磨削硬齒面大內齒圈的橢球形蝸桿砂輪研究

孫洪勝 李宇鵬 張世珍 趙永昌 崔云起 王海艷

(①燕山大學，河北秦皇島 066004;②北京工研精機有限公司，北京 100102)

用球形或橢球形滾刀加工內齒圈［1－2］解決了制造業中的棘手問題，然而重型裝備中的大模數內齒圈是硬齒面，因此探討磨削大模數硬齒面內齒圈是亟待解決的問題之一。文獻［2］提出了球形蝸桿砂輪，給出了球形砂輪的基本參數。但是，若球形砂輪當量齒輪齒數增大，球形砂輪尺寸、重量和制造誤差也增大［1，3］，這對球形砂輪的制造和使用將產生較大的制約。

本文提出橢球形蝸桿砂輪，用其替代球形蝸桿砂輪實現連續分度展成磨硬齒面大型內齒圈。參數規格相同時，橢球砂輪比球形砂輪尺寸小，研究表明，橢球砂輪比球形砂輪能更高效、精確、經濟地磨削內齒，是前景更好的新型砂輪。

1 橢球蝸桿砂輪的螺旋面方程

1.1 砂輪坐標系與工具坐標系的轉換

無論是金屬坯橢球砂輪(附金剛石磨粒層)還是剛玉橢球砂輪，都涉及橢球蝸桿的生成(加工)，因此，要推導出砂輪修整器坐標系與蝸桿坐標系的轉換關系，各坐標系的關系如圖1所示。

圖1中σ(o－xyz)為固定坐標系，其x軸與蝸桿軸線重合;坐標系σg(og－xgygzg)與砂輪修整器(在專用機床上)固連;坐標系σs(os－xsyszs)與橢球蝸桿固連;σg坐標系先經輔助坐標系σf(of－xfyfzf)向σ坐標系轉換，再由σ坐標系向σs坐標系轉換得到:

則得到蝸桿砂輪與修整器之間的坐標轉換矩陣:

式中:α為橢球砂輪轉角;β為砂輪修整器的轉角，β=α/Z0;Z0為橢球砂輪軸向當量齒輪齒數;L為砂輪中心與修整器中心的偏離量。

1.2 橢球基螺旋面方程

p(xg，yg，zg)=(0，0，R)為橢球螺旋線上任一嚙合點，由式(1)得球基螺旋線方程為

式中:R為經點p的一個截面圓，其圓心oh到點p的距離在水平面上投影值。

如果橢球砂輪法剖面齒輪為漸開線齒廓，則在xgogzg坐標面內的當量齒輪齒廓方程為

式中:r0b為橢球砂輪當量齒輪基圓半徑;ψ為自變量;λ為橢球砂輪當量齒輪齒廓參變數，λ=invγ+π/(2z0);γ為軸剖面齒形角。

將式(3)代入式(1)就可推導出當量齒輪為漸開線齒廓的橢球基空間螺旋面方程為

1.3 橢球砂輪的螺旋線升角

如圖2所示，p為橢球螺旋面上任一點，其所在的螺旋線方程為式(2)，點p在xoz內的投影點為ph(，)，也即op=R(R為p所在水平面圓半徑);由hhh圖示幾何關系不難求出點p的矢量式，對點p的矢量式求導，就得到其切向矢量式為

與式(5)所對應的方程組為

圖2中，過點p的端截圓在點p的單位矢量為rop=sinαj+cosαk，對點 p的單位矢量求導，得到點 p單位矢量的切線方程為

定義r′p與r′op的矢量夾角ωn為點p所在橢球面螺旋線的螺旋升角，其解析式為

由余弦與正弦的關系及R=m0Z0/2可得:

式中:m0為橢球砂輪的軸向當量齒輪模數。當β=0時，有ωn=ω0，稱ω0為螺旋線的名義升角;此時點p位于最大直徑處。因此，若減小β和L值，增大R值就會使ωn值減小，而ωn值越小，橢球砂輪的理論誤差越小。

2 橢球砂輪的法向等值周節

2.1 法向不等值周節對磨齒的影響

橢球砂輪法剖面的齒輪稱為法向當量齒輪，其齒形稱為法向齒形。由于橢球砂輪螺旋線升角沿軸向變化，螺旋線升角越大，其與名義螺旋線升角的差值越大，所以橢球砂輪的法向當量齒輪理論上是一個不等周節的非圓齒輪，而且每個齒的齒形也不相同［2］。然而，對內齒圈磨削加工精度影響最敏感、最大的是砂輪法向當量齒輪的周節誤差，所以，要探討把法向不等值周節轉化為法向等值周節的實用方法，為此，要從與不等值周節相關的幾何量之間的關系著手研究。

橢球砂輪磨削大內齒圈的過程相當于其當量齒輪與大內齒圈的嚙合過程，當磨削直齒內齒圈時，砂輪軸線需傾斜一個安裝角ω0。砂輪法向坐標系與軸向坐標系相對關系如圖3所示。

軸向坐標系向法向坐標系轉換的矩陣為

將式(2)代入式(10)可得到:

令式(11)中yn=0，可整理出:

螺旋線繞砂輪軸線的升程規律如圖4所示。螺旋線的第1、2、3 圈與法剖面的交點分別為 a、b、c，弧長就是欲求的法向周節，即(mn為橢球砂輪法向當量齒輪模數)。從圖幾何關系知，以及=(Rcosβ －L)(2π － α)顯見，橢球砂輪的法向周節誤差產生的基本原因是其螺旋升角值與名義螺旋升角值不相等。

2.2 法向等值周節的形成方法

要提高橢球砂輪磨齒質量，就要消除其法向齒輪周節的變化，并減小法向齒形的變化。因此，要找出消除法向周節誤差的方法，即探討α、β在何條件下變化可實現砂輪法向周節保持等值。由前述各弧長之間的幾何量關系易得出:

式中，R、L為常數。要使橢球砂輪法向周節保持常值，只能在橢球蝸桿的制造過程中找方法。由式(13)可知，當橢球蝸桿轉過α角時，為使πmn值不變，加工工具在轉過β角基礎上應再增加或減少一個附加轉角Δβ，即實際轉過 β′=β ± Δβ，右旋蝸桿取“－”。β′或Δβ值由式(13)解出。法向周節等值也能使法向齒形差減小。稱這種修正方法為“差動轉角法”。

2.3 差動轉角計算實例［4］

在自行改造的專用數控機床上加工4種橢球蝸桿［4］，蝸桿轉過第1、2、3圈時，工具的理論轉角分別為β1、β2、β3;所對應的差動轉角分別為 β′1、β′2、β′3，其結果見表1。

表1 滿足法向齒輪等周節的β′值

3 法剖面當量分度圓的圓度控制

3.1 法剖面分度圓的圓度

橢球砂輪法剖面是個橢圓齒輪，其圓度誤差會造成被磨削齒輪的齒形誤差，用橢圓齒輪的當量分度圓與標準分度圓的差值表示法剖面的“圓度”。橢球砂輪法剖面的當量分度圓曲線可由式(2)求得，其坐標系可參見圖2。

設點p(x0，y0，z0)為螺旋線上任一動點，由式(10)得到點p在法向坐標系的坐標為

令yn=0，并依據與式(2)的對應關系可求得砂輪的橢球面在其法向面的投影方程為

由上述可知，法剖面內的圓度誤差隨法剖面當量齒輪齒數zn增大而減小，隨著偏離量L值增大而增大。因此，設計時應綜合考慮zn和L值。當L=0時，橢球砂輪成為球形砂輪，理論上講，球形砂輪不存在法剖面內圓度誤差［3］。

3.2 法剖面圓度誤差量計算

依據yn=0與式(14)可得到:

因為ω0、L、R通常為常數，任給一個β就可由式(16)解出一個α，再將β和α代入式(15)就可求出橢球面上一個點的坐標。如果給出一系列β和α值，就可得到橢球體的法剖面截曲線，該截曲線理論上是以距橢球幾何形心距離為L的一點為圓心，以R為半徑的圓弧［2］。如果用ΔR表示圓度誤差值，計算式為:

通過計算結果可知，距離z軸越近的點其圓度誤差越小［4］，也就是說橢球砂輪的軸向尺寸越小(砂輪越短)，其圓度誤差越小。

4 結語

提出了橢球形蝸桿砂輪，闡述了橢球砂輪磨削硬齒面大內齒圈的機理，歸納出橢球砂輪比球形砂輪更優勢依據。通過坐標變換求得橢球砂輪螺旋面方程，給出橢球砂輪螺旋升角計算式，指出螺旋升角越小，橢球砂輪幾何誤差越小。由于橢球砂輪螺旋升角大于球砂輪螺旋升角，所以，橢球砂輪在誤差控制方面難于球形砂輪。

探討了橢球砂輪兩個棘手問題:法剖面當量齒輪周節的不等值性;法剖面當量分度圓的圓度誤差。給出了在橢球砂輪制造過程用“差動轉角法”將法向不等值周節轉化為等值周節的方法。給出了控制法剖面圓度誤差的措施。

［1］崔云起，胡占齊，李宇鵬.球形滾刀的理論研究［J］.機械工程學報，1996，32(2).

［2］崔云起，胡占齊，王海艷，等.橢球形滾刀若干理論問題［J］.工具技術，2009，43(8).

［3］李宇鵬.球形蝸桿砂輪的磨齒原理及其球基螺旋面參數［J］.機械工程學報，2002，38(6).

［4］崔云起，胡占齊，等.球形及橢球形滾刀及其數控鏟磨機床究［J］.機床與液壓，2009，37(12).