驗證，給出IEEE30節點、新英格蘭39節點的分步配置算法實現的步驟和結果，并與已有方法得到的結果進行比較，結果表明該算法是有效的，具有簡單、易于實現的優點，在滿足潮流方程直接可解的基礎上能有效減少PMU配置數目。

1 考慮潮流方程直接可解PMU配置方法

假設電力系統有n個節點，其中節點j為平衡節點，潮流問題可歸結為由系統各節點給定的復功率求解各節點電壓相量的問題，因此潮流方程是一組關于電壓相量的非線性方程組［10］：

式中：Si＝Pi＋j Qi為節點i的注入功率；˙Ui＝Ui∠θi為節點i的電壓相量；Yij為節點導納矩陣Y中的元素。

電力系統的結構存在高度的稀疏性，若利用此特點適當配置PMU便能求解前i－1個方程，使得在求解第i個功率方程時式（1）右端最多只有一個未知節點電壓相量 ，則有

若從i＝1到i＝n－1的每步均能實現上述條件，則求解潮流方程可以不必迭代，此方法稱為基于PMU的電力系統潮流直接解法。

2 基于關聯矩陣的電力系統PMU配置方法

由于電力網絡本身的結構特點，電力系統導納矩陣和節點關聯矩陣維數相同且矩陣元素非零元位置相同，以圖1IEEE14節點系統為例如圖1所示。節點1為平衡節點，其潮流方程如下。

圖1 IEEE14節點系統Fig.1 IEEE14－bus system

矩陣中每一行對應一個潮流方程，每一列代表對應的節點電壓向量，“1”表示潮流方程中未知節點電壓向量，以矩陣第5行為例，對應潮流方程（7），1、2、4、5、6列對應元素為“1”，則節點1、2、4、5、6電壓向量未知。則潮流方程的特征可用關聯矩陣來描述。

IEEE14節點電力系統的關聯矩陣A如下。

由關聯矩陣與潮流方程的對應關系可以得出：

（1）若某一節點配置PMU，則潮流方程中該節點的電壓向量已知，關聯矩陣對應的列的元素全部置零。

（2）若矩陣中某一行只含一個“1”，則說明其對應的潮流方程只含有一個未知節點電壓向量，方程可解，且該非零元所在列對應的節點的電壓向量亦可知。（0＊表示潮流方程不含對應節點電壓向量，0表示該節點配置PMU或節點電壓向量已直接解出）以Ωi＝1表示在節點i配置PMU，Ωi＝0表示在節點i不配置PMU。

由于平衡節點必須配置PMU，則節點1的電壓向量˙U1已知，關聯矩陣對應的列的元素全部置零，得到關聯矩陣B。

搜索關聯矩陣B的每一行，計算每一行的“1”的個數，將含有最少相同“1”的個數的行編為一組，對應的將含有最少相同未知節點電壓向量（一般為2個）的潮流方程編為一組，考慮配置最少PMU使這組方程直接可解。由矩陣B可以得出，第1行和第8行含有兩個“1”，對應潮流方程（3）、（10）有兩個未知節點電壓向量。對于潮流方程（3），在節點2或5配置PMU可使方程直接可解，同理方程（10），則使這兩個潮流方程直接可解的PMU最優配置方案為F1∶（Ω2∨Ω5）∧ （Ω7∨Ω8）＝1。方程解出，節點電壓向量˙U2、˙U5、˙U7、˙U8已知，關聯矩陣對應的列的元素全部置零得到矩陣C。

由矩陣C可以得出，第2、3、5、7行含有兩個“1”，對應潮流方程（4）（5）（7）（9）有兩個未知節點電壓向量。使這四個潮流方程直接可解的PMU配置方案為（Ω3∨Ω4）∧ （Ω4∨Ω6）∧（Ω4∨Ω9）＝1，通過化簡可以得到最優PMU配置方案為F2∶Ω4＝1。方程解出，節點電壓向量˙U3、˙U4、˙U6、˙U9已知，關聯矩陣對應的列的元素全部置零得到矩陣D。

由矩陣D可以得出，第9、10、11、12、14行含有兩個"1" ，對應潮流方程（11）（12）（13）（14）（16）有兩個未知節點電壓向量。使這四個潮流方程直接可解的PMU配置方案為，（Ω10∨Ω14）∧（Ω10∨Ω11）∧ （Ω12∨Ω13）∧ （Ω13∨Ω14）＝1，通過化簡可以得到最優PMU配置方案為F3∶Ω10∨Ω11∨Ω12∨Ω13∨Ω14＝1。方程解出，節點電壓向量˙U10、˙U11、˙U12、˙U13、˙U14已知，關聯矩陣對應的列的元素全部置零，得到全為零元的矩陣，至此，潮流方程完全解出。滿足潮流方程直接可解的PMU配置方案為F∶F1∧F2∧F3＝1。結果如表1所示，與文獻［8，9］結果相同。

由此得到一種基于關聯矩陣的電力系統PMU分步最優配置方法：

1）根據電力系統拓撲結構和潮流方程組，形成得到電力系統關聯矩陣，設定系統的平衡節點；

2）搜索關聯矩陣的每一行，計算每一行的“1”的個數，將含有最少相同“1”的個數的行編為一組，對應的將含有最少相同未知節點電壓向量（一般為2個）的潮流方程編為一組，得到使其直接可解的最優PMU配置方案Fi＝1，則其包含的節點電壓向量均為已知；

3）將由2）得到的已知電壓向量的節點在關聯矩陣中對應的列置零，若部分置零后的矩陣中某一行只含一個非零元，則將該非零元所在列全部置零，重復步驟2）；

4）重復步驟2）和3），直至關聯矩陣為零矩陣，得到滿足潮流方程直接可解的PMU配置方案為F∶F1∧F2∧…Fk＝1。

表1 所提算法的PMU配置結果Tab.1 Results of optimal PMU placement

基于關聯矩陣的電力系統PMU分步最優配置方法實現流程如圖2所示。

圖2 基于關聯矩陣的PMU最優配置方法流程Fig.2 Flow chart of optimal PMU placement based on interactor matrix

幾點說明：

（1）基于潮流可解的PMU最優配置的數學問題實質是：對于一個含n個未知數的方程組，尋找令最少的未知數為已知量而使方程可解。借鑒求解方程組（或系數矩陣的初等變換）得到最簡等效方程組，再代入已知量求解未知數的方法，分步配置方案中每一步都是選取含有最少相同未知量個數的潮流方程編為一組，使其為最簡方程組；對每一組潮流方程配置方案邏輯表達式進行簡化，優選出最優配置方案，則每一組潮流方程直接可解的PMU配置方案是最優的。

（2）關于采用計算機求解“邏輯表達式”方法，分步配置方案為邏輯表達式，可利用計算機采用表格化簡法（奎恩 －麥克路斯基法）進行基于邏輯代數的基本定律及規則的簡化，形如（Ω7∨Ωj）∧（Ωj∨Ωk）＝1表達式可化簡為（Ωj）∨ （Ωi∧Ωk）＝1（（Qq）∨（Qp）＝1），選取各項中含最少變量項為最優配置方案，得最優配置為Ωj＝1。

3 算例

按照圖2所示的算法流程，本文以IEEE30、IEEE57、IEEE118節點系統、新英格蘭39節點系統為例對文中提出的基于關聯矩陣的PMU分步最優配置算法進行了測試，測試系統參數見表2，表3和表4為按照圖2所示的算法以IEEE30節點系統、新英格蘭39節點系統為例實現的步驟和結果。表5為本文所得到的最優配置結果與文獻［5，7～9］所介紹方法的比較。

表2 測試系統參數Tab.2 Parameters of testing systems

表3、表4基于本文所提方法的實現步驟的和結果表明該方法的有效性，分步配置原理簡單、易于實現。表5表明本文方法的優越性，特別是在較多節點情況下更能有效減少PMU配置數目。

表3 基于IEEE30節點系統的算法實現的步驟和結果Tab.3 Result and process of realization arithmetic on IEEE 30－bus system

表4 基于新英格蘭39節點系統的算法實現的步驟和結果Tab.4 Result and process of realization arithmetic on New England 39－bus system

表5 不同算法的PMU配置結果比較Tab.5 Results of optimal PMU placement by different methods

4 結論

（1）根據電力系統導納矩陣和節點關聯矩陣，電力系統潮流方程特征可用系統關聯矩陣來描述。

（2）基于關聯矩陣的滿足潮流方程直接可解的電力系統PMU分步最優配置方法，簡單有效，易于實現，能減少PMU配置數目，可為電力系統配置PMU提供參考。

［1］Abbasy Nabil H，Ismail Hanafy Mahmoud.A unified approach for the optimal PMU location for power system state estimation［J］.IEEE Trans on Power Systems，2009，24（2）：806－813.

［2］Aminifar Farrokh，Lucas Caro，Khodaei Amin，et al.Optimal placement of phasor measurement units using immunity genetic algorithm［J］.IEEE Trans on Power Delivery，2009，24（3）：1014－1020.

［3］Gou Bei.Optimal placement of PMUs by integer linear programming［J］.IEEE Trans on Power Systems，2008，23（3）：1525－1526.

［4］張海波，張曉云（Zhang Haibo，Zhang Xiaoyun）.基于異步迭代的交直流互聯系統分布式動態潮流計算（Distributed dynamic power flow for AC／DC interconnected power grid based on asynchronous iteration mode）［J］.電力系統自動化（Automation of Electric Power Systems），2009，33（18）：33－36.

［5］王克英，穆鋼，韓學山，等（Wang Keying，Mu Gang，Han Xueshan，et al）.使潮流方程直接可解的PMU配置方案研究（Placement of phasor measurement unit for direct solution of power flow）［J］.中國電機工程學報（Proceedings of the CSEE），1999，19（10）：14－16，41.

［6］衛志農，常寶立，孫國強，等（Wei Zhinong，Chang Baoli，Sun Guoqiang，et al）.一種新的考慮電力系統潮流直接可解的PMU最優配置 （A new optimal configuration of synchronous phasor measurement unit considering direct solvable power flow）［J］.繼電器（Relay），2005，33（21）：36－40.

［7］衛志農，孫國強，常寶立，等（Wei Zhinong，Sun Guoqiang，Chang Baoli，et al）.考慮電力系統潮流直接可解的同步相量量測單元最優配置（Optimal configuration of synchronous phasor measurement unit considering direct solvable power flow）［J］.電 網 技 術（Power System Technology），2005，29（1）：65－68.

［8］李新振，滕歡（Li Xinzhen，Teng Huan）.考慮潮流方程直接可解的PMU最優配置 （Optimal configuration of PMU considering direct solvable power flow）［J］.電力系統保護與控制（Power System Protection and Control），2009，37（16）：63－67.

［9］邢潔，韓學山，武鵬（Xing Jie，Han Xueshan，Wu Peng）.使潮流方程直接可解的PMU配置方法的改進（Improvement of optimal PMU placement for analytical solution of power flow node by node）［J］.電 網 技 術（Power System Technology），2006，30（11）：30－34.