運(yùn)用CAE工具進(jìn)行兩階段結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

汪冬生 南京地下工程建筑設(shè)計(jì)院有限公司，江蘇 南京 210029

運(yùn)用CAE工具進(jìn)行兩階段結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

汪冬生 南京地下工程建筑設(shè)計(jì)院有限公司，江蘇 南京 210029

本文利用CAE工具，對(duì)一受集中荷載作用的矩形板依次進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化與尺寸優(yōu)化的計(jì)算與分析，最后得到給定條件下的合理結(jié)構(gòu)。研究結(jié)果表明，拓?fù)鋬?yōu)化與尺寸優(yōu)化相結(jié)合的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，是解決具有較少目標(biāo)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的一種有效方法。

CAE技術(shù)；工程結(jié)構(gòu)；拓?fù)鋬?yōu)化；尺寸優(yōu)化；有效性

CAE Technique; Engineering Structure; Shape Optimization;Size Optimization;Validity

1 前言

CAE(Computer Aided Engineering的縮寫), 是指用計(jì)算機(jī)輔助求解分析復(fù)雜工程和產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，以及優(yōu)化結(jié)構(gòu)性能等，它是計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的一門新興學(xué)科。采用CAE技術(shù)，即使對(duì)復(fù)雜的工程分析也無須作很多簡(jiǎn)化，并且計(jì)算速度快、進(jìn)度高。常見的工程分析包括對(duì)質(zhì)量、體積、強(qiáng)度、應(yīng)力、變形、穩(wěn)定等的計(jì)算分析，以及對(duì)產(chǎn)品的運(yùn)動(dòng)精度、動(dòng)靜態(tài)特征等的性能分析。

本文利用CAE工具，結(jié)合已有的研究成果，對(duì)一典型構(gòu)件進(jìn)行了兩階段優(yōu)化設(shè)計(jì)，最后得到在滿足各項(xiàng)設(shè)計(jì)要求下的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。

2 兩階段結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

2.1 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

拓?fù)鋬?yōu)化即形狀優(yōu)化，有時(shí)也稱為外形優(yōu)化。從理論上講,廣義的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是指: 確定結(jié)構(gòu)單元、節(jié)點(diǎn)及內(nèi)部邊界的空間連接方式。拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)是尋找承受單載荷或多載荷的物體的最佳材料分配方案。與傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)不同的是，拓?fù)鋬?yōu)化不需要給出參數(shù)和優(yōu)化變量的定義。目標(biāo)函數(shù)、狀態(tài)變量和設(shè)計(jì)變量都是預(yù)定義好了的。設(shè)計(jì)者只需要給出結(jié)構(gòu)的參數(shù)（材料特性、模型、載荷等）和要省去的材料百分比，以及一定約束條件（如位移、頻率、穩(wěn)定性等）。很明顯，拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)是得到物體的最佳形狀。

目前，拓?fù)洹⒉季謨?yōu)化技術(shù)有多種，比較有效的方法有基于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的均勻化方法[1]、漸近結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化法[2]等，后者是通過將無效或低效的材料一步步去掉，結(jié)構(gòu)將逐漸趨于優(yōu)化。該方法采用已有的有限元分析軟件，通過迭代過程在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，通用性很好。漸近結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化法不僅可以解決形狀和拓?fù)鋬?yōu)化問題，還可以實(shí)現(xiàn)應(yīng)力、位移（剛度）、振動(dòng)頻率、響應(yīng)、臨界壓力等優(yōu)化。

目前，已有不少國(guó)內(nèi)外軟件能夠處理結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題（由于拓?fù)鋬?yōu)化的理論尚不成熟，故都還處于發(fā)展階段）。需要注意的是，基于CAE技術(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果對(duì)網(wǎng)格劃分密度十分敏感。一般來說，很細(xì)的網(wǎng)格可以產(chǎn)生“清晰”的拓?fù)浣Y(jié)果，而較粗的網(wǎng)格會(huì)生成“混亂”的結(jié)果。但是，較大的有限元模型收斂需要更多的時(shí)間。

2.2 結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化

為了使設(shè)計(jì)方案滿足使用上的各項(xiàng)要求，對(duì)結(jié)構(gòu)需施加一定的約束，一般分為顯式約束和隱式約束。顯式約束是直接施加于一個(gè)或幾個(gè)設(shè)計(jì)變量的限制。而隱式約束即狀態(tài)變量，是間接施加于設(shè)計(jì)變量的限制。基于CAE技術(shù)的隱式約束需要通過求解有限元方程間接得到。約束條件在設(shè)計(jì)空間中構(gòu)成一個(gè)曲面，它代表等式滿足約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)的軌跡。對(duì)于不同點(diǎn)的設(shè)計(jì)方案，將具有不同的目標(biāo)函數(shù)值。在該階段的設(shè)計(jì)中，需要設(shè)計(jì)者找出使目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)[2]。

對(duì)于已知的給定參數(shù)，求出滿足全部約束條件并使目標(biāo)函數(shù)取極小值的設(shè)計(jì)變量。用數(shù)學(xué)方式表示，就是極小化目標(biāo)函數(shù) W(x)

滿足約束條件的設(shè)計(jì)中，關(guān)于應(yīng)力和位移的約束條件，通常都是設(shè)計(jì)變量的非線性函數(shù)[1]。

這是一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。

結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化作為一種數(shù)學(xué)方法，通常是利用對(duì)解析函數(shù)求極值的方法來達(dá)到尋求最優(yōu)值的目的。基于數(shù)值分析技術(shù)的CAE方法，顯然不可能對(duì)我們的目標(biāo)得到一個(gè)解析函數(shù)，CAE計(jì)算所求得的結(jié)果只是一個(gè)數(shù)值。然而，樣條插值技術(shù)又使CAE中的優(yōu)化成為可能，多個(gè)數(shù)值點(diǎn)可以利用插值技術(shù)形成一條連續(xù)的可用函數(shù)表達(dá)的曲線或曲面，如此便回到了數(shù)學(xué)意義上的極值優(yōu)化技術(shù)上來。樣條插值方法當(dāng)然是種近似方法，通常不可能得到目標(biāo)函數(shù)的準(zhǔn)確曲面，但利用上次計(jì)算的結(jié)果再次插值得到一個(gè)新的曲面，相鄰兩次得到的曲面的距離會(huì)越來越近，當(dāng)它們的距離小到一定程度時(shí)，可以認(rèn)為此時(shí)的曲面可以代表目標(biāo)曲面。那么，該曲面的最小值，便可以認(rèn)為是目標(biāo)最優(yōu)值。以上就是CAE方法中的優(yōu)化處理過程。一個(gè)典型的CAE優(yōu)化過程通常需要經(jīng)過以下的步驟來完成：

(1)參數(shù)化建立幾何模型：利用CAE軟件的參數(shù)化建模功能把將要參與優(yōu)化的數(shù)據(jù)（設(shè)計(jì)變量）定義為模型參數(shù)，為以后軟件修正模型提供可能。

(2)求解運(yùn)算：對(duì)結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模型進(jìn)行加載與求解（用數(shù)值方法求解選定的數(shù)學(xué)模型）。

(3)提取并指定狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)。

(4)后處理：把狀態(tài)變量（約束條件）和目標(biāo)函數(shù)（優(yōu)化目標(biāo)）提取出來供處理。

3 算例與討論

3.1 拓?fù)鋬?yōu)化

問題是求圖1所示的結(jié)構(gòu)在集中荷載F作用下的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。以漸近拓?fù)鋬?yōu)化理論[3]為基礎(chǔ)，基于應(yīng)力水平的材料刪除。圖2顯示了刪除率[3]RR為30%時(shí)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。（這里將設(shè)計(jì)區(qū)城分成 四節(jié)點(diǎn)等尺寸的平面應(yīng)力單元，板的厚度取為50mm，并假設(shè)F＝1MPa，L＝1m，H＝2.4m,彈性模量E＝ 100Gpa，泊松比ν＝0.3，比重ρ＝7.85× 103Kg/m3）。

本問題拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是結(jié)構(gòu)總體積，通過對(duì)優(yōu)化前后的數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的總體積從優(yōu)化前的2.4降低到0.389，如圖3所示，降低量是原設(shè)計(jì)的85%。另外，拓?fù)涞淖罱K結(jié)果顯示H＝2L[3]。

3.2 尺寸優(yōu)化

條件約束是當(dāng)荷載P作用于結(jié)構(gòu)時(shí)，各桿中的最大拉應(yīng)力不得超過137MPa，最大壓應(yīng)力不得大于100Mpa，且不大于縱向屈曲時(shí)的臨界應(yīng)力σcr和局部屈服應(yīng)力σs；載荷作用點(diǎn)允許的最大豎向位移uy。下面求該構(gòu)件（見圖4）的最小重量。

圖4 結(jié)構(gòu)計(jì)算及尺寸示意圖

根據(jù)分析問題的性質(zhì)，選擇桿的直徑D1、D2和管壁厚t為設(shè)計(jì)變量(必須是正值,如圖4所示)；狀態(tài)變量為桿內(nèi)的（軸向）應(yīng)力值、壓桿穩(wěn)定條件以及集中載荷處的豎向位移，目標(biāo)函數(shù)為構(gòu)件的最小重量。

綜上所述，該問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

優(yōu)化結(jié)果見下表。

表1 尺寸優(yōu)化結(jié)果表

利用MATLAB優(yōu)化組件[4]得到的理論解為D1=38.9, D2=6.1和t=18.8。設(shè)計(jì)變量D1、D2、t和目標(biāo)函數(shù)的大小隨迭代過程的變化規(guī)律分別如圖5、6所示。

綜上可得到以下結(jié)論：當(dāng)管子的尺寸分別為D1=37.7, D2=5.9和t=18.5時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)的重量最輕(此時(shí)總質(zhì)量為19. 877kg),也得到了最佳設(shè)計(jì)。

在靜載荷工況作用下，構(gòu)件拓?fù)鋬?yōu)化問題中很難處理歐拉失穩(wěn)問題[5]，如還需要考慮基頻約束，問題會(huì)變得較復(fù)雜。為此，本例在尺寸設(shè)計(jì)階段才具體考慮穩(wěn)定性等問題，這樣使問題容易解決。

4 結(jié)論

本文利用CAE工具對(duì)一典型結(jié)構(gòu)進(jìn)行了兩階段優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化結(jié)果顯示，將拓?fù)鋬?yōu)化與尺寸優(yōu)化相結(jié)合的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對(duì)解決具有較少目標(biāo)的優(yōu)化問題，是一種行之有效的新嘗試，具有很好的應(yīng)用前景。對(duì)于應(yīng)用兩階段優(yōu)化方法處理多目標(biāo)的優(yōu)化問題，今后還需要進(jìn)一步研究。

[1]XIA Li – juan, Study on Topology Optimum Design of Engineering Structures[J], China. Journal of Ship Mechanics. Dec, 2002～. 6594

[2]朱伯芳.有限單元法原理與應(yīng)用[M].北京：水利電力出版社.1979.394～400

[3]榮見華,鄭健龍,徐飛鴻編著.結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改及優(yōu)化設(shè)計(jì)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社.2002. 249～251

[4]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心編著.輔助優(yōu)化計(jì)算與設(shè)計(jì)[M].北京:電子工業(yè)出版社.2003.1. 91～93

[5]童衛(wèi)華,徐斌,姜節(jié)勝.具有頻率約束的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化新方法[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).2002.1. 14～19

Two Stage Construction Optimization Design Method Useing on the CAE Technique

By utilizing the CAE tool, this paper optimizes a typical construction combining the already research results which have been, finally getting the optimum design of construction under satisfying the variously requests. Combining topology optimization with size optimization together, here gets a kind of valid new trial of the construction optimization on the CAE Technique. But for many targets problems, it still need the further research.

Wang Dongsheng Nanjing Underground Engineering & Architectural Design In，stNitaunreji nCgO J.,iLaTnDg su 210029China

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.11.061

汪冬生（1978-），男，國(guó)家一級(jí)注冊(cè)結(jié)構(gòu)工程師、土木（巖土）工程師。主要從事結(jié)構(gòu)、巖土方面的設(shè)計(jì)和研究工作。