有限差分強度折減法中融合蒙特卡洛思想的邊坡可靠性分析

陳 欣，付建軍，趙海斌，黃太平，時 凱

有限差分強度折減法中融合蒙特卡洛思想的邊坡可靠性分析

陳 欣1，付建軍2，趙海斌2，黃太平2，時 凱3

（1．武漢船舶職業技術學院船舶工程系，武漢 430050；2．中國水電顧問集團中南勘測設計研究院，長沙 410014；3．中國科學院武漢巖土力學研究所，武漢 430071）

可靠性分析是邊坡工程研究的熱點之一，但目前基于強度折減方法的邊坡可靠度分析研究較少，文章主要是在有限差分強度折減法基礎上融合蒙特卡洛思想進行邊坡可靠性分析。其研究思路為：首先詳細概述了邊坡可靠性分析原理及邊坡可靠度分析統計模型；其次，介紹了有限差分強度折減法及蒙特卡洛思想，并將蒙特卡洛思想引入邊坡有限差分強度折減模型，利用FLAC3D內置fish語言編制了相應計算程序，使此模型數值計算得以實現；最后，對某巖體力學參數（粘聚力、內摩擦角）服從正態概率分布的簡單邊坡進行了安全系數計算，且對計算結果進行了統計分析、可靠性評價。其研究方法將為工程巖體邊坡可靠性分析提供一定參考價值。

可靠性分析；強度折減法；蒙特卡洛思想；正態概率分布

1 概 述

隨著我國高鐵、公路、水電站、礦山建設的迅速發展，大規模的巖體邊坡工程開挖推動了我國邊坡工程支護設計和施工的進步。邊坡穩定性分析［1－3］也逐漸成為眾多學者研究的熱點，

邊坡穩定分析主要包括確定性分析方法［4，5］和可靠度［6－8］設計方法2種。確定性分析法是在假定坡體材料參數粘聚力、內摩擦角等為一個定值的基礎上，根據極限平衡法或強度折減法［9，10］基本步驟進行力學求解獲得安全系數，接著通過分析安全系數大小來判定邊坡安全狀態。其缺點在于忽略了巖體材料參數的隨機性和變異性，采用定值的材料參數來評價邊坡安全性。可靠度［6－8］設計方法就是以隨機事件和隨機過程為對象來研究巖土工程問題，即認為巖體材料參數服從某一概率分布的前提下，以極限平衡法或強度折減法為理論基礎，運用數學統計方法獲得邊坡安全系數的概率分布。該方法在很大程度上可以改善和彌補確定性方法的不足。在同樣的設計計算模型條件下，用可靠度的設計方法代替確定性的安全系數法，必將使計算結果更符合實際。

有關邊坡的可靠性分析，國內外有一定探索研究，也取得了一定成果，但大部分邊坡安全系數可靠性研究主要集中在極限平衡法［6－8］，這是因為極限平衡法中安全系數可用一個線性的函數表述其與材料參數（粘聚力、內摩擦角）的關系，故安全系數的概率分布也可由材料參數的概率分布線性求解。與之相反，盡管在某些方面強度折減法計算安全系數的優勢大于極限平衡法，但是強度折減法可靠性分析研究仍相對較少，這是因為強度折減法計算的安全系數與邊坡巖體材料參數可能不再是簡單的線性關系，理論關系式推導過程也相對復雜。因此，本文主要研究基于有限差分強度折減法的邊坡可靠性。

2 邊坡可靠性分析原理

2．1 可靠性定義

邊坡可靠性，指在規定的條件和規定的時間內，完成預定功能的能力。為了把可靠性作為邊坡工程量化指標，引入可靠度［6，11］概念，即在規定的條件下和規定的時間內，完成預定功能的概率。評價邊坡可靠度是把安全系數作為隨機變量，從定量化的意義上講，即在規定的條件下和規定的時間內，安全系數大于某一規定值的穩定概率，取值范圍是在閉區間［0，l］。

2．2 邊坡可靠度分析統計模型

2．2．1 極限狀態

整個結構或結構的一部分超過某一特定狀態就不能滿足設計規定的某一功能要求，這一特定狀態稱為該功能的極限狀態。如果用隨機向量X（X1，X2，…，Xn）表示邊坡的基本隨機向量，用g（X）描述邊坡的狀態性能，稱為邊坡功能函數，則邊坡的工作狀態可表示為

式（1）把邊坡工程系統分成3種狀態，即：

Z＝g（X）＞0，邊坡工程處于可靠狀態；

Z＝g（X）＝0，邊坡工程達到極限狀態；

Z＝g（X）＜0，邊坡工程處于失效狀態。

下面詳細介紹Z＝R－S的干涉理論及破壞概率。式中R為結構構件抗力值或抗滑力，S為結構構件設計值或滑動力。

2．2．2 干涉理論及破壞概率

我們研究結構抗力值R和結構設計值S兩個隨機連續變量所構成的聯合事件概率分布。依據聯合分布的定義，有

因R和S皆非負值，故積分下限均取作“0”。f（r，s）為隨機變量R和S的聯合密度函數，若R和S相互獨立，則

概率元素f（r，s）d r d s＝p（r＜R≤r＋d r，s＜S≤s＋d s）而

圖1 f（r）與f（s）干涉Fig．1 f（r）and f（s）interference

圖1 中可見，盡管結構抗力值R的均值ur遠大于結構設計值S的均值us，但因2個隨機變量的密度函數曲線有交叉，形成重疊部分即干涉區，在干涉區內，既有結構抗力值大于結構設計值的可能，也有結構抗力值小于結構設計值的可能。而出現后一種情況，則邊坡破壞，其破壞概率為

相應的可靠度，即邊坡能夠完成預定功能的概率為

由于（R＜S）與（R＞S）是互逆事件，故Pf＝1－Ps，一般來說，邊坡工程中，破壞概率可以分別由3個等價事件的概率來表示：

本文定義邊坡巖體臨界塑性屈服破壞時粘聚力c0和內摩擦角φ0為結構設計值S，邊坡巖體固有強度參數粘聚力c和內摩擦角?為結構抗力值，定義有限強度折減法下邊坡狀態方程為

3 有限差分強度折減法

強度折減法認為在外荷載保持不變的情況下，邊坡失穩破壞主要為巖體的剪切破壞。將邊坡的安全系數定義為巖體自身固有抗剪強度與抵御外荷載所發揮的最低抗剪強度之比，安全系數具有明顯的強度儲備的意義。

強度折減系數法的基本步驟是將巖體參數粘聚力c和內摩擦角φ必須同時除以一個折減系數F，得到一組新的c′和φ′值，然后作為新的材料參數代入數值計算程序進行試算，當邊坡處于臨界狀態時，也即F再稍大一些，邊坡將發生破壞，對應的F被稱為邊坡的穩定性系數，此時土體即將發生剪切破壞，即計算結果是指達到臨界狀態時的折減系數F。

強度折減法在FLAC3D實現的流程見文獻［12］。

4 融合蒙特卡洛法思想的邊坡穩定可靠性研究

4．1 蒙特卡洛法基本原理

蒙特卡洛法又稱隨機模擬法或統計試驗法，是一種依據統計抽樣理論，利用計算機研究隨機變量的數值計算方法。

蒙特卡洛法是從概率的角度出發求解失效概率的，它從同一母體中抽取簡單子樣來做抽樣試驗。根據簡單子樣的定義，若隨機事件A發生的概率p（A），在N次獨立試驗中，事件A發生的頻率數為M，令X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機的獨立變量，由切貝雪夫大數定理可知，當N足夠大時收斂于而頻率收斂于p（A）。這就是蒙特卡洛法的理論基礎，原理簡單、概念明確。用蒙特卡洛法求解某一事件發生的概率時，需要進行大量的統計試驗，通過抽樣試驗的方法得到該事件出現的頻率。隨著高速電子計算機的發展，為蒙特卡洛方法提供了強有力的模擬計算工具，在工程界的應用越來越廣。

4．2 有限差分強度折減法中蒙特卡洛思想實現

蒙特卡洛法應用到邊坡工程的基本思想是先建立邊坡的功能函數和極限狀態方程（見式9），本文直接將強度折減安全系數Fs為功能函數，產生符合分布函數變量的一組隨機數x1，x2，…，xn，把它帶入狀態函數Fs＝g（x1，x2，…，xn）計算狀態函數的一個隨機數值F*，確定其在基本變量空間中屬于破壞區還是安全區，即F*與1．3的關系，當F*＞1．3時，認為安全；F*≤1．3時，發生破壞。如果在N次模擬中M次落在破壞區，當N足夠大時，此時的頻率已近似于概率，得到邊坡的破壞概率

蒙特卡洛法不需要將巖體參數的概率分布函數代入本構方程、幾何方程、平衡方程進行力學推導，即無需微分、積分求解，它通過建立數學模型，進行大量簡單、重復的抽樣模擬試驗，蒙特卡洛法最大優點在于不論極限狀態方程如何復雜，只要有足夠多的模擬次數，隨機數序列足夠大，就能得到一個相對精確的失效概率值。

本文基于蒙托卡洛法基本思想，在結合有限差分強度安全系數的計算流程基礎上，通過采用flac3d內置語言fish編制程序［13］，使邊坡可靠度分析得以實現。詳細流程見圖2。

圖2 蒙特卡洛邊坡可靠性分析流程Fig．2 Process of slope reliability analysis using Monte Carlo method

5 算例分析

5．1 簡單均質邊坡模型

為便于計算討論，假定某邊坡高度12m，邊坡坡頂至坡腳水平距離為10 m，假定邊坡巖體粘聚力c服從均值uc＝38 kPa方差σc＝0．3的正態分布，內摩擦角φ服從均值u?＝22°方差σ?＝0．3的正態分布，變形模量E0＝800 MPa，泊松比為0．3。見圖3。

5．2 數值計算模型

本次模擬主要任務是進行蒙特卡洛法邊坡可靠性分析。因此，綜合考慮計算機模擬速度及模擬計算結果精確性等各方因素，在數值模型建模過程中進行了以下細化（圖3）：第一，按平面應變問題來考慮；第二，為了較準確獲得安全系數大小，強度折減法精度控制在0．02；第三，邊坡模型底部、左右邊界、前后邊界施加法向位移約束；第四，整個數值模型區域材料屬性值相同；第五，為了較準確獲得邊坡穩定概率，模擬次數分別為200，500，1 000。

圖3 算例邊坡模型Fig．3 Slopemodel of calculation case

5．3 計算結果可靠性分析

數值計算的步驟為：根據粘聚力c及內摩擦角φ概率分布特征隨機產生N組計算方案（c1，φ1），（c2，φ2），…，（cN，φN），然后將N組強度參數代入有限差分強度折減法模型進行計算，各安全系數結果見圖4至圖6及表1。

圖4 N＝200安全系數頻率直方圖Fig．4 N＝200 frequency histogram of safety factors

圖5 N＝500安全系數頻率直方圖Fig．5 N＝500 frequency histogram of safety factors

圖6 N＝1 000安全系數頻率直方圖Fig．6 N＝1 000 frequency histogram of safety factors

表1 安全系數概率分析表Table 1 Probability analysis of safety factors

由圖4至圖6可知，此算例邊坡安全系數均值為1．696 1～1．702 5，破壞概率為3．8%～5%，不同試驗次數下安全系數任近似服從正態分布。表1顯示，隨著試驗次數的增加，安全系數均值及破壞概率變化不大，當試驗次數達到1 000時，安全系數均值及破壞概率基本不再變化。故可認為該算例邊坡安全系數為1．7，破壞概率為5%，該邊坡穩定概率為95%。

6 結 論

傳統上，一直以安全系數作為邊坡工程穩定性的評價指標，然而，安全系數不是一個常數，而是一個由設計因素的變異性所決定的隨機變量。本文在闡述邊坡可靠性分析原理的基礎上，提出了集強度折減、蒙特卡洛思想于一體的邊坡可靠度分析方法，

并利用FLAC3D軟件的內置語言fish使其在程序上得到了實現。經算例可靠性分析，驗證了該方法的有效性。同時，該方法為邊坡可靠性分析的理論與工程實踐提供了一條新的途徑，具有廣泛的應用前景及一定的參考價值。

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［13］Itasca Consulting Group Inc．．FLAC3D（Version 2．1）Users Manual［R］．［S．l．］：Itasca Consulting Group Inc．，2003．

（編輯：曾小漢）

Analysis of Slope Reliability by Finite-Difference Strength-Reduction M ethod Considering the Thought of M onte Carlo M ethod

CHEN Xin1，FU Jian-jun2，ZHAO Hai-bing2，HUANG Tai-ping2，SHIKai3
（1．Wuhan Institute of Shipbuilding Technology，Wuhan Hubei 430050，China；2．Mid-South Design and Research Institute，China Hydropower Engineering Consulting Group Co．，Changsha，Hunan 410014，China；3．Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，China）

Reliability analysis is one of the hot topics in the research of slope engineering．The authorsmainly ana-lyzed slope reliability based on finite-difference strength-reduction method considering the thought of Monte Carlo method．The principle and statisticalmodel of slope reliability analysis are elaborated at first．Second，the finite-difference strength-reduction method and the thought of Monte Carlo method are summarized，then the thought of Monte Carlomethod is introduced into the finite-difference strength-reductionmodel．Based on this，numerical cal-culation of themodelwas realized and the corresponding calculation program was developed by FISH language built-in FLAC3D．Finally，safety factor of a slope，whose rock massmechanical parameter followed normal probability distribution，is calculated．The calculation resultswere analyzed statistically and its reliability is evaluated．

reliability analysis；strength-reduction method；Monte Carlomethod；normal probability distribution

TU443

A

1001－5485（2011）04－0036－05

2010-04-30

陳 欣（1976-），女，湖北武漢人，副教授，主要從事土木工程教學與研究，（電話）13407162229（電子信箱）26719402＠qq．com。