四階半幻方矩陣的空間結構

管秋琴

（上海電力學院數理學院 中國 上海 200090）

半幻方矩陣是一類比較特殊的矩陣，首先我們給出它的定義.

定義：如果一個n階矩陣的每行上各元素之和以及每列上各元素之和都相等，那么稱它為半幻方矩陣.

我們把數域F上的n階矩陣全體記為Fn×n，那么它對于矩陣的加法和矩陣的數乘，構成數域F上一個向量空間[1]，而其中的n階半幻方矩陣的全體構成它的一個子集，記為Sn.

下面定理說明集合Sn是一個向量空間.

定理：n階半幻方矩陣Sn是一個向量空間.

證明：因為零矩陣0∈Sn，所以Sn是的非空子集.設A=（aij）n×n∈Sn，B=（bij）n×n∈Sn，易得 A+B=（aij+bij）n×n∈Sn，所以得到集合 Sn關于加法封閉.另一方面 λA=（λaij）n×n∈Sn,所以Sn關于數乘也封閉，因此，Sn是 Fn×n的子空間.

對于三階半幻方矩陣[2]我們知道它的維數是5,接下來我們討論四階半幻方矩陣S4,首先S4是F4×4上的子空間.

下面我們給出S4的基與維數.

式：x＝（x11，x12，x13，x14，x21，x22，x23，x24，x31，x32，x33，x34，x41，x42，x43，x44）T,則 x 是線性方程組的解.則方程組的系數矩陣為

經過初等行變換得到：

這里 x22，x23，x24，x32，x33，x34，x41，x42，x43，x44為自由變量.因此線性方程組的基礎解系對應的矩陣即為S4的基.所以S4的基為

［1］同濟大學應用數學系.線性代數[M].北京：高等教育出版社,2003.

［2］邱森.線性代數探索性課題精編[M].武漢：武漢大學出版社,2011.