例談中學生數學思維層次的劃分

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(《中學生數理化》(高中)編輯部 河南鄭州 450004)

例談中學生數學思維層次的劃分

●師廣智

(《中學生數理化》(高中)編輯部 河南鄭州 450004)

大家知道知識和技能的層次規定得非常具體，而衡量學生思維能力的標準卻很難形成具體一致的意見，這使得培養和發展學生的思維能力帶有很大的隨意性.新課標中規定的“了解”、“理解”、“掌握”指的是知識與技能水平目標，而不是思維層次目標.思維層次是以學生解決某一問題需要的中間環節的多少來確定的，學生每簡化一次中間環節，其思維層次就會高一級.學生的思維層次是一個變量，不同的思維層次往往直接制約著解題的成敗與繁簡，顯現著學生不同層次的思維水平.筆者認為，優化解題思路和注重一題多解是提升思維層次的一條捷徑.

問題在等差數列{an}中，已知Sn=60，S2n=48，求S3n的值.

(1)

式(2)可化為

式(3)可化為

由式(4)-式(1)得

由式(5)-式(4)得

從而

S3n=-36.

這是求解此類問題的通法.學生對此思路非常熟悉，只要會用等差數列的求和公式,就能得出正確的結果.如果把等差數列的求和公式作為解決問題的起點，那么反復應用起點知識解決問題的思維深度就可以劃定為思維的第一層次.這種思維層次表現在對起點知識的再現與復述，特點是中間環節較多.這是基本訓練時一定要達到的一種思維層次.

思維的第二層次是能找出與起點直接發生關系的環節的思維層次.其特點是對數學知識內在聯系的理解，能理順概念間的上位、下位、同位關系，深刻理解概念的內涵與外延;能把握定理和公式的來龍去脈，揭示定理間的聯系和公式間的聯系等.譬如下面的解法2和解法3.

An2+Bn=60,4An2+2Bn=48.

令9An2+3Bn=m(4An2+2Bn)+n(An2+Bn)，則

(4m+n-9)An2+(2m+n-3)Bn=0，

易得

m=3，n=-3.

所以

S3n=9An2+3Bn=

3[(4An2+2Bn)-(An2+Bn)]=

3(48-60)=-36.

這種解法找到了等差數列求和公式的特點，簡化了運算過程的中間環節，但解題過程還是太繁.

解法3設x=An2，

(6)

則

S3n=9x+3y.

(8)

由式(6)，(7)可得

x+y=60，4x+2y=48，

解得

x=-36，y=96,

代入式(8)得

S3n=-36.

顯然,這種解法運用了函數思想,使解題過程更為簡化，思維水平也有了進一步的提升.以上2種解法的依據仍是等差數列求和公式，只是順向地進行了一些代換，思維可劃定為第二層次.

思維的第三層次與起點知識或所求問題不直接發生關系，必須通過一次或幾次中間環節才能使起點知識與所求問題發生關系.譬如下面的解法4與解法5就可劃定為思維的第三層次.

解法4由等差數列的性質,可知Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數列，設其公差為d，則

d=48-60-60=-72，

因此

S3n-S2n=60+2d=-84，

即

S3n=S2n-84=-36.

當然,也可由Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數列，得

2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，

于是S3n=3(S2n-Sn)=3(48-60)=-36.

解法5由Sn=An2+Bn,得

從而

故

S3n=-36.

解法4充分利用了等差數列的性質，思路得到了進一步的優化.解法5把數列知識與解析幾何、向量知識相結合，通過轉化體現了學生的創造激情.以上2種解法培養了學生勇于質疑和善于聯想的習慣，提高了學生發現、提出、解決數學問題的能力，具有一定的創新意識，故思維層次有了進一步的提升.

綜上所述，不難看出解題方法的不同反映出學生思維的敏捷度和廣度的不同，也就是學生的思維層次的不同.例如解法5采用了獨特、巧妙、簡單的思維方式和重要的數學思想方法，發現了一般學生不能發現的更深刻、更隱蔽的中間環節，其思維層次比一般學生高一些.因此要培養學生的思維能力，在教學過程中就要探討思維能力的層次問題.一般地,可把學生的思維層次劃定為三級,有利于教師根據學生的具體實際制定出量化的能力目標.通過對問題的多解較好地反映評價的可操作性，因此在平時的教學過程中應引導學生一題多解、一題多思，這是培養學生思維廣度和深度的重要舉措.