基于Daubechies小波和工件面形誤差的機床導軌誤差相關性分析*

陳東菊 范晉偉 張飛虎

(①北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124;②哈爾濱工業大學機電工程學院，黑龍江哈爾濱 150001)

對于機床這種復雜而龐大的結構，其加工精度受到機床幾何誤差、熱誤差、切削力以及外界環境等多個誤差源的影響，幾何運動誤差(如導軌直線度，主軸偏擺誤差等)主要引起加工結果的低頻誤差，振動誤差(如切削力誤差)等主要引起加工結果的高頻誤差。誤差源辨識技術是利用現代科學技術手段，根據機床的誤差信息及機床的工作狀況，確定誤差的性質、程度、類型及產生的部位和機理。辨識方法主要有兩種:一種是基于檢測儀器的誤差辨識;一種是基于工件檢測數據的誤差辨識。目前對機床誤差的辨識，大部分還是利用第一種辨識方法。如用球桿儀檢測機床熱誤差［1］，激光干涉儀用于機床誤差的測量［2］，平面正交干涉測量［3］等。這種方法有一定的弊端，它基本上都是針對靜態或準靜態誤差進行測量的，難以辨識出切削過程中的動態誤差，對于可直接測量的誤差，會引入單項檢測誤差;不能直接測量的誤差，通過對直接可測誤差測量來推導其誤差，這樣會引入大量推導誤差，這些都會對加工結果帶來大的影響。Cheung等［4］和Kim等［5］基于工件檢測數據對機床誤差進行辨識，但他們的研究只單從頻域對信號進行傅里葉變換，假設信號是平穩的，其頻譜是非時變的。但對于機械振動信號，具有明顯的時變非平穩性，其頻譜時間有較大變化［6］，這樣單從頻域確定機床誤差源的方法已不再適用。

機床加工的實際檢測結果表明，加工工件的表面形貌包含各頻率范圍的低頻信號和高頻信號。針對這種表面形貌信息，提出一種基于小波變換和特征相關性分析的辨識模型。小波變換是在時間和尺度平面上描述的，是一種多分辨率的分析方法，最大的優點是在時域和頻域同時具有很好的局部化性質，既能對信號中的短時高頻成分進行準確定位，又能對信號中的低頻緩變成分進行精確的趨勢分析。可以利用小波的變焦特性，觀察和分析在不同尺度下的工件表面形貌。數理統計中，確定兩個隨機信號之間的相關聯程度，一般用相關性函數進行分析［7］。L.Andren 等［8］利用結構特性間的相關性來辨識連續鉆孔加工中切削機床的振動信號。Adam G等［9］把選擇區域的相關性分析用于機床的故障診斷中。印度學者［10］利用互相關性來支持向量機對腦電圖信號進行分類。對于分解出的各種信號的特征分析，因為相關函數是對兩個隨機信號相關性的測度，這里采取兩種信號的互相關函數進行分析。仿真結果證實提出的基于小波變換與相關性分析的誤差辨識方法有效。

1 小波變換原理及檢測信號分解

1.1 Daubechies小波變換原理

小波變換是一種信號的時間、尺度(時間—頻率)的分析方法，具有多分辨分析的特點，且在時、頻域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可改變的時頻局部化分析方法。它的實質是將信號向一系列小波基上進行投影，包括離散小波變換和連續小波變換［11］。離散小波變換理論主要建立在多尺度分析或濾波器的基礎上，相對而言，連續小波變換在對信號細微變化的探測時更靈敏。不同類型的小波如Daubechies小波、Haar小波、樣條小波和Mexican Hat小波等都已用于信號處理的研究中。值得注意的是，具有緊支集的正交小波無論在理論上還是在應用中都有特別重要的意義，尤其在數字信號的小波分解過程中可以提供有限長的更實際更具體的數字濾波器，因而使得緊支集正交小波更具重要性。由于Mexican Hat小波不具正交性、樣條小波支集非緊，Haar小波雖支集緊且正交，但非連續導致頻域局部性差，因此導致它們在許多實際應用中受到限制。而具有不同緊支集的Daubechies小波由于其支集緊、正交、又具有一定的光滑性［12］，自提出后就受到廣泛重視。

法國學者 Daubechies(1988)［12］對尺度為2整冪條件下的小波變換進行了較深入的研究，提出一類具有以下特點的Daubechies小波:

(2)在頻域上y(w)在w=0處有L階零點。

(3)y(t)和它的整數位移正交歸一，即∫ψ(t)ψ(t－k)dt=δk。

(4)小波函數y(t)可以由尺度函數f(t)求出。f(t)在時域上的緊支集為:t∈［0，N］，N=2L－1，且有:

(5)y(t)是f(2t)的位移加權和

可見，y(t)在時域上的緊支集為:t∈［1－L，L］。

(6)尺度函數是低通函數，其濾波器系數為hn(n=1，1…，N)，對應于小波函數y(t)的高通濾波器系數gn為

在文獻［12］中，Daubechies給出了L從2到10的9種濾波器系數。根據濾波器系數為hn和gn，不難由方程(1)和(2)求出Daubechies尺度函數和小波函數。

在尺度空間Vj，函數f(x)的大尺度逼近部分可以表示為

同理，在小波空間Wj，函數f(x)的細節部分可以表示為

式 中:j為是任意尺度;cj，k為尺度展開系數;dj，k為小波

表1 不同尺度下不同小波的分解誤差

根據Mallat快速算法［13］，對任意函數f(x)∈V0函數空間，可將其分解為細節部分W1和大尺度逼近部分V1，然后將大尺度部分進一步分解。如此重復就可得到任意尺度或分辨率上的逼近部分和細節部分。設尺度0上的尺度系數為c0，k，可按如下分解公式計算任意尺度下的尺度系數和小波系數:

根據分解的尺度系數和小波系數，通過設定除某一尺度下的小波系數或尺度系數不為0而其他尺度下的小波系數或尺度系數為0，然后按式(6)重構信號到0尺度，便得到在設定尺度下的根據原始信號分解得到的細節信號或概貌信號。

式(7)～(9)中的濾波器系數hn、gn可由不同緊支集的Daubechies小波濾波器給出［12］。根據式(6)，可見，原始信號x(t)(t=1，2，…NT)通過 Daubechies小波Mallat分解與重構算法后便為展開系數。

若將f(x)∈L2(R)按空間組合Wj⊕Vj展開(數學異或符號，兩個值相異結果為真)，則:

設原始信號不同緊支集Daubechies小波分解的誤差En為

可見不同的DauN小波將給出不同的濾波器系數hn，gn，從而給出不同分解的誤差為En。

將面形檢測信號代入公式(6)進行Daubechies小波變換，得到尺度和小波系數，同時，也可以得到不同的Daubechies小波分解誤差。表1給出了根據公式(11)得出的不同尺度上不同小波分解的誤差。它表明，緊支集為［0，1］的Dau1小波具有最小分解誤差，緊支集為［－9，10］的Dau10小波引起的分解誤差最大，緊支集為［－4，5］的Dau5小波分解誤差第二大。對于同一類型小波，基本趨勢是分解尺度越大，分解誤差越大，比如 Dau(2－4)，Dau(7－9)。Dau10，Dau5和Dau6小波分解誤差相對比較大，在尺度2到4有最大誤差。

1.2 工件加工及其面形檢測

本文用兩軸立式超精密數控機床加工一直徑為10 mm的平面，工件材料為LY16，主軸轉速為110 r/min，背吃刀量為15 μm，進給量為2 mm/min。機床結構如圖1所示，包含X向導軌和Z向導軌。利用PGI1240輪廓儀對加工工件面形精度進行檢測，檢測結果如圖2所示。

對于加工工件的檢測信號，是含有多個誤差綜合作用的信號，這些信號相互作用、相互干擾，給誤差源信號的辨識造成了很大困難。每一種誤差源都對應特定的特征和頻率成分，需要通過適當的信號處理方法將單一頻率成分和特征分離出來，從而找出特定誤差源。如何從混合誤差信號中辨識出主要誤差源信號，是機床加工精度提高的關鍵。

1.3 基于小波變換的工件檢測信號分解

利用Db1小波將檢測的工件信號分解到不同的頻段上，然后在不同的頻段范圍內對檢測信號進行分析，找出需要的頻段進行重構，再進一步分析信號突出部分特征。首先，利用Db1小波把檢測信號進行5層分解，小波分解結果如圖3所示。

加工工件的檢測結果是各個頻段的誤差源綜合，因此檢測結果x(t)可以表示為

第一部分s1(t)由各低頻信號成分疊加構成:

第二部分為各高頻信號的疊加即原始信號和第一部分信號分量的差信號:

把x(t)代入公式(6)中進行小波變換，提取有用的信息得到不同尺度上的小波系數，小波系數代表不同頻段誤差源的誤差形狀，并且分解出低頻部分信號s1(t)和高頻部分信號s2(t)，不同的信號對應不同的頻率段。對分解出的每個頻段的信號與機床誤差源對映，所應用方法為相關性分析，根據相關函數值推導出對加工結果影響大的機床誤差源。

2 相關性分析原理

相關分析法主要是用來分析某些因素之間是否關聯，關聯程度多少的方法［14］。機床的加工精度是對誤差源的間接反映。加工結果中包含了多少誤差源，與每個原始誤差源的相關聯的程度用相關函數來進行分析。相關函數分為自相關函數和互相關函數。

2.1 自相關函數

自相關函數Rxx(τ)是度量一個變化量或隨機過程在t和t－τ兩個時刻線性相關的統計參量，它是t和t－τ兩點的時間間隔τ的函數，定義為

分析表明，自相關函數具有下列性質:

(1)Rxx(τ)=Rxx(－τ)，即Rxx(τ)為τ 的偶函數。

(2)Rxx(τ)在原點τ=0處最大。并且Rxx(0)代表x(t)變化量的平均功率。

(3)若變化量x(t)不包含周期性分量，則Rxx(τ)代表x(t)變化量的平均功率。

(4)若變化量x(t)為規則函數，即包含有周期性信號分量，則自相關函數Rxx(τ)也將包含有周期性信號分量。

2.2 互相關函數

互相關函數Rxy(τ)是度量兩個隨機過程x(t)，y(t)間的相關性函數，定義為

式中τ為所考慮時間軸上的時間間隔。如果兩個隨機過程互相完全沒有關系，則其互相關函數將為一個常數，并等于兩個變化量平均值的乘積，若其中一個變化量平均值為零，則兩個變化量互相關函數Rxy(τ)將處處為零，即完全獨立不相關。

需要特別指出的是:在相關性分析中必須有一個定量的指標來度量變量間的相關性強弱。數學上用相關系數來表示兩個變量之間線形相關的強弱程度:

式中S1、S2分別代表第一個變量的標準偏差和第二個變量的標準偏差。

3 基于試驗的誤差辨識及討論

根據對本機床導軌誤差的分析［15］，這里對導軌誤差與檢測結果做相關性分析，導軌誤差的仿真數據與加工工件的檢測結果為2個不同過程信號。這里假設檢測過程的信號為x(t)=x1(t)+x2(t)，其中x1(t)是由db1小波分解的檢測信號中的低頻信號，x2(t)為相應的高頻信號;導軌誤差的仿真過程信號設為y(t)=y1(t)+y2(t)，其中y1(t)是導軌垂直度誤差仿真信號，y2(t)是導軌的直線度誤差仿真信號。從而根據公式(17)可以得到相關系數γxym和γx1ym為

其中m=1、2。公式(18)中的γxym代表檢測信號x(t)和仿真信號y(t)，包括y1(t)和y2(t)之間的相關系數，公式(19)中的γx1ym代表檢測信號中的低頻信號和仿真信號y(t)之間的相關系數。

圖4給出了小波變換后的檢測信號與導軌誤差仿真信號的相關函數曲線。從圖中的相關性分析結果來看，檢測信號x(t)與導軌垂直度信號y1(t)相關系數γxy1的范圍為0.6～0.83，檢測信號x(t)與導軌直線度信號y2(t)的相關系數γxy2的范圍為0.45～0.6，這個值范圍比垂直度相關系數范圍小。所以我們可以得出，導軌誤差中，對加工精度影響較大的是導軌的垂直度誤差，導軌的直線度誤差影響較小。其中起主要影響作用的是導軌垂直度誤差。

4 結語

基于小波變換與工件面形誤差的機床誤差分析方法，為機床誤差源的分析與辨識提供了一種有效辨識誤差途徑。其基本過程如下:

(1)利用Daubechies小波變換模型，把檢測的工件面形結果分解為高頻信號部分和低頻信號部分，從而提取出高頻信號特征和低頻信號特征。

(2)針對低頻信號部分，在時域內與低頻誤差源仿真結果作相關性分析，根據相關函數值確定對加工結果影響大的誤差源。

最后的仿真結果證實了提出的小波變換與相關性分析這種辨識方法的正確性與有效性。

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