一個簡化Lorenz 混沌系統(tǒng)的active 同步控制

原冠秀

（河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)系 河南 新鄉(xiāng) 453003）

自從20世紀(jì)60年代美國科學(xué)家Lorenz[1]在氣象數(shù)值研究中偶然發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來，混沌已在許多領(lǐng)域中獲得了巨大而深遠(yuǎn)的影響，并且許多新的自治混沌系統(tǒng)也相繼被提出，如Rossler系統(tǒng)[2]，并且得到了廣泛的研究.混沌控制與同步已經(jīng)應(yīng)用到很多方面，如生物工程、信息過程、信息保密通信，以及進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測和工程管理等.混沌控制與同步的方法有很多種，如線性與非線性反饋控制[3]active控制[4]等.

1 系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)[5]研究了一個簡化的Lorenz混沌系統(tǒng)：

其中 c為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng) c∈（-1.59，7.75）時，系統(tǒng)是混沌的，特別的當(dāng)c=-1時，該系統(tǒng)就為典型的Lorenz混沌系統(tǒng).當(dāng)c=-1.5時，其混沌吸引子如圖1所示，本文考察c＜0的情況.

圖 1 c＝－1.5 時的吸引子

2 混沌的同步

將系統(tǒng)（1）作為驅(qū)動系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為

其中 u=［u1（t），u2（t），u3（t）］T，作為 active 控制函數(shù).

令 e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，則誤差系統(tǒng)為

取 active 控制函數(shù) u=［u1（t），u2（t），u3（t）］T為

則系統(tǒng) （3）化為

則系統(tǒng)（4）轉(zhuǎn)化控制函數(shù) v=［v1（t），v2（t），v3（t）］T的一個線性系統(tǒng).

取 v=［v1（t），v2（t），v3（t）］T=A（e1，e2，e3）T,其中

則有

圖2 線性反饋控制下兩個系統(tǒng)的同步誤差

3 數(shù)值模擬

用MATLAB對誤差系統(tǒng)（3）進(jìn)行數(shù)值仿真，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別取為(0.1,0.5,0.2)和(0.6,0.2,0.3)，選取c=-1，則系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2）是全局同步的，如圖 2 所示.

［1］Lorenz EN.Deterministic non-periods flows[J].J Atmos Sci,1963,20:130-141.

［2］R?sser OE.An equation for continuous chaos[J].Phys.Lett A,1976,57:397-398.

［3］Chen M，Han Z.Controlling and synchronizationchaotic Genesio system via nonlinear feedback control[J].Chaos Solitons Fractals,2003,17:709-716.

［4］Ahmet Ucar.Synchronization of the unified chaotic systems via active control[J].Chaos Solitons Fractals,2006,27:1292-1297.

［5］Kehui Sun,J.C.Sprott.Dynamics of simplified Lorenz system[J].Int J Bifurcat Chaos 2009,19:1357-1366.