基于零化曲率變化率的微分幾何制導律研究①

葉繼坤，雷虎民，薛東風，李 炯，邵 雷

(1.空軍工程大學導彈學院，三原 713800;2.空軍工程大學理學院，西安 710051)

0 引言

隨著非線性微分幾何理論的發展［1］，尤其是Frenet坐標系的引入，基于弧長系的微分幾何理論成為制導領域研究熱點。文獻［2－4］基于Frenet坐標系和虛擬導彈速度分別給出了弧長系下二維平面的微分幾何制導曲率指令，相對于比例導引，微分幾何制導律克服了比例導引［5－7］末端視線角速率發散的問題，末端過載變化平穩，但由于制導指令的獲得是基于Frenet坐標，實際應用時需要將弧長域中得出的制導指令轉換到時域中，不便于在現實攔截場景中應用。文獻［8－10］利用微分幾何理論得到系統模型，根據跟蹤角度建立微分幾何導引系統，并引入牛頓迭代算法對系統進行分析，最終得到了基于微分幾何的廣義比例導引，但該方法需要已知目標加速度及其方位的確切信息，在攔截機動目標時，這一要求不易達到。文獻［11］提出一種新穎的基于目標運動軌跡漸開線的新的微分幾何算法，該算法僅需要知道目標的軌跡信息，利用虛擬目標概念來決定導彈的軌跡漸開線，并以此跟蹤目標的軌跡漸開線，從而實現攔截，但該制導律形式復雜，現實中目標軌跡漸開線求取也是一大難點。文獻［12－13］基于Frenet坐標系將微分幾何理論與李亞普諾夫穩定定理結合得到一種修正的魯棒幾何制導算法，該方法克服了傳統比例導引律末段過載飽和缺陷，對機動目標攔截有較好的魯棒性，但該制導律的形式過于復雜，需要信息量較大，在工程應用中受到限制。

為克服以往文獻微分幾何制導律推導過程的復雜性和實際應用的受限性，本文將針對有效打擊機動目標，設計導彈制導律。首先根據導彈、目標位置及兩者速度方向構成的空間攔截三角形，分析飛行器運動軌跡的切向量與彈道弧長的關系，基于零化導彈彈道曲率變化率的思想設計一種微分幾何制導律，并給出制導指令的迭代算法;其次結合Lyapunov穩定性定理對微分幾何制導律的穩定性進行證明推導;最后通過仿真驗證分析所設計制導律的有效性。

1 彈目相對運動幾何分析及制導律設計

彈目攔截的場景如圖1所示。其中，M點代表導彈;T點表示目標;tt、nt分別表示目標運動的單位切向量和單位法向量;θt表示目標切向量與X軸的夾角;θts表示目標切向量與彈目視線的夾角;tm、nm表示導彈的單位切向量和法向量;θm表示導彈切向量與水平X的夾角;θms表示導彈切向量與彈目視線的夾角;ts、ns表示沿彈目視線的單位切向量和單位法向量;st、sm分別為目標和導彈運動的弧長量。將導彈運動的單位曲線弧長s作為自然參數，為方便分析，將圖1中關系用圖2表示。

圖1 彈目幾何關系示意圖Fig.1 Geometry diagram of missile and target

導彈在運動的過程中，tm、nm構成導彈運動的Frenet標架，假設導彈和目標的速度為定值，導彈運動的曲線弧長sm與目標運動的曲線弧長st成一定的比例關系，即

式中 γ表示導彈與目標速度比。

根據圖1中幾何關系可知:

其中，弧長向量tLt可由基向量tt旋轉θtα/2得到，即

其中，R為旋轉矩陣，其具體表達式如下:

圖2 彈目攔截幾何關系圖Fig.2 Geometry diagram of missile intercepting target

目標運動曲線弧長可表示為

式中 rt、θtα分別表示弧長st對應的曲率半徑和目標單位切向量旋轉角。

弧長Lt可表示為

當目標曲率趨近于零時滿足式(9):

根據式(6)可知，弧長向量tLt的長度Lt是角度θtα的函數，當導彈M和目標T接近攔截點I的過程中，θtα接近于零，當目標的曲率接近零時可知:

根據圖2中幾何關系可得

在△TIM中，應用三角形幾何知識有式(12)成立:

將式(12)變形可表示為式(13):

考慮到 γ ＞0，r＞0，st＞0，則，方程(13)的解如下:

其中，弧長st和θtα的關系可表示為

即

由式(16)可知，(r/st)是 θtα的函數，因此不能從式(4)得到精確解。將(r/st)取最大值，可由式(16)計算出θtα，以此來計算α。因此，通過式(17)迭代可計算出(r/st)的值:

將式(17)代入式(18)可求得導彈速度切向量表達式:

式(18)表明了導彈的飛行方向與目標速度運動方向和彈目視線方向的關系，根據式(17)、式(18)迭代計算可求出導彈每個時刻的速度切向量。由式(18)可保證每個時刻導彈的速度方向都調整指向攔截點I，隨著彈目距離的接近，即r→0，導彈切向量的變化率趨于零值，從而使導彈的彈道軌跡曲率變化率趨近于零。

2 制導律穩定性證明

根據式(18)得到的方向可使導彈零化曲率變化率攔截目標，其表達式中向量關系可表示為圖3。

圖3 彈目切向量間關系圖Fig.3 Geometry diagram of missile and target tangential relation

圖3中，tm為導彈速度實際的向量為設計的導彈速度向量。OAC1表示當前時刻的攔截三角，OAC2表示根據設計的制導律，導彈與目標速度向量構成的攔截三角，在圖3中導彈彈道傾角速度方向由C1向C2方向進行調整，以滿足設計速度切向量變化的要求。

為驗證該制導律的穩定性，取Lyapunov函數如式(19):

其中，θδ是導彈速度的切向量tm與制導律設計的理想速度切向量之間的夾角，即

式(22)中第一項可從下式進行求取:

微分式(23)可得

目標運動弧長對應的中心角度變化率可表示為式(25):

其中:

根據圖1和圖3中的角度關系可知:

將式(27)變形可得

將式(28)代入式(24)可得

因此，如果(r/st)已知，將其代入式(23)中，可根據式(30)求得(r/st)和 θtα的變化率:

其中:

式(30)變形可表示為

式(22)中，最后一項可表示為

因此，制導律曲率可設計為

此時 K ＞0，結合式(21)、式(30)、式(33)，能夠使得，滿足Lyapunov穩定定理，從而可保證設計制導律的穩定性。

3 仿真結果及分析

為驗證所設計制導律的有效性，以某地空彈為仿真對象展開實驗，將微分幾何制導律(GN)、比例導引［6］(PN)和比例導引導彈制導控制一體化方法［14］(GC)進行仿真對比。考慮到實際自動駕駛儀存在延遲環節［14－15］，為與文獻［14］參數保持一致采用一階自駕模型，時間常數 τ=0.1 s。

設定導彈的初始位置為(0 m，0 m)，目標的初始位置為(0 m，10 000 m)，導彈初始速度為1 000 m/s，目標初始速度為400 m/s。導彈的初始彈道傾角為θm=95°，最大可用過載為25gn，目標的彈道傾角為θt=135°，目標機動的曲率 kt=0.000 645，其中 K=1，導彈采用GN、PN和GC分別進行仿真，比例導引系數取為3，結果如表1及圖4～圖7所示。

表1 攔截性能比較Table 1 Comparision of intercept proporties

圖4 導彈攻擊目標曲線圖Fig.4 Simulation curve of missile attacking target

由表1可看出，面對大機動目標時，微分幾何制導律的性能優于傳統的比例導引法和制導控制一體化設計方法。由圖4彈目攔截曲線可看出，在相同的初始條件下，相對于PN制導和GC一體化設計，微分幾何制導律的彈道曲率較小，彈道弧長較短，縮短了攔截時間，能更早地對目標實施攔截。由圖5和圖6可知，對機動目標的攔截過程中，PN制導和GC一體化設計方法在命中點附近過載達到最大值，出現過載的激增現象，大大影響攔截性能，這主要是由于末端視線角速率發散引起的，而采用GN制導時，在初始攔截階段，導彈過載調整較大，積極補償目標機動對視線角速率帶來的影響，隨著攔截的進行，導彈過載變化平穩，末端視線角速率趨于零值，在命中點附近過載明顯小于PN和GC一體化設計方法，這就避免了攔截末端出現過載激增現象。由圖7彈道曲率隨時間的變化曲線可知，相對于PN和GC一體化設計方法，GN制導彈道曲率幅值變化較小，末端曲率趨于常值，主要是因為導彈在飛行過程中，GN制導力求使空中的攔截三角幾何形狀保持不變，這使得視線角速率趨于零值變化，因此導彈末端視線角速率變化趨于平穩。

圖5 導彈加速度隨時間變化曲線Fig.5 Time history of missile acceleration

圖6 視線角速率隨時間變化曲線Fig.6 Time history of sight line rate

圖7 導彈曲率隨時間變化曲線Fig.7 Time history of missile curvature

4 結束語

(1)相對于比例導引和制導控制一體化設計方法，本文設計的微分幾何制導律表現出良好的制導性能，其彈道曲率變化小、制導精度高、攔截時間短，克服了由于視線角速率發散導致的過載快速增大現象。

(2)本文制導律的研究基于導彈速度大于目標速度，且制導律中含有目標曲率項，當考慮現實防空反導中導彈速度小于目標速度，目標信息獲取不精確等因素時，基于零化曲率和撓率變化率的思想，設計攔截高速高機動目標的三維制導律，是下一步研究的重點。

［1］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.北京:高教出版社，2000.

［2］Chiou Y C，Kuo C Y.Geometric approach to three-dimensional miss guidance problem［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1998，21(2):335-341.

［3］Kuo C Y，Chiou Y C.Geometric analysis of missile guidance command［J］.IEEE Procontrol Theory and Application，2000，147(2):205-211.

［4］Kuo C Y，Chiou Y C.Geometric analysis of flight control command for tactical missile guidance［J］.IEEE Transaction on Control System Technology，2001，9(2):234-243.

［5］Guelman M and Shinr J.Optimal guidance law in the plane［J］.AIAA Journal Guidance and Control Dynamic，1996，7(4):471-476.

［6］雷虎民.導彈制導與控制原理.［M］.北京:國防出版社，2006.

［7］Ghose D.True proportional navigation with maneuvering target［J］.IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems，1994，30(1):229-237.

［8］李超勇，等.空間微分幾何制導律應用研究［J］.宇航學報，2007，28(5):1235-1240.

［9］Li Chao-yong，et al.New results on three-dimensional differential geometric guidance and control problem［C］//AIAA Guidance Navigation and Control Conference and Exhibit.2006:6086-6096.

［10］Li Chao-yong，Jing Wu-xing.Application of PID controller to 2D differential geometric guidance and control problem［C］//Proceeding of the 25th Chinese Control Conference.2006:1953-1958.

［11］Ariff O，Zbikowski R，Tsourdos A，et al.Differential geometric guidance based on the involute of the target＇s trajectory［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2005，28(5):990-996.

［12］張友安，胡云安，林濤.導彈制導的魯棒幾何方法［J］.控制理論與應用，2000，20(1):13-20.

［13］張友安，胡云安，蘇身榜.三維制導的幾何方法和魯棒幾何方法［J］.航空學報，2002，23(1):88-90.

［14］侯明善，繆雪佳，陳新海.比例導引導彈一體化制導控制系統設計［J］.西北工業大學學報，1994，12(4):577-581.

［15］尹永鑫，楊明，吳鵬.針對機動目標帶攻擊角約束的三維制導律［J］.固體火箭技術，2010，33(3):237-241