基于PCA方法的地理系統(tǒng)分析

李旭軍

（安徽經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系，安徽 合肥 230031）

基于PCA方法的地理系統(tǒng)分析

李旭軍

（安徽經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系，安徽 合肥 230031）

在多要素復(fù)雜系統(tǒng)的分析，利用主成分分析方法，用較少的變量代替原來(lái)較多的變量，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的處理，提高處理的效率.

復(fù)雜系統(tǒng)；主成分分析法；地理系統(tǒng)

地理環(huán)境是多要素復(fù)雜系統(tǒng)，進(jìn)行地理系統(tǒng)分析時(shí)，多變量問(wèn)題是經(jīng)常會(huì)遇到的.變量太多，無(wú)疑會(huì)增加分析問(wèn)題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實(shí)際問(wèn)題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的.在各個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系研究的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來(lái)較多的變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來(lái)較多的變量所反映的信息.主成分分析把原來(lái)多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，是一種降維處理技術(shù)[1-3].

1 主成分分析方法原理

假設(shè)有n個(gè)地理樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量描述，這樣就構(gòu)成了一個(gè)n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣：

如何從這么多變量的數(shù)據(jù)中抓住地理事物的內(nèi)在規(guī)律性呢？要解決這一問(wèn)題，自然要在p維空間中加以考察，這是比較麻煩的.為了克服這一困難，就需要進(jìn)行降維處理，即用較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來(lái)較多指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的.那么，這些綜合指標(biāo)（即新變量）應(yīng)如何選取呢？顯然，其最簡(jiǎn)單的形式就是取原來(lái)變量指標(biāo)的線(xiàn)性組合，適當(dāng)調(diào)整組合系數(shù)，使新的變量指標(biāo)之間相互獨(dú)立且代表性最好[4-5].

如果記原來(lái)的變量指標(biāo)為x1，x2，…，xp，它們的綜合指標(biāo)——新變量指標(biāo)為x1，x2，…，xm（m≤p）.則

在（2）式中，系數(shù)lij由下列原則來(lái)決定：

（1）zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無(wú)關(guān)；

（2）z1是x1，x2，…，xp的一切線(xiàn)性組合中方差最大者；z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xp的所有線(xiàn)性組合中方差最大者；……；zm是與z1，z2，……zm-1都不相關(guān)的x1，x2，…，xp的所有線(xiàn)性組合中方差最大者.

這樣決定的新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱(chēng)為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xp的第一，第二，…，第m主成分.其中，z1在總方差中占的比例最大，z2，z3，…，zm的方差依次遞減.在實(shí)際問(wèn)題的分析中，常挑選前幾個(gè)最大的主成分，這樣既減少了變量的數(shù)目，又抓住了主要矛盾，簡(jiǎn)化了變量之間的關(guān)系.

從以上分析可以看出，找主成分就是確定原來(lái)變量xj（j=1，2，…，p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的載荷lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p），從數(shù)學(xué)上容易知道，它們分別是x1，x2，…，xp的相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.

2 主成分分析的解法

主成分分析的計(jì)算步驟

通過(guò)上述主成分分析的基本原理的介紹，我們可以把主成分分析計(jì)算步驟歸納如下：

（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣

在公式（3）中，rij（i，j=1，2，…，p）為原來(lái)變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)，其計(jì)算公式為

因?yàn)镽是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣（即rij=rji），所以只需計(jì)算其上三角元素或下三角元素即可.

（2）計(jì)算特征值與特征向量

首先解特征方程|λI-R|=0求出特征值λi（i=1，2，…，p），并使其按大小順序排列，即λ1≥λ2≥…，≥λp≥0；然后分別求出對(duì)應(yīng)于特征值λi的特征向量ei（i=1，2，…，p）.

（3）計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率

一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85-95％的特征值λ1，λ2，…，λm所對(duì)應(yīng)的第一，第二，……，第m（m≤p）個(gè)主成分.

（4）計(jì)算主成分載荷

由此可以進(jìn)一步計(jì)算主成分得分：

3 主成分分析法在地理系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

對(duì)于某區(qū)域地貌-水文系統(tǒng)，其57個(gè)流域盆地的九項(xiàng)地理要素：x1為流域盆地總高度（m），x2為流域盆地山口的海拔高度（m），x3為流域盆地周長(zhǎng)（m），x4為河道總長(zhǎng)度（km），x5為河道總數(shù)，x6為平均分叉率，x7為河谷最大坡度（度），x8為河源數(shù)，x9為流域盆地面積（km2）.

1、首先對(duì)原始數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)化處理，由公式（4）計(jì)算得相關(guān)系數(shù)矩陣（見(jiàn)表1）.

表1 相關(guān)系數(shù)矩陣

2、由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值，以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率（見(jiàn)表2）.由表2-16可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.5％，故只需求出第一，第二，第三主成分z1，z2，z3即可.

（3）對(duì)于特征值 λ1=5.043，λ2=1.746，λ3=0.997分別求出其特征向量e1，e2，e3，并計(jì)算各變量x1，x2，……，x9在各主成分上的載荷得到主成分載荷矩陣（見(jiàn)表3）.

表2 特征值及主成分貢獻(xiàn)率

表3 主成分載荷矩陣

從表3可以看出，第一主成分z1與x1，x3，x4，x5，x8，x9有較大的正相關(guān)，這是由于這六個(gè)地理要素與流域盆地的規(guī)模有關(guān)，因此第一主成分可以被認(rèn)為是流域盆地規(guī)模的代表：第二主成分z2與x2有較大的正相關(guān)，與x7有較大的負(fù)相關(guān)，而這兩個(gè)地理要素是與流域切割程度有關(guān)的，因此第二主成分可以被認(rèn)為是流域侵蝕狀況的代表；第三主成分z3與x6有較大的正相關(guān)，而地理要素x6是流域比較獨(dú)立的特性——河系形態(tài)的表征，因此，第三主成成可以被認(rèn)為是代表河系形態(tài)的主成分.

4 結(jié)論

以上分析結(jié)果表明，根據(jù)主成分載荷，該區(qū)域地貌-水文系統(tǒng)的九項(xiàng)地理要素可以被歸為三類(lèi)，即流域盆地的規(guī)模，流域侵蝕狀況和流域河系形態(tài).如果選取其中相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值最大者作為代表，則流域面積，流域盆地出口的海拔高度和分叉率可作為這三類(lèi)地理要素的代表，利用這三個(gè)要素代替原來(lái)九個(gè)要素進(jìn)行區(qū)域地貌-水文系統(tǒng)分析，可以使問(wèn)題大大地簡(jiǎn)化.

〔1〕張科靜.基于主成分分析法的城市創(chuàng)意競(jìng)爭(zhēng)力評(píng)價(jià)[J].情報(bào)雜志，2010,29（4）:68-71.

〔2〕田盈.基于加權(quán)主成分分析的企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新績(jī)效評(píng)價(jià)模型研究[J].科技進(jìn)步與對(duì)策,2008,25（3）:130-133.

〔3〕張洪波.主成分分析法與概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在模擬電路故障診斷中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制,2008,16（12）:1789-1792.

〔4〕楊海瀾.主成分分析結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)在焊接質(zhì)量控制中的應(yīng)用[J].焊接學(xué)報(bào),2003,24（4）:55-60.

〔5〕李曉剛.基于主成分回歸的公路客運(yùn)量預(yù)測(cè)模型研究[J].交通標(biāo)準(zhǔn)化,2009,（156）:187-191.

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1673-260X（2011）12-0041-03