非局部邊界條件的Jaulent-Miodek算子的跡公式

賈光才

（伊犁師范學院 奎屯校區，新疆 奎屯 833200）

非局部邊界條件的Jaulent-Miodek算子的跡公式

賈光才

（伊犁師范學院 奎屯校區，新疆 奎屯 833200）

利用Jaulent-Miodek方程初值解的漸進估計，構造一個整函數ω（λ），借助積分恒等式，采用留數的方法，對Jaulent-Miodek算子的特征值做出了估計，得到了問題的漸進跡公式.

Jaulent-Miodek算子；特征值；跡公式

微分算子的特征值的跡恒等式在特征值的計算及反問題，以及孤子理論與可積系統理論中[1]都有著很重要的作用，本文主要解決帶有非局部邊界條件的Jaulent-Miodek算子的跡公式，及下述問題的跡公式

其中 p(x),q(x),μ(x)均為[0,π]上的實值連續函數.

1 問題（1）決定特征值的整函數

我們先來考慮問題（2）

其中 p(x),q(x),μ(x)均為[0,π]上的實值連續函數.引理 由[2]知:(2)的解 φ(x,λ)對 λ 的漸進式為

證明 由于問題(2)的解φ(x,λ)滿足(1)的第一個邊界條件，將φ(x,λ)帶入到(1)的第二個邊界條件可得：

所以 φ(x,λ)是(1)的解，λ 是(1)的特征值.由此可知 ω(λ)的零點集合與(1)的特征值集合重合.

由引理知:

2 問題(1)的跡

顯然λ0依賴于m0，因而要根據m0的不同取值來討論問題(1)的跡公式.

(2)當m0為偶數時

cos(λπ-m0π)=[cosλπcos(m0π)+sinλπsin(m0π)]=cosλπ

sin(λπ-m0π)=[sinλπcos(m0π)+cosλπsin(m0π)]=sinλπ.

〔1〕曹策問.微分算子的跡.數學進展，1989,18(2)：170-178.

〔2〕Cao Cewen,Zhuang Dawei:Some Trace Formulas For The Schrodinger Equation With Energy-Dependent Potential,數學物理學報,1985（2）：131-140.

〔3〕鐘玉泉.復變函數論.北京：高等教育出版社，1988.

O172

A

1673-260X（2011）02-0009-02