隨機弱大數定律和弱大數定律的充要條件

王 瑤

（太原工業學院理學系，山西太原 030008）

隨機弱大數定律和弱大數定律的充要條件

王 瑤

（太原工業學院理學系，山西太原 030008）

討論了任意隨機變量序列的弱大數定律，得到了隨機變量序列分別服從隨機弱大數定律和弱大數定律的充要條件，以及獨立隨機變量序列服從弱大數定律的相關結果。

隨機變量序列；隨機弱大數定律；弱大數定律

1 引言和引理

引理1［2］設η是隨機變量，g（x）是定義在［0，∞）的有界的不減函數，在0的右領域取正值，g（+0）=g（0）=0，則對于每個正數ε，有P（｜η｜≥ε）≤［g（ε）］－1Eg（｜η｜）。

證明 由已知條件知，對于每個正數ε，g（ε）＞0，則

其中，Fη（x）是η的分布函數，從而引理1得證。

引理1是文獻［2］第33頁命題1.2.2的推廣。

引理2設η與g（x）是同引理1，則對于每個正數ε，有

證明

其中Fη（x）是η的分布函數，引理2得證。

引理2是文獻［2］第33頁命題1.2.3的推廣。

2 定理及證明

定理1設｛Xk；k≥1｝是隨機變量序列，每個EXk都存在，｛Un；n≥1｝是取正整數值的隨機變量序列，則｛Xk；k≥1｝，依｛Un；n≥1｝的隨機弱大數定律成立的充要條件是：存在定義在［0，∞）上的有界不減函數g（x），在0的右領域取正值，g（+0）=g（0）=0，使

證明 對于每個正數ε及滿足定理1條件的g（x），由引理1和引理2得到

從而得到

由此定理1得證。

推論1在定理1中，令Un=n，n≥1，得到｛Xk；k≥1｝服從弱大數定律的充要條件是：存在定義于［0，∞）的有界不減函數g（x）在0的右領域取正值，g（+0）=g（0）=0，

使Eg（｜Yn｜）→0，（n→∞），

定義1稱隨機變量序列｛Yn；n≥1｝是弱穩定的，如果存在常數序列｛an；n≥1｝和｛bn；n≥1｝，0＜an↑∞，使得

定理2對于獨立的隨機變量序列｛Xn；n≥1｝，存在常數列｛an；n≥1｝，0＜an↑∞。使得

的充要條件是：

注：

證明

充分性由（3）式對于任意給的δ＞0，

因此

由（4）式得到

由（2）式得到

因此，

結合（5）式和（6）式，得證（1）式成立。

必要性由引理3，我們只需要證明Xnk=Xk/an滿足無窮小條件即可。

對于一切的k＜N，存在N′=N′（ε，δ），使得n＞N′時，

而當n≥N時，對于任意的n≥k，

得到：

結合（7）和（8）式得證無窮小條件滿足，從而定理證畢。

推論2：如果｛Xn；n≥1｝是獨立同分布隨機變量序列，那么存在常數序列｛bn；n≥1｝使

成立的充要條件是

nP（｜X1｜≥n）→0。

此bn=E｛X1I（｜X1｜＜n）｝+ο（1），特別地，如果附加條件

E｛X1I（｜X1｜＜n）｝→0，

則（9）式中的bn可取作0。

［1］吳紹敏.非獨立變量的隨機大數定理［J］.華僑大學學報：自然科學版，1981（1）：1－5.

［2］Laha R G，Rohatgi V K.Probability Theory［M］.America：John Wiley＆Sons，1979.

［3］張尚志.關于弱大數定律的充要條件［J］.數理統計與應用概率，1993（3）：61－65.

［4］林正炎，陸傳榮，蘇中根.概率極限理論基礎［M］.北京：高等教育出版社，1999.

〔編輯 高海〕

Necessary and Sufficient Conditions of Stochastic Weak Law of Large Numbers and Weak Law of Large Numbers

WANG Yao
（Department of Maths and Physics，Taiyuan Institute of Technology，Taiyuan Shanxi，030008）

In this paper，the author discusses weak law of large numbers for the arbitrary sequences of random variable，obtains the necessary and sufficient conditions，which random variables follow stochastic weak law of large numbers and weak law of larger numbers respectively and also gets some relevant results of weak law of larger numbers for independent random variables.

random variable sequences；stochastic weak law of large numbers；weak law of larger numbers

O211.4

A

1674－0874（2011）04－0010－03

2011－03－20

山西省高校科研開發項目［2010131］

王瑤（1979－），女，山西長治人，碩士，講師，研究方向：最優化原理與方法。