激光等離子體羽輝膨脹的流體動力學(xué)模型及數(shù)值模擬

（1.武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.湖北第二師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430205）

激光等離子體羽輝膨脹的流體動力學(xué)模型及數(shù)值模擬

（1.武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.湖北第二師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430205）

基于流體動力學(xué)方程組，假定激光燒蝕固體靶材所形成對稱膨脹的等離子體羽輝處于定態(tài)，將偏微分方程組簡化為一組常微分方程，并對方程組進(jìn)行歸一化處理，采用牛頓迭代法進(jìn)行數(shù)值求解，得到了定態(tài)膨脹的激光誘導(dǎo)等離子體羽輝的電子溫度、膨脹速度和密度空間分布的基本規(guī)律，數(shù)值求解結(jié)果與實驗觀測現(xiàn)象是相一致的.通過物理量的歸一化處理，該理論模型將激光等離子體羽輝膨脹的過程標(biāo)準(zhǔn)化，方便和實驗數(shù)據(jù)的對比分析，有助于理解激光等離子體羽輝膨脹的動力學(xué)過程.

激光等離子體；羽輝膨脹；牛頓迭代法

0 引 言

激光燒蝕固體靶形成的等離子體羽輝的膨脹特性在脈沖激光沉積薄膜制備［1］、激光等離子體波導(dǎo)［2］、極紫外光刻機(jī)光源等離子體碎屑抑制［3］和等離子體光譜［4］等方面有著重要的應(yīng)用.一般情況下，激光燒蝕形成的等離子體羽輝的空間分布是隨時間變化的，對羽輝的時空演化規(guī)律主要采用粒子模擬［5］和流體動力學(xué)模擬［6］的方法，數(shù)值求解過程都較為復(fù)雜.本文從流體動力學(xué)方程組出發(fā)，假設(shè)燒蝕形成的等離子體羽輝的空間分布不隨時間變化，將偏微分方程組簡化為常微分方程組，最后數(shù)值求解得到了穩(wěn)態(tài)燒蝕的激光等離子體羽輝的溫度、速度和密度的空間分布規(guī)律，數(shù)值計算得出的規(guī)律與實驗觀測結(jié)果吻合的較好.

1 理論模型

當(dāng)高強(qiáng)度激光輻照固體靶材表面時，表面形成的高溫高密的等離子體羽輝會迅速向外膨脹.為了描述激光燒蝕形成的等離子體，考慮到等離子體的德拜長度λD＝6.9cm，其中T是以K 為單位的等離子體電子溫度，Ne是以cm－3為單位的等離子體電子數(shù)密度［7］.對于CO2激光誘導(dǎo)產(chǎn)生的等離子體，如果電子溫度T＝105K，臨界電子密度Ne＝1019cm－3，計算出德拜長度為nm量級.我們所研究的激光等離子體系統(tǒng)的特征尺寸一般在mm量級，遠(yuǎn)大于等離子體的德拜長度，因此等離子體整體顯示出電中性，并且可以忽略等離子體的微觀運(yùn)動行為而只需考慮等離子體的集體行為，也就是說，可以采用流體力學(xué)描述替代粒子描述.在歐拉描述下，可壓縮流體動力學(xué)的方程為［8］其中ρ是等離子體質(zhì)量密度，v?是等離子體流體速度，P是等離子體壓強(qiáng)，ε是等離子體熱力學(xué)能，β是等離子體的熱導(dǎo)率.

在激光等離子體中，由于離子的熱導(dǎo)率遠(yuǎn)小于電子的熱導(dǎo)率，離子的溫度Ti遠(yuǎn)小于電子的溫度T，因此可以忽略離子的影響.考慮到等離子體的平均電離度Z后，等離子體的行為將主要由電子決定.等離子體的熱力學(xué)能可寫為ε＝3／2 NekBT，將熱力能的表達(dá)式代入（2）式，聯(lián)立（1）式，能量守恒方程可以改寫為

考慮燒蝕的激光等離子體羽輝處于穩(wěn)態(tài)，即：各物理量的空間分布不隨時間變化，并假設(shè)等離子體的平均電離度Z也不隨時間變化，羽輝可以看作理想氣體，將ρ＝Nemi／Z，P＝NekBT 代入動量守恒方程（1）式得到

假設(shè)等離子體膨脹過程具有對稱性，則三維的等離子體膨脹動力學(xué)方程組（6），（7）和（8）式可以寫為

其中k＝0，1和2分別對應(yīng)于平面對稱、柱對稱和球?qū)ΨQ的情況.求解（9）式容易得到

此時臨界面的位置坐標(biāo)就移到歸一化位置坐標(biāo)的原點.采用歸一化坐標(biāo)描述，并且聯(lián)立式（12），則（9）、（10）式可以化為

2 數(shù)值求解與討論

下面數(shù)值求解非線性常微分方程組（13）、（14），方便起見，取常數(shù)C＝1，并對該方程組采用中心差分離散化后得到

其中h為空間步長，ζi＝i×h，ui＝u（ζi）和τi＝τ（ζi），i＝0，1，2，3…取整數(shù).如上所述，邊界條件為u0＝τ0＝1，代數(shù)方程組（15）和（16）式的根即為微分方程的數(shù)值解，我們采用牛頓迭代法來求解該非線性差分方程組，這里需要給出u和τ的初始值，而帶狀的雅克比矩陣的階數(shù)由網(wǎng)格點的個數(shù)決定，可以采用高斯消去法求解，迭代的次數(shù)與初始值的設(shè)定有關(guān)，只要設(shè)定較合適的初始值，一般迭代五次就能滿足精度要求.考慮到激光等離子體的尺度特征，取r0＝20μm，r＝3 mm，則0＜ζ＜5，步長h＝0.01，即500個網(wǎng)格點.利用計算機(jī)語言編寫程序數(shù)值求解，圖1，圖2和圖3分別給出了激光等離子體羽輝溫度和膨脹速度的數(shù)值求解結(jié)果，并與實驗數(shù)據(jù)和其它的理論模型計算結(jié)果作了對比［9－11］.

圖1 歸一化等離子體溫度τ隨歸一化坐標(biāo)ζ的變化關(guān)系曲線Fig.1 Normalized plasma temperatureτas a function of normalized positionζ

圖2 歸一化等離子體膨脹速度u隨歸一化坐標(biāo)ζ的變化關(guān)系曲線Fig.2 Normalized plasma plume expansion velocity u as a function of normalized positionζ

值得指出的是，對于激光燒蝕平板靶材或者液滴靶材形成的等離子體羽輝的膨脹過程是介于柱對稱和球?qū)ΨQ之間的，對于平面對稱k＝0的情況，方程給出的是平凡解.另外，考慮到（12）式及歸一化坐標(biāo)ζ的定義，容易得到n（ζ）＝，圖3給出了歸一化等離子體電子數(shù)密度隨歸一化坐標(biāo)的變化規(guī)律.

圖3 歸一化等離子體密度n隨歸一化坐標(biāo)ζ的變化關(guān)系曲線Fig.3 Normalized plasma denstiy n as a function of normalized positionζ

從圖1可以看出，歸一化的等離子體溫度在臨界面處最高，隨著空間距離的增大而減小直至零，且隨k值的增大減小的更快.從圖2可以看出，歸一化的等離子體膨脹速度隨距離的增大而增加，最后趨于一個穩(wěn)定的漸進(jìn)值.從圖3可以看出，歸一化的等離子體電子數(shù)密度隨距離的增大而減小直至趨于零.實驗結(jié)果和其它理論模型給出的計算結(jié)果也畫在圖中，結(jié)果表明：數(shù)值模擬得到的穩(wěn)態(tài)燒蝕膨脹的等離子體羽輝的溫度、速度和數(shù)密度的變化規(guī)律與文獻(xiàn)［9-11］中實驗測量結(jié)果及Anisimov的理論模型計算結(jié)果吻合的較好.

3 結(jié) 語

根據(jù)流體動力學(xué)的質(zhì)量連續(xù)性、動量守恒和能量守恒這三個基本方程，建立了激光燒蝕靶材等離子體羽輝穩(wěn)態(tài)膨脹的動力學(xué)模型，并根據(jù)燒蝕形成的等離子體的特征參量對方程組進(jìn)行歸一化處理，得到了一組非線性的常微分方程.采用有限差分和牛頓迭代法，利用計算機(jī)語言編程對方程組進(jìn)行數(shù)值求解，得到了激光等離子體羽輝的溫度、速度和密度空間分布的一般規(guī)律，得到的數(shù)值結(jié)果與實驗觀測結(jié)論是一致的.通過物理量的歸一化處理，該理論模型將激光等離子體羽輝膨脹的過程標(biāo)準(zhǔn)化，方便和實驗數(shù)據(jù)的對比分析，有助于理解激光等離子體羽輝膨脹的動力學(xué)過程.

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Analytical hydrodynamic model of laser induced plasma plume expansion and simulation

WU Tao1，WANG Shi-fang2
（1.School of Science，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430074，China；
2.School of Physics and Electronic Information，Hubei University of Education，Wuhan 430205，China）

This paper was based on the hydrodynamic equations and steady state assumptions of the laser induced plasma plume.The partial difference equations were simplified into a set of ordinary equations which could be normalized by the characteristic parameters.The profiles of density，temperature，and velocity of the steady state laser induced plasma plume were obtained by using the Newton iteration numerical method.The simulation results had a fair agreement with the experimental data.The process of the laser produced plasma expansion was standardized by the normalized physical quantity.These results provide useful guides to understand the properties of the laser produced plasma plume by compariing of the experimental data.

laser produced plasma；plasma plume expansion；Newton iteration

龔曉寧

O53

A

10.3969／j.issn.1674-2869.2011.11.024

1674－2869（2011）11－0095－04

2011－10－03

吳 濤（1980－），男.湖北京山人.講師.博士研究生.研究方向：激光技術(shù)及應(yīng)用，等離子體光譜.＊通信聯(lián)系人