分部積分推廣公式的應用

崔立功

（江蘇財經職業技術學院基礎部 江蘇 淮安 223005）

0 引言

分部積分是重要的積分方法之一，可以用來求兩類不同的初等函數乘積的積分。可對于面對形如 ∫un（x）eaxdx，∫un（x）sinbxdx， ∫eaxsinbxdx，（其中 a,b 是不為零的常數， un（x）是x的多項式）的積分時按照傳統方法必須連續的使用分部積分法公式 ∫udv＝uv－ ∫vdu

當n較大的時候雖然能算出結果，但是過程較為復雜，計算量大，式子較多容易出錯。因此運用一種分部積分推廣公式不僅思路清晰，而且不易出錯，所以這是個不錯的方法。

1 重要的結論

下面給出兩個定理和一個推論

定理 1：（分部積分推廣公式）設函數 u（x），v（x）在定義區間上有n+1階的各階導數，則

證明：當n＝0時上式即為分部積分公式當n≥1時由分部積分公式可得

把上面的n+1個式子從下向上代人就可以得到分部積分法的推廣公式

推論：如果 u（x）是 n 次多項式，v（x）是指數函數時，則

證明：令 eax＝v（n＋1）代人到分部積分的推廣公式得

定理 2：設函數 u（x）是指數函數，v（x）是三角函數時，則

證明：

同理可以證明。

2 應用

例1求不定積分 ∫(x2+2x+3)sin2xdx

解：令 u=x2+2x+3，v（n+1）=sin2x

由分部積分推廣公式得

例2求不定積分 ∫(x3+x2+2x)e2xdx

解：令 u=x3+x2+2x，v（n+1）=e2x

由分部積分推廣公式的推論得

3 結語

以上是筆者在多年的教學實踐中總結出來的一點心得，如果兩個有n+1階各階導數的初等函數中間有對數函數或者有反三角函數等等可以通過變量的代換然后再次用這個推廣公式也是可以的這里就不再詳細說明。

［1］陳光曙.大學文科數學.2版.同濟大學出版社,2009.

［2］侯風波.高等數學.2版.高等教育出版社,2003.